1、 第1页/共13页 2023 北京房山高三一模 数 学 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|11Axx=，|03Bxx=，则AB=（A）0 1)，（B）0 1，（C）(1 3，（D）(1 3)，（2）在4()2xx的展开式中，2x的系数是 （A）8 （B）8 （C）4 （D）4 （3）已知数列na对任意*nN满足11nnaaa+=，且11a=，则5a等于（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（4）“4x0”是“tan1x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）
2、充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知抛物线C:24yx=的焦点为F，抛物线C上一点P到点F的距离为3，则点P 到原点的距离为 （A）2 （B）3（C）2 2 （D）2 3（6）已知直线1(2)ym x+=与圆22(1)(1)9xy+=相交于M，N两点，则|MN的最小值为 （A）5 （B）2 5 （C）4 （D）6（7）已知函数()f x同时满足以下两个条件：对任意实数x，都有()()0f xfx；对任意实数1x，2x，当120 xx时，都有1212()()0f xf xxx.则函数()f x的解析式可能为 （A）()2f xx（B）()2f xx（C）()2xf x（D）()2x
3、f x 第2页/共13页 （8）在ABC中，90C=，2ACBC=P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则|PAPB+的最大值为 （A）16 （B）10 （C）8 （D）4（9）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数人体的血氧饱和度正常范围是 95%100%，当血氧饱和度低于 90%时，需要吸氧治疗在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()eKtS tS=描述血氧饱和度()S t随给氧时间 t（单位：时）的变化规律，其中0S为初始血氧饱和度，K 为参数已知060S=%，给氧 1 小时后，血氧饱和度为 80%若使得血氧饱和度达到 90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为 （精确到0.1
4、，参考数据：ln20.69，ln31.10）（A）0.3 （B）0.5 （C）0.7 （D）0.9（10）如图，已知正方体1111ABCDABC D，则下列结论中正确的是 （A）与三条直线111ABCCD A，所成的角都相等的直线有且仅有一条 （B）与三条直线111ABCCD A，所成的角都相等的平面有且仅有一个（C）到三条直线111ABCCD A，的距离都相等的点有无数个，且在同一条直线上（D）到三条直线111ABCCD A，的距离都相等的点有无数个，且不同在一条直线上 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）在复平面内，复数z对应点
5、的坐标为(0 1)，则(1 i)z+=（12）能够说明“设a b c，是任意实数若abc，则acbc”是假命题的一组整数a b c，的值依次为 （13）已知双曲线2222:1xyCab=的一条渐近线方程为3yx=，则双曲线C的离心率为 （14）在ABC中，sinsin2AA=，23ab=，则A=；bc的值为 （15）设函数2|ln|0()410.xxf xxxx=+，给出下列四个结论：函数()f x的值域是R；1a，方程axf=)(恰有3个实数根；0 x+R，使得00()()0fxf x=；若实数4321xxxx，且)()()()(4321xfxfxfxf=，则)(4321xxxx+的最大值为
6、 第3页/共13页 44ee.其中所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知函数()sin()f xx=+(0，0)的最小正周期为（）求值；（）再从条件、条件、条件三个条件中选择一个作为已知，确定()f x的解析式 设函数2()()2sing xf xx=，求()g x的单调增区间 条件：()f x是偶函数；条件：()f x图象过点(1)6，；条件：()f x图象的一个对称中心为5(0)12，注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分（17）（本小题 14 分）如图，四棱锥PABCD的底面是
7、矩形，PD 底面ABCD，2PDDC=,2 2AD=，M为BC的中点.（）求证：AM 平面PBD；（）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（）求点D到平面APM的距离.（18）（本小题 13 分）某社区组织了一次公益讲座，向社区居民普及垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：编号 正确率 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号 讲座前 65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%讲座后 90%85%80%9
8、5%85%85%95%100%85%90%（）从公益讲座前的 10 份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，求这份答卷正确率低于80%的概率；（）从公益讲座前、后所有正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取 3 份，第4页/共13页 记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）判断此次公益讲座的宣传效果，并说明你的理由.（19）（本小题 15 分）已知椭圆()2222:10 xyEabab+=过点(0 1)B，且离心率为22（）求椭圆E的标准方程；（）若直线l与椭圆E相切，过点(1 0)M，作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：|ON为定值 （20）（本小题
