1、第二轮第二轮 中考题型突破中考题型突破专题七代数综合【题型【题型1】代数新定义】代数新定义【例【例1】(2017河北省河北省)对于实数对于实数p，q，我们会用符号，我们会用符号minp，q来表示来表示p，q两数中较小的数，如两数中较小的数，如min1，21，因，因此此min ，_；若；若min(x1)2,x21，则则x_思路点拨：对于思路点拨：对于(x1)2与与x2，因为不确定其大小，所以，因为不确定其大小，所以需要分类讨论需要分类讨论1 或或 2233【题型【题型1】代数新定义】代数新定义【即时巩固【即时巩固1】(2017枣庄市枣庄市)我们知道，任意一个正整数我们知道，任意一个正整数n都可以
2、都可以进行这样的分解：进行这样的分解：npq(p，q是正整数，且是正整数，且pq)，在，在n的所有这的所有这种分解中，如果种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是是n的最佳分解并规定：的最佳分解并规定：F(n).例如例如12可以分解成可以分解成112，26或或34，因为，因为1216243，所以，所以34是是12的最佳分解，所以的最佳分解，所以F(12).(1)如果一个正整数如果一个正整数m是另外一个正整数是另外一个正整数n的平方，我们称正整数的平方，我们称正整数m是完全平方数求证：对任意一个完全平方数是完全平方数求证：对任意一个完全平方数m，
3、总有，总有F(m)1；(2)如果一个两位正整数如果一个两位正整数t，t10 xy(1xy9，x，y为自然数为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为数所得的差为36，那么我们称这个数，那么我们称这个数t为为“吉祥数吉祥数”，求所有，求所有“吉吉祥数祥数”；(3)在在(2)所得所得“吉祥数吉祥数”中，求中，求F(t)的最大值的最大值pq34【题型【题型1】代数新定义】代数新定义解：解：(1)对任意一个完全平方数对任意一个完全平方数m，设，设mn2(n为正整数为正整数)0，nn是是m的最佳分解的最佳分解
4、对任意一个完全平方数对任意一个完全平方数m，总有，总有F(m)1.(2)设交换设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则则t10yx.t是是“吉祥数吉祥数”，tt(10yx)(10 xy)9(yx)36.yx4.1xy9，x，y为自然数，为自然数，“吉祥数吉祥数”有有15，26，37，48，59.(3)F(15)，F(26)，F(37)，F(48)，F(59).，所有所有“吉祥数吉祥数”中，中，F(t)的最大值为的最大值为 .nn nn352131376384 159332114513375934【题型【题型2】函数应用】函数应用【例【例2】(2017烟
5、台市烟台市)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度温度20 时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到升，当上升到4 时，制冷开始，温度开始逐渐下降，时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至当冷柜自动制冷至20 时，制冷再次停止，时，制冷再次停止，按照，按照以上方式循环进行以上方式循环进行同学们记录了同学们记录了44 min内内15个时间点冷柜中的温度个时间点冷柜中的温度y()随时随时间间x(min)的变化情况，
6、制成下表：的变化情况，制成下表：【题型【题型2】函数应用】函数应用(1)通过分析发现，冷柜中的温度通过分析发现，冷柜中的温度y是时间是时间x的函数的函数 当当4x20时，写出一个符合表中数据的函数解析式时，写出一个符合表中数据的函数解析式 _；当当20 x24时，写出一个符合表中数据的函数解析式时，写出一个符合表中数据的函数解析式 _；(2)a的值为的值为_；(3)如图，在直角坐标如图，在直角坐标系中，已描出了上表系中，已描出了上表中部分数据对应的点，中部分数据对应的点，请描出剩余对应的点，请描出剩余对应的点，并画出并画出4xx44时温度时温度y随时间随时间x变化的函数图象变化的函数图象128
7、0yx 476yx 思路点拨：观察分析表格中的数据，选思路点拨：观察分析表格中的数据，选择恰当的函数模型，并通过验证最终确择恰当的函数模型，并通过验证最终确定函数解析式定函数解析式【题型【题型2】函数应用】函数应用80 x 解：解：(1)4(20)80，8(10)80，10(8)80，16(5)80，20(4)80，当当4x20时，时，y .当当20 x24时，设时，设y关于关于x的函数解析式为的函数解析式为ykxb.将将(20，4)、(21，8)代入代入ykxb中，中，解得解得 此时此时y4x76.当当x22时，时，y4x7612，当当x23时，时，y4x7616，当当x24时，时，y4x7
8、620.当当20 x24时，时，y4x76.(2)观察表格，可知该冷柜的工作周期为观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，分钟，当当x42时，与时，与x22时，时，y值相同值相同a12.(3)图略图略 204218kbkb ，476.kb ，【题型【题型2】函数应用】函数应用【即时巩固【即时巩固2】(2018衢州市衢州市)某游乐园有一个直径为某游乐园有一个直径为16米的圆形喷米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心水池中心3米处达到最高，高度为米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好米，且各方向
