1、【题型解读题型解读】二次函数的综合题是江西近二次函数的综合题是江西近10年的必考题型，题位为解答题的年的必考题型，题位为解答题的最后两道题中的一道考查的类型有：最后两道题中的一道考查的类型有：(1)一般的探究问题一般的探究问题(不涉及动态变换不涉及动态变换)(3次次)；(2)与图形规律有关的探究问题与图形规律有关的探究问题(3次次)；(3)与图象变换有关的探究问题与图象变换有关的探究问题(3次次)；(4)与新定义有关的探究问题与新定义有关的探究问题(1次次)；(5)与与动点有关动点有关的探究问题的探究问题(1次次)；主要设问有：；主要设问有：(1)二次函数解二次函数解析式的确定；析式的确定；(
2、2)线段问题；线段问题；(3)特殊三角形、四边形的形状问特殊三角形、四边形的形状问题；题；(4)面积问题面积问题设问点一设问点一 线段问题线段问题(近近8年必考年必考)例例1 如图，直线如图，直线yx3分别与分别与x轴、轴、y轴相交于轴相交于A、B两点，两点，经过经过A、B两点的抛物线两点的抛物线yax22ax3与与x轴的另一交点为轴的另一交点为C.(1)求抛物线的对称轴及与求抛物线的对称轴及与x轴的交点坐标；轴的交点坐标；【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】要求抛物线要求抛物线yax22ax3的对称轴，解析式前的对称轴，解析式前两项都含字母两项都含字母a，则只需代入公式计算即可；已知直线
3、，则只需代入公式计算即可；已知直线yx3分别与分别与x轴、轴、y轴相交于轴相交于A、B两点，则可求出两点，则可求出A点的坐标，再结点的坐标，再结合抛物线的对称性即可求得合抛物线的对称性即可求得C点坐标；点坐标；解：解：(1)已知抛物线已知抛物线yax22ax3，可得抛物线对称轴为，可得抛物线对称轴为直线直线x 1；根据题意可得；根据题意可得B(0，3)，令，令x30，解得解得x3，即，即A(3，0)，根据对称性可得，根据对称性可得C(1，0)22aa(2)点点D为线段为线段AO上的一动点上的一动点(点点D不与点不与点A重合重合)，过点，过点D作作x轴的轴的垂线垂线PD，PD分别与抛物线分别与抛
4、物线 yax22ax3、直线、直线 yx3相交于相交于P、E两点，设两点，设D的横坐标为的横坐标为m.求求PE的长的长(用含用含m的式子表示的式子表示)；当当m为何值时，为何值时，PEAE?【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】求线段长度或用含字母的式子表示线段长，关求线段长度或用含字母的式子表示线段长，关键点在于怎么表示？如何表示？遇到线段等量关系问题，要键点在于怎么表示？如何表示？遇到线段等量关系问题，要想到用同一字母分别表示出两线段长，如何表示？想到用同一字母分别表示出两线段长，如何表示？常考的三种线段长情况如下：常考的三种线段长情况如下：(1)所求线段的两端点横坐标相等，纵坐标不同，
5、如例所求线段的两端点横坐标相等，纵坐标不同，如例1图中的图中的PE、ED；(2)所求线段的两端点纵坐标相等；横坐标不同，如例所求线段的两端点纵坐标相等；横坐标不同，如例1图中的图中的AD、AC，那么，那么(1)中中PE_，ED_；(2)中中AD_，AC_PEyyEDyyADxxACxx注：若两点位置注：若两点位置(谁上谁下，谁左谁右谁上谁下，谁左谁右)不确定，则所表示线段长不确定，则所表示线段长度的代数式需带绝对值符号；度的代数式需带绝对值符号；(3)所求线段两端点横纵坐标均不相等，如本题中的所求线段两端点横纵坐标均不相等，如本题中的AE、BE，那，那么此时需将未知线段向已知线段长靠近，借助抛
6、物线的对称轴么此时需将未知线段向已知线段长靠近，借助抛物线的对称轴(性性)、相似或全等、勾股定理等方法灵活求解，本题中、相似或全等、勾股定理等方法灵活求解，本题中AE_ _ (用含用含m的代数式表示的代数式表示)2 3m(2)由由(1)得得C(1，0)，代入，代入yax22ax3，解得，解得a1，抛物线解析式为抛物线解析式为yx22x3；D的横坐标为的横坐标为m，P的纵坐标为的纵坐标为m22m3，E的纵坐标为的纵坐标为m3，PE(m22m3)(m3)m23m，易得易得OAOB3，AD3m，tanOAB1，即，即BAO45，cosOAB ，即，即 ，AE (3m)，PEAE，即，即m23m (3
