1、 静态几何图形综合探究静态几何图形综合探究1三角形三角形【例例1】(2020牡丹江牡丹江)在等腰在等腰ABC中，中，ABBC，点，点D，E在射线在射线BA上，上，BDDE，过点，过点E作作EFBC，交射线，交射线CA于点于点F.请解答下列问题：请解答下列问题：(1)当点当点E在线段在线段AB上，上，CD是是ACB的角平分线时，如图，求证：的角平分线时，如图，求证：AEBCCF；(2)当点当点E在线段在线段BA的延长线上，的延长线上，CD是是ACB的角平分线时，如图；当的角平分线时，如图；当点点E在线段在线段BA的延长线上，的延长线上，CD是是ACB的外角平分线时，如图，请直接写的外角平分线时，
2、如图，请直接写出线段出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；之间的数量关系，不需要证明；(3)在在(1)、(2)的条件下，若的条件下，若DE2AE6，求，求CF的值的值【分析分析】(1)利用利用AAS证明证明MED CBD，得到，得到MEBC，再根据角平分，再根据角平分线和平行的性质证明线和平行的性质证明CFMF，AEEF，从而得证；从而得证；(2)延长延长CD，EF交于点交于点M.同同(1)可通过证可通过证MED CBD进而求解；进而求解；(3)先求出先求出AE，AB，即可利用线即可利用线段的和差求出答案段的和差求出答案(1)证明：证明：ABBC，EFBC，ABCAEFA，AEEF
3、，MFBC，MEDB，MBCD，又又FCMBCM，MFCM，CFMF，又又BDDE，MED CBD(AAS)，MEBC，CFMFMEEFBCAE，即，即AEBCCF；(2)解：当点解：当点E在线段在线段BA的延长线上，的延长线上，CD是是ACB的角平分线时，的角平分线时，BCAECF，如图，延长，如图，延长CD，EF交于点交于点M.由由(1)同理可证同理可证MED CBD(AAS)，MEBC，由由(1)证明过程同理可得出证明过程同理可得出MFCF，AEEF，BCMEEFMFAECF；当点当点E在线段在线段BA的延长线上，的延长线上，CD是是ACB的外角平分线时，的外角平分线时，AECFBC.如
4、图，延长如图，延长CD交交EF于点于点M，由上述证明过程易得由上述证明过程易得MED CBD(AAS)，BCEM，又又ABBC，ACBCABFAE，EFBC，FFCB，FMCMCE，EFAE，CFFM，AEFEFMMECFBC；(3)解：解：CF18或或CF6，当当DE2AE6时，题图中，由时，题图中，由(1)得：得：AE3，BCABBDDEAE15，CFAEBC31518；题图中，由题图中，由(2)得：得：AEAD3，BCABBDAD9，CFBCAE936；题图中，题图中，DE小于小于AE，故不存在故答案为，故不存在故答案为18或或6.1(2020襄阳襄阳)在在ABC中，中，BAC90，AB
5、AC，点，点D在边在边BC上，上，DEDA且且DEDA，AE交边交边BC于点于点F，连接，连接CE.(1)特例发现：如图，当特例发现：如图，当ADAF时，时，求证：求证：BDCF；推断：推断：ACE_；90(1)证明：如题图，证明：如题图，ABAC，BACF，A D A F，A D F A F D，A D B A F C，ABD ACF(AAS)，BDCF；(2)解：解：ACE的度数为定值且的度数为定值且ACE90.理由：理由：DADE，ADE90，ABAC，BAC90，ACDAED45，A，D，E，C四点共圆，四点共圆，ADEACE180，ACE90；2(铁岭模拟铁岭模拟)如图，在如图，在A
6、BC中，中，ABAC，点，点D为为BC边上一点，经过点边上一点，经过点D的直线与射线的直线与射线AB和射线和射线AC分别交于点分别交于点N和点和点M，且，且BNCM，作，作MEBC，垂足为点垂足为点E.(1)如图，当如图，当BAC60时，直接写出时，直接写出DE和和BC的数量关系：的数量关系：_；(2)如图，当如图，当BAC60 时，时，(1)中中DE和和BC的数量关系还成立吗？判断并证明；的数量关系还成立吗？判断并证明；(3)若若BAC30，BC4,MDC45 时，直接写出时，直接写出AN的长度的长度3(2020泰安泰安)小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，小明将两个直角三角形
7、纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图形，抽象出如图的平面图形，ACB与与ECD恰好为对顶角，恰好为对顶角，ABCCDE90，连接，连接BD，ABBD，点，点F是线段是线段CE上一点上一点探究发现：探究发现：(1)当点当点F为线段为线段CE的中点时，连接的中点时，连接DF(如图如图)，小明经过探究，得到结论：，小明经过探究，得到结论：BDDF.你认为此结论是否成立？你认为此结论是否成立？_；(填填“是是”或或“否否”)是是拓展延伸：拓展延伸：(2)将将(1)中的条件与结论互换，即：若中的条件与结论互换，即：若BDDF，则点，则点F为线段为线段CE的中的中点请判断此结论是否成立若成立，