9、 15 分）已知函数xxaaxxf1ln)1()(+=.（）当0=a时，求曲线)(xfy=在点(1(1)f，处的切线方程；（）若)(xf在2=x处取得极值，求()f x的单调区间；（）求证：当10 a时，关于x的不等式()1f x 在区间1e，上无解.（21）（本小题 15 分）如果数列na对任意的*nN，211nnnnaaaa+，则称na为“速增数列”（）判断数列2 n是否为“速增数列”？说明理由；（）若数列na为“速增数列”，且任意项na Z，1213aa=，2023ka=，求正整数 k的最大值；（）已知项数为2k(2k，k Z)的数列 nb是“速增数列”，且 nb的所有项的和等于 k若2
10、nbnc=，1 2 32nk=，证明：12kkc c+第5页/共13页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）C （2）A （3）D （4）A （5）D（6）C （7）B （8）D （9）B （10）D 二、填空题(（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）（11）1i+（12）321，(答案不唯一)（13）2 （14）23，15）三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）解：（）因为，所以.（）选择条件：方法一：因为()sin(2)f xx=+是偶函数，所以(0)1f=.所以sin1=.因为0
11、，所以2=.所以()sin(2)cos22f xxx=+=.所以2()()2sincos2(1 cos2)g xf xxxx=2cos21x=.因为cosyx=在2 2 kk+，()k Z上单调递增，由2 22 kxk+()k Z，解得2kxk+()k Z.所以()g x的单递增区间为2kk+，()k Z.方法二：因为()f x是偶函数，所以对任意Rx，都有()()fxf x=，即sin(2)sin(2)xx+=+，所以2(2)2 xxk+=+-，解得2k=+.因为0，所以2=.（以下与选择方法一相同）选择条件：因为()f x图象过点(1)6，所以()22 62kk+=+Z，2T=2=第6页/
12、共13页 解得2 6()kk=+Z.因为0，所以6=，所以()sin(2)6f xx=+.2()()2sing xf xx=所以 sin(2)(1 cos2)6xx=+sin2 coscos2 sincos2166xxx=+33sin2cos2122xx=+133(sin2cos2)122xx=+3sin(2)13x=+.因为sinyx=在2 2 22kk+，()k Z上单调递增，由2 22 232kxk+()k Z,解得51212kxk+()k Z.所以()g x的单调增区间为 51212kk+，()k Z.选择条件：因为()f x的一个对称中心为50)12（，所以()5212kk+=Z.解
13、得56()kk=+Z.因为0，所以6=.所以()sin(2)6f xx=+.（以下与选择条件相同）第7页/共13页 （17）（）证明：（方法一综合法）PD 面ABCD，AM 面ABCD，PDAM.在矩形ABCD中，ADABABBM=，所以ABDBMA.所以=ABDBMA.则+=90AOBMBDBMAMBDABD=.所以BDAM.又 BDPDD=，AM面PBD.（方法二坐标法）PD 面ABCD，PDADPDDC，又因为底面ABCD是矩形，ADDC，以D为原点，分别以DADCDP，为xyz，轴建立平面直角坐标系.设2 2 2 0)B（，则2 2 0 0)A（，2 2 0)M（，0 0 2)P（，)
14、2(2 0AM=，2 02 2DB=（，），0 22 2AP=（-，）AM0DB=，AMBD.PD 平面ABCD，AM 平面ABCD，AMPD.又 BDPDD=，AM平面PBD.（）（方法一）由（）可知 0 22 2AP=（-，），(2 2 0)AM=，.平面ABCD的一个法向量为()0 01m=，.设平面APM的法向量为()nxyz=，则2202 220n AMxyn APxz=+=+=取2x=得到(212)n=，则平面ABCD与APM所成角的余弦值为|22 7cos,717m nm nnm=第8页/共13页 （方法二综合法）由AM 面PBD，AMPO，POD是平面ABCD与平面APM所成角
15、的平面角.在矩形ABCD中，4 33DO=.在直角三角形PDO中，2 73PO=.平面ABCD与APM所成角的余弦值为2 7cos7DOPODPO=.（）（方法一坐标法）(2 2 0 0)DA=，.平面APM的法向量(212)n=，.所以点D到平面APM的距离为44 777DA ndn=.（方法二综合法）2223sin1cos1()77PODPOD=点D到平面APM的距离为224424 7sin1 cos1()7337dDOPODPOD=.（18）（本小题 13 分）解：（）记事件A为“从公益讲座前的 10 份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，这份答卷正确率低于80%”.在公益讲座之前，10 份
16、垃圾分类知识答卷正确率低于80%的有 6 人，则 63().105P A=（）正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷有 7份，其中讲座前的答卷有 2 份，X的可能取值为012，；3052372(0)7C CP XC=；2152374(1)7C CP XC=；1252371(2)7C CP XC=；X的分布列为 X 0 1 2 P 27 47 17 2416()0127777E X=+=.（）角度一：讲座前答卷正确率的平均值11(65%60%70%60%65%75%90%85%80%100%)75%10 x=+=第9页/共13页 讲座后答卷正确率的平均值为 21(90%85%80%90%85%85