7、m)，解得解得m1 ，m23(舍去舍去)，当当m时，时，PEAE；2222ADAE222在点在点D的运动过程中，当的运动过程中，当E为为PD的三等分点时，求的三等分点时，求P的坐标；的坐标；【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】三等分点的关键思考点如下图所示：三等分点的关键思考点如下图所示：分类讨论，分别列等式计算分类讨论，分别列等式计算由得由得P的纵坐标为的纵坐标为m22m3，E的纵坐标为的纵坐标为m3，PDm22m3，DEm3，当当 PDDE时，可得时，可得 (m22m3)m3，解得解得m12，m23(舍去舍去)，当当m12时，可得时，可得m22m33，即，即P的坐标为的坐标为(2，3)
8、；当当DE PD时，可得时，可得 (m22m3)m3，解得解得m1 ，m23(舍去舍去)，当当m1 时，可得时，可得m22m3 ，即，即P的坐标为的坐标为(，)，当当E为为PD的三等分点时，的三等分点时，P的坐标为的坐标为(2，3)或或(，)；1313232312121212154154154当线段当线段PE最长时，最长时，Q为为PD上一点，是否存在上一点，是否存在BQCQ的值最小的值最小的情况？若存在，请求出点的情况？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】要使要使BQCQ的值最小，结合已知点的值最小，结合已知点Q为为
9、PD上一点，上一点，点点M在在x轴的正半轴上，则要想到将相关线段转化到一条直线上，轴的正半轴上，则要想到将相关线段转化到一条直线上，再进行求解再进行求解存在；令存在；令x22x30，解得解得x11，x23，即，即C的坐标为的坐标为(1，0)，由由PEm23m(m )2 ，当当m 时，线段时，线段PE最长，最长，如解图，作点如解图，作点C关于直线关于直线x 的对称点的对称点M，连接，连接BM，BM与与PD相交于点相交于点Q，此时，此时BQCQ的值最小，可得的值最小，可得M的坐标为的坐标为(4，0)，由由M(4，0)，B(0，3)易得直线易得直线BM的解析式为的解析式为y x3，当当x 时，时，y
10、 ，即点，即点Q的坐标为的坐标为()323294323434331534283 15,4 8设问点二设问点二 特殊三角形问题例特殊三角形问题例2 如图，经过原点的抛物线如图，经过原点的抛物线yax24axc(a0)与与x轴相交轴相交于于A、B两点两点(A在在B的左侧的左侧)，且与，且与y轴交于点轴交于点C，点，点D是抛物线的是抛物线的顶点，抛物线的对称轴顶点，抛物线的对称轴DE交交x轴于点轴于点E，连接，连接BD，已知直线，已知直线BD的解析式为的解析式为y2x6.(1)求抛物线的顶点坐标及求抛物线的顶点坐标及a值；值；【自主解答自主解答】解：解：(1)由由BD的解析式的解析式y2x6可得可得
11、B点坐标为点坐标为(3，0)，将将B(3，0)代入代入yx2(3a1)xa22得：得：09(3a1)3a22，解得，解得a1或或a10，a0，a1，抛物线解析式为抛物线解析式为yx22x3，D(1，4)；(2)若若H、K分别为抛物线、分别为抛物线、y轴负半轴上的点，且使四边形轴负半轴上的点，且使四边形BDHK为平行四边形，求点为平行四边形，求点H的坐标；的坐标；【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】要求四边形要求四边形BDHK为平行四边形时、点为平行四边形时、点H的坐标，的坐标，根据题意可得根据题意可得K的横坐标，再根据平行四边形的性质即的横坐标，再根据平行四边形的性质即“对边平对边平行且相
12、等，对角线互相平分行且相等，对角线互相平分”即可求出即可求出H的坐标；的坐标；解：解：(2)如解图，可得如解图，可得K的横坐标为的横坐标为0，四边形四边形BDHK为平行四边形，为平行四边形，H的横坐标为的横坐标为2，将将x2代入代入yx22x3，得得y(2)22(2)35，即即H的坐标为的坐标为(2，5)；(3)若若H、K分别为线段分别为线段BD与与x轴上的点，将轴上的点，将BHK沿沿HK翻折，翻折，点点B刚好落在刚好落在y轴的轴的Q处，且四边形处，且四边形BHQK恰好为平行四边形，求恰好为平行四边形，求四边形四边形BHQK的周长；的周长；【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】由翻折可得由翻