9、喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示，以水平方向为x轴，轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系喷水池中心为原点建立直角坐标系 (1)求水柱所在抛物线求水柱所在抛物线(第一象限部分第一象限部分)的函数表达式；的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如
10、下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变高度不变)处汇合，请处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度【题型【题型2】函数应用】函数应用解：解：(1)设水柱所在抛物线设水柱所在抛物线(第一象限部分第一象限部分)的函数表达的函数表达式式 为为ya(x3)25(a0)，将将(8，0)代入代入ya(x3)25，得，得25a50，解得解得a .水柱所在抛物线水柱所在抛物线(第一象限部分第一象限部分
11、)的函数表达的函数表达 式为式为y (0 x8)(2)当当y1.8时，有时，有 1.8，解得解得x11，x27，为了不被淋湿，身高为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必米的王师傅站立时必 须在离水池中心须在离水池中心7米以内米以内1521(3)55x 21(3)55x【题型【题型2】函数应用】函数应用(3)当当x0时，时，y .设改造后水柱所在抛物线设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分第一象限部分)的函数表的函数表 达式为达式为y .该函数图象过点该函数图象过点(16，0)，0 ，解得，解得b3.改造后水柱所在抛物线改造后水柱所在抛物线(第一象限部分第一象限部分)的函数表的函数表 达式为达
12、式为y .扩建改造后喷水池水柱的最大高度为扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米米289202116(3)555x 211655xbx 2116161655b 221161152893()555220 xxx 【题型【题型3】探究新函数】探究新函数【例【例3】(2017自贡市自贡市)【探究函数【探究函数yx 的图象与性质】的图象与性质】(1)函数函数yx 的自变量的自变量x的取值范围是的取值范围是_；(2)下列四个函数图象中，函数下列四个函数图象中，函数yx 的图象大致是的图象大致是 _；4x4x4xx0C【题型【题型3】探究新函数】探究新函数(3)对于函数对于函数yx ，求当，求当x0时，时，
13、y的取值范围的取值范围 请将下列的求解过程补充完整请将下列的求解过程补充完整 解：解：x0 yx _ y _(4)若函数若函数 ，则，则y的取值范围的取值范围_4x22()0 xx2242()()xxx4y1 或或 y11259xxyx 4思路点拨：观察、分析新函数的表达式，类比反比例函数思路点拨：观察、分析新函数的表达式，类比反比例函数的学习开展探究的学习开展探究【题型【题型3】探究新函数】探究新函数解析：解析：(4)当当x0，y1.当当x0，y11.故答案为故答案为y1或或y11.22()0 xx2222599335()()5()1xxyxxxxxxx22259935()()5xxyxxx
14、xx 23()11xx 23()0 xx【题型【题型3】探究新函数】探究新函数【即时巩固【即时巩固3】(2016河南省河南省)(某班某班“数学兴趣小组数学兴趣小组”对函对函数数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整请补充完整(1)自变量自变量x的取值范围是全体实数，的取值范围是全体实数，x与与y的几组对应值列的几组对应值列 表如下：表如下：其中，其中，m_22yxx0【题型【题型3】探究新函数】探究新函数(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的
15、另一部分并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：观察函数图象，写出两条函数的性质：_(4)进一步探究函数图象发现：进一步探究函数图象发现：函数图象与函数图象与x轴有轴有_个交点，所以个交点，所以对应方程对应方程 有有_个实数根；个实数根；方程方程 有有_个实数根；个实数根；关于关于x的方程的方程 有有4个实数根，个实数根，a的取值范围是的取值范围是_3220 xx222xx22xxa31a02(可从函数的最值，增减性，图象的对称可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可性等方面阐述，答案不唯一，合理即可)【题型【题型4】