8、请写出证明过程；若不成立，请说明点请判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；理由；问题解决：问题解决：(3)若若AB6，CE9，求，求AD的长的长解：解：(1)是；是；【解法提示解法提示】如题图，如题图，EDC90，FD为边为边E的中线，的中线，DFCF，FCDFDC，ABC90，AACB90，BABD，AADB，ACBFCDFDC，ADBFDC90，FDB90，BDDF；(2)结论成立：理由：结论成立：理由：BDDF，EDAD，BDCCDF90，EDFCDF90，BDCEDF，ABBD，ABDC，AEDF，AACB90，EECD90，ACBECD，AE，EEDF，EF
9、FD，EECD90，EDFFDC90，FCDFDC，FDFC，EFFC，点点F是是EC的中点；的中点；2.四边形四边形【例例2】(锦州模拟锦州模拟)已知在四边形已知在四边形ABCD中，对角线的交点为中，对角线的交点为O，E是是OC上上的一点，过点的一点，过点A作作AGBE于点于点G，AG，BD交于点交于点F.(1)如图，若四边形如图，若四边形ABCD是正方形，求证：是正方形，求证：OEOF；(2)如图，若四边形如图，若四边形ABCD是菱形，是菱形，ABC120.探究线段探究线段OE与与OF的数的数量关系，并说明理由；量关系，并说明理由；(3)如图，若四边形如图，若四边形ABCD中，中，ADBC
10、，ABDC，ABC，且，且ACBD.结合上面的活动经验，探究线段结合上面的活动经验，探究线段OE与与OF的数量关系为的数量关系为_(直接写出答案直接写出答案).OFtan(45)OE1(阜新模拟阜新模拟)在矩形在矩形ABCD中，中，AC，BD交于点交于点O，点，点P，E分别是直线分别是直线BD，BC上的点，且上的点，且PEPC，过点，过点E作作EFAC交直线交直线BD于点于点F.(1)如图，当如图，当COD90时，时，BEF的形状是的形状是_；(2)如图，当点如图，当点P在线段在线段BO上时，求证：上时，求证：OPBF；(3)当当COD60，CD3时，请直接写出当时，请直接写出当PEF为直角三
11、角形时的面为直角三角形时的面积积等腰直角三角形等腰直角三角形(1)解：如图，在解：如图，在BC上取一点上取一点G，使得，使得CGBE，连接，连接OB，OC，OG.点点O为正方形为正方形ABCD的中心，的中心，OBOC，BOC90，OBEOCG45.OBE OCG(SAS).BOECOG，BEOCGO，OEOG.EOG90，BEF的周长等于的周长等于BC的长，的长，EFGF.EOF GOF(SSS)，EOFGOF45；(2)证明：证明：点点O为正方形为正方形ABCD的中心，的中心，OAEFCO45.BOECOG,AEOBOEOBEBOE45，COFCOGGOFCOG45.AEOCOF，且，且OA
12、EFCO.AOECFO；3(2020昆明昆明)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB5，BC8，点，点E，F分别为分别为AB，CD的中点的中点(1)求证：四边形求证：四边形AEFD是矩形；是矩形；(2)如图，点如图，点P是边是边AD上一点，上一点，BP交交EF于点于点O，点，点A关于关于BP的对称点为点的对称点为点M，当点，当点M落在线段落在线段EF上时，则有上时，则有OBOM.请说明理由；请说明理由；(3)如图，若点如图，若点P是射线是射线AD上一点，点上一点，点A关于关于BP的对称点为点的对称点为点M，连接，连接AM，DM，当，当AMD是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AP的长的长
13、(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABCD，ABCD，A90，AEEB，DFFC，AEDF，AEDF，四边形四边形AEFD是平行四边是平行四边形，形，A90，四边形四边形AEFD是矩形；是矩形；(2)解：如图，连接解：如图，连接PM，BM.四边形四边形AEFD是矩形，是矩形，EFAD，BEAE，BOOP，由翻折可知，由翻折可知，PMBA90，OMOBOP；(1)解：解：AFG是等腰三角形是等腰三角形理由：如图，理由：如图，AE平分平分BAC，12，DFAE，AHFAHG90，AHAH，AHF AHG(ASA)，AFAG，AFG是等腰三角形；是等腰三角形；如图，当点如图，当点F在在AB的延长线上时，点的延长线上时，点G在线段在线段OC上，连接上，连接EF.通过证通过证ABEDAF，再根据题中面积关系和三角函数定义求解，再根据题中面积关系和三角函数定义求解