13、折可得BHHQ，再由四边形，再由四边形BHQK恰好为平恰好为平行四边形，得到四边形行四边形，得到四边形BHQK为菱形，进而根据菱形的性质即可为菱形，进而根据菱形的性质即可求出四边形求出四边形BHQK的周长；的周长；解：解：(3)如解图，由翻折可得如解图，由翻折可得BHHQ，又又四边形四边形BHQK恰好为平行四边形，恰好为平行四边形，四边形四边形BHQK为菱形，为菱形，QHx轴，轴，设设H的横坐标为的横坐标为a，则则H的纵坐标为的纵坐标为2a6，HQa；过点过点H作作x轴的垂线，垂足为点轴的垂线，垂足为点R，可得可得HR2a6，BR3a，由勾股定理可得由勾股定理可得BH2BR2HR2(3a)2(
14、2a6)25a230a45；由题意可得由题意可得HQ2BH2，即，即a25a230a45，解得解得a1 ，a2 (舍去舍去)，四边形四边形BHQK的周长为：的周长为：4 153 ；153 54153 545153 54(4)点点P(2，m)是线段是线段BD上一点，过点上一点，过点P作作PFx轴于点轴于点F，G为抛为抛物线上一动点，物线上一动点，M为为x轴上一动点，轴上一动点，N为直线为直线PF上一动点，当以上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐的坐标标【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】要求以要求以F、M、N、G为顶点的四边形
15、是正方形时，为顶点的四边形是正方形时，点点M的坐标，根据题意可先设出点的坐标，根据题意可先设出点M、点、点G的坐标，再根据正方的坐标，再根据正方形的性质列式计算形的性质列式计算(4)将将P(2，m)代入代入y2x6，可得，可得m2262，点点P的坐标为的坐标为(2，2)，如解图，设点如解图，设点M的坐标为的坐标为(n，0)，则点则点G的坐标为的坐标为(n，n22n3)，以以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，为顶点的四边形是正方形，FMMG，即，即|2n|n22n3|,当当2nn22n3时，时，整理得，整理得，n23n10，解得，解得n ，3132当当2n(n22n3)时，时，整理得，整理得
16、，n2n50，解得，解得n ，当以当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标的坐标为为(，0)或或(，0)或或(，0)或或(，0)12123132313212121212设问点四设问点四 面积问题面积问题(10年年2考：考：2009、2010.24)例例4 如图，二次函数如图，二次函数y ax2 ax4的图象与的图象与x轴相交于轴相交于M、A两点两点(M在在A的左侧的左侧)，与，与y轴相交于点轴相交于点B，且，且SMOB SAOB.(1)试说明无论试说明无论a为何值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点为何值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
17、的坐标；【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】由二次函数由二次函数y ax2 ax4的表达的表达 式，易得抛物线必与式，易得抛物线必与y轴交于点轴交于点B(0，4)，再求出抛物，再求出抛物 线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求解；线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求解；1256491256解：解：(1)令令x0，得，得y4，由题意知，由题意知B(0，4)；由由OA3可得可得A的坐标为的坐标为(3，0)；SMOB SAOB，即，即 ，解得解得OM ，即，即M的坐标为的坐标为(，0)，则抛物线的对称轴，则抛物线的对称轴为直线为直线x ，由抛物线的对称性可知，由抛物线的对称性可知，B(0，
18、4)关于关于直线直线x 的对称点为的对称点为(，4)，无论无论a为何值，抛物线恒过为何值，抛物线恒过定点定点(0，4)和和(，4)494292OM OBOA OB43292OM OBOB4343435326565353(2)当当OA3时，若在时，若在x轴上方的抛物线上有一点轴上方的抛物线上有一点Q，且，且SAOQSMOB.求点求点Q的坐标；的坐标；【自主解答自主解答】【思维教练思维教练】根据已知条件设出点根据已知条件设出点Q的坐标，再根据的坐标，再根据SAOQSMOB，列等式进行计算；，列等式进行计算；解：由解：由(1)可得可得二次函数解析式为可得可得二次函数解析式为y(x3)(x )，即即y