16、利用函数性质解决最值、取值范围问题】利用函数性质解决最值、取值范围问题【例【例4】(2016福州市福州市)已知，抛物线已知，抛物线 (a0)经过原点，顶点为经过原点，顶点为A(h，k)(h0)(1)当当h1，k2时，求抛物线的解析式；时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线若抛物线ytx2(t0)也经过也经过A点，求点，求a与与t之间的关系式；之间的关系式；(3)当点当点A在抛物线在抛物线yx2x上，且上，且2h1时，求时，求a的取的取 值范围值范围思路点拨：利用顶点式进行计算，第思路点拨：利用顶点式进行计算，第(3)问需分析问需分析a与与h之之间的牵制关系，建立间的牵制关系，建立a关于关于h的函
17、数关系，利用函数性质的函数关系，利用函数性质解决问题解决问题2yaxbxc解：解：(1)根据题意，根据题意，设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为 (a0)h1，k2，ya(x1)22.抛物线过原点，抛物线过原点，a20.a2.y2(x1)22，即，即y2x24x.(2)抛物线抛物线ytx2经过点经过点A(h，k)，kth2.ya(xh)2th2.抛物线经过原点，抛物线经过原点，ah2th20.h0，at.【题型【题型4】利用函数性质解决最值、取值范围问题】利用函数性质解决最值、取值范围问题2()ya xhk【题型【题型4】利用函数性质解决最值、取值范围问题】利用函数性质解决最值、取值范围问题(
18、3)点点A(h，k)在抛物线在抛物线yx22上，上，kh2h.ya(xh)2h2h.抛物线经过原点，抛物线经过原点，ah2h2h0.h0，a 1.分两种情况讨论：分两种情况讨论：2h0时，由反比例函数性质可知时，由反比例函数性质可知 ，a ；当当0h1，a0.综上所述，综上所述，a的取值范围是的取值范围是a 或或 a0.1h112h 3232【题型【题型4】利用函数性质解决最值、取值范围问题】利用函数性质解决最值、取值范围问题【即时巩固【即时巩固4】(2017福建省福建省)已知直线已知直线y2xm与抛物线与抛物线 有一个公共点有一个公共点M(1，0)，且，且ab.(1)求抛物线顶点求抛物线顶点
19、Q的坐标的坐标(用含用含a的代数式表示的代数式表示)；(2)说明直线与抛物线有两个交点；说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为直线与抛物线的另一个交点记为N.若若1a ，求线段，求线段MN长度的取值范围；长度的取值范围；求求QMN面积的最小值面积的最小值2yaxaxb12【题型【题型4】利用函数性质解决最值、取值范围问题】利用函数性质解决最值、取值范围问题【即时巩固【即时巩固4】(2017福建省福建省)已知直线已知直线y2xm与抛物线与抛物线 有一个公共点有一个公共点M(1，0)，且，且ab.(1)求抛物线顶点求抛物线顶点Q的坐标的坐标(用含用含a的代数式表示的代数式表
20、示)；(2)说明直线与抛物线有两个交点；说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为直线与抛物线的另一个交点记为N.若若1a ，求线段，求线段MN长度的取值范围；长度的取值范围；求求QMN面积的最小值面积的最小值2yaxaxb12【题型【题型4】利用函数性质解决最值、取值范围问题】利用函数性质解决最值、取值范围问题解：解：(1)抛物线过点抛物线过点M(1，0)，aab0，即，即b2a.yax2axbax2ax2a 抛物线顶点抛物线顶点Q的坐标为的坐标为()(2)直线直线y2xm经过点经过点M(1，0)，021m，解得解得m2.把把y2x2代入代入yax2ax2a，得得ax2(
21、a2)x2a20.(*)(a2)24a(2a2)9a212a4 .由由(1)知知b2a.又又ab，a0.0.方程方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个不相等的实数根，故直线与抛物线 有两个交点有两个交点219().24aa x 19,24a229()3a (3)把把y2x2代入代入yax2ax2a，得得ax2(a2)x2a20，即即 ，.解得解得x11，x2 ，点点N()根据勾股定理得根据勾股定理得MN2 ，1a ，由反比例函数性质知，由反比例函数性质知2 1，.MN ，.222(1)20 xxaa22a 2(1)(2)0 xxa242,6aa2224(2)1(6)aa21320
22、()2a 121a1302a312 52 5()3 52aa5 57 5MN如图，作直线如图，作直线x 交直线交直线y2x2于点于点E.把把x 代入代入y2x2，得，得y3，即，即E(，3)又又M(1，0)，N()，且由，且由(2)知知a0，QMN的面积的面积S SQENSQEM ，即即27a2(8S54)a240.(*)关于关于a的方程的方程(*)有实数根，有实数根，(8S54)2427240，即即(8S54)2 .又又a0.8S540.8S54 ，即，即S .当当S 时，由方程时，由方程(*)可得可得a 满足题意满足题意故当故当a 时，时，QMN面积的最小值为面积的最小值为 .222,6aa12121 2927327(2)1(3)2448aaaa 2(36 2)122732727484aa36 2279 242 279 2422 232 24 2,33b 279 242