19、x2 x4；由由yx2 x4可得可得B的坐标为的坐标为(0，4)，即，即OB4，SAOQSMOB，即，即 ，yQ ，将，将yQ 代入代入yx2 x4，得得x2 x4 ，解得，解得x1 ，x2 ；点点Q的坐标为的坐标为()或或()；43535322QOA yOM OB1633Qy169169535316916951056510565105 16,695105 16,69(3)如图，动点如图，动点P从从A出发，在线段出发，在线段AB上沿上沿AB的方向以每秒的方向以每秒2个个单位长度的速度运动，过点单位长度的速度运动，过点P作作PDy轴于点轴于点D，交抛物线于点，交抛物线于点C.设运动时间为设运动时
20、间为t(秒秒)连接连接BC，当，当t 时，求时，求BCP的面积；的面积；如图，动点如图，动点P从从A出发时，动点出发时，动点Q同时同时 从从O出发，在线段出发，在线段OA上沿上沿OA的方向以每的方向以每 秒秒1个单位长度的速度运动当点个单位长度的速度运动当点P与与B重合重合 时，时，P、Q两点同时停止运动，连接两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将，将DPQ沿直线沿直线PC折叠得到折叠得到DPE.在运动过程中，设在运动过程中，设DPE和和OAB重合部分的面重合部分的面积为积为S，直接写出，直接写出S与与t的函数关系式及的函数关系式及t的取值范围的取值范围56【自主解答自主解答】【思维教练思维教练
21、】用用t值表示出线段长，代入计算即可；解题思路值表示出线段长，代入计算即可；解题思路同同.解：解：如解图，当如解图，当t 时，时，AP2t，PCx轴，轴，AB 5，即，即 ，OD ，5622OAOBOBABODAP452ODt88545563t 当当y 时，时，x2 x4，整理得整理得3x25x80，解得，解得，x11，x2 ，根据题意可知点根据题意可知点C(1，)，由由A、B两点坐标可得直线两点坐标可得直线AB的解析式为的解析式为y x4，x4 ，解得，解得x2，P(2，)，CP3.SBCP PCBD 3(4 )4；434353834343434343431212 【解法提示解法提示】如解图
22、，当点如解图，当点E在在AB上时，由上时，由(2)得得ODQMME t，EQ t，由折叠得：，由折叠得：EQPD，则，则EQy轴轴 ，即，即 ，t ，同理得：，同理得：PD3 t，2224123(0)255514414436 35()2755511 52tttSttt 85165EQAQOBOA163543tt151765当当0t 时，时，SSPDQ PDMQ (3 t)t,S ；当当 t 时，如解图，时，如解图，过点过点N作作NFDP于点于点F，PD3 t，点点Q与点与点E关于直线关于直线PC对称，对称，则则Q(t，0)、E(t，t)，15171212658522412255tt521517
23、65165则则Q(t，0)、E(t，t)，可得可得AB的解析式为：的解析式为：y x4，DE的解析式为：的解析式为：y x t，则交点则交点N()，SSPDN PDFN165438585216824814414436(3)().251152755511ttttt156824,1111tt121.面积求法：面积求法：满满 分分技技法法背景背景作图作图求法求法有一条边在坐标轴上：以在坐标轴上有一条边在坐标轴上：以在坐标轴上的边为底边，过顶点作垂线的边为底边，过顶点作垂线 SABC AB|yC|没有边在坐标轴上：过动点作平行于没有边在坐标轴上：过动点作平行于坐标轴的直线坐标轴的直线 SPAC PP|
24、xCxA|1212背景背景作图作图求法求法四边形有两边在坐标轴上：分割法，四边形有两边在坐标轴上：分割法，过动点作坐标轴的垂线过动点作坐标轴的垂线 S四边形四边形COBPS四边形四边形EOBPSCEP2.动图问题中判断重叠部分面积与运动时间动图问题中判断重叠部分面积与运动时间t的函数关系式：的函数关系式：分段讨论：分段讨论：面积变化情况：将整个运动过程分为几段面积变化情况：将整个运动过程分为几段(通常为两段：动图与另通常为两段：动图与另一图的重叠部分面积变大时、面积不变时，确定各自过程的自变一图的重叠部分面积变大时、面积不变时，确定各自过程的自变量取值范围量取值范围(通过线段长与运动的时间或距离确定通过线段长与运动的时间或距离确定)，观察每一段运，观察每一段运动过程中可变量是否能向不变量过渡动过程中可变量是否能向不变量过渡(面积、线段长等面积、线段长等)，化繁为简，化繁为简，再利用面积计算公式求解再利用面积计算公式求解