17、%95%100%85%95%)89%10 x=+=因为12xx，公益讲座后答卷正答率的平均值高于公益讲座前答卷正答率的平均值，公益讲座后社区居民答题水平提高，所以公益讲座有明显的效果；角度二：平均值变大，且讲座前答卷的方差 2222221222221(65%75%)(60%75%)(70%75%)(60%75%)(65%75%)10(75%75%)(90%75%)(85%75%)(80%75%)(100%75%)1.65s=+=同理计算讲座后答卷的方差220.34s=因为2212ss，公益讲座之后社区居民答题正确率的方差小，整体水平高，并且比较集中，所以公益讲座有明显的效果；角度三：公益讲座前
18、答题正确率最小值为60%，公益讲座之后答题的正确率最小值为 80%，讲座前的极差为：100%-60%=40%，讲座后的极差为：100%-80%=20%，讲座后答卷正确率的变化范围比讲座前答卷正确率的变化范围小，公益讲座有效果。（19）（本小题 15 分）解：（1）由已知可得，222122bcaabc=+解得2a=，所以，椭圆E的方程为2212xy+=.（2）当切线l的斜率不存在时，直线:2l x=，过点(10)M，作直线l的垂线为0y=，即此时(2 0)N，或(2 0)N，则|2ON=.当切线l的斜率为0时，直线:1l y，过点(10)M，作直线l的垂线为1x=，即此时(11)N，或(11)N
19、，|2ON=；当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为ykxm=+，联立直线l和椭圆E的方程得2212ykxmxy=+=，消去y并整理，得()222214220kxkmxm+=，因为直线l和椭圆E相切，2222164(21)(22)0k mkm=+=，化简并整理，得2221mk=+，第10页/共13页 因为直线MN与l垂直，所以直线MN的方程为1(1)yxk=，联立()11yxkykxm=+，解得22111kmxkkmyk=+=+，即点22111km kmNkk+（，）.222222222222222(1)()1(1)(1)|(1)(1)(1)kmkmk mkmkmONkkk+=+22221
20、22211mkkk+=+.所以，|2ON=.综上所述，|2ON=为定值 （20）（本小题 15 分）解：（）当0=a时，1()lnf xxx=，211()fxxx=+，(1)1f=，切点(11)，.(1)0f=，切线斜率0k=.所以切线方程为1y=.（）因为)(xf在2=x处取得极值，所以(2)0f=.因为211()afxaxx+=+，所以11024aa+=，12a=.当12a=时，)(xf在2=x处取得极小值.222213132(1)(2)()2222xxxxfxxxxx+=+=，由()0fx=，得1x=，或2x=.()fx与()f x随x的变化情况 x(0 1)，1(1 2)，2(2+)，
21、()fx+0 0+()f x ()f x的单调递增区间为(0 1)，(2+)，单调递减区间为(1 2)，.（）证明：“()1f x 在区间1e，上无解”，等价于“()1f x 在区间1e，上恒成立”，等价于“()f x在区间1e，上的最大值1”.第11页/共13页 2211(1)(1)()aaxxfxaxxx+=+=，当10 a时，由()0fx=，得1x=，或1xa=.当1ea时，()0fx，函数()f x在区间1e，上单调递减.所以()(1)1 1f xfa=，不等式()1f x 在区间1e，上无解.当1ea时，所以函数()f x在区间1e，上的最大值为(1)f或(e)f.因为1(e)e(1
22、)efaa=+，11(e)1(e 1)2(e 1)20eefa=，所以(e)1f，又因为(1)11fa=，所以，()1f x 在区间1e，上恒成立.综上，当10 a时，不等式()1f x 在区间1e，上无解.（21）（本小题 15 分）解：（）数列2 n对*n N，21121222nnnnnaa+=，12nnnaa+=，所以1211()()2220nnnnnnnaaaa+=所以，数列2 n为“速增数列”（）因为数列na为“速增数列”，1213aa=，且Zna 所以，对*n N，211nnnnaaaa+，212aa=，所以，323aa，434aa，1kkaak.相加得，21()aa+32(aa)
23、+43(aa)+1(23kkaak+)，即1(1)(2)2kkkaa+.所以4044(1)(2)kk+.6265 4030=，63664158=，所以 k的最大值为 63.（）方法一：（反证法）假设，12kkc c+.因为 nb是“速增数列”，且所有项的和等于 k，x 1(1)a，1a 1()a，e()fx 0+()f x 极小值 第12页/共13页 所以121nnnnbbbb+，122kbbbk+=，因为2nbnc=，2lognnbc=，0nc 所以2122221loglogloglognnnncccc+，且212222logloglogkccck+=.所以121nnnncccc+，因此32
24、2412321kkcccccccc，且1 2 322kkcc cc=所以对任意的1,*mkmN，都有1212mkmmk mcccc+，即1 221mk mmkmccc c+所以1 22213 2212kkkkkc cc cc cc c+.所以1 2 322kkc c cc，与1 2 322kkc c cc=矛盾，所以假设错误，所以12kkc c+.方法二：假设，12kkc c+.因为 nb是“速增数列”，且所有项的和等于 k，所以121nnnnbbbb+，且122kbbbk+=，因为2nbnc=，所以12122nnnnbbbb+，且12222kbbbk+=所以121nnnncccc+，因此32
25、2412321kkcccccccc，且1 2 322kkc c cc=以下同方法一 方法三：要证：12kkc c+，即12 22kkbb+，只需证：11kkbb+.假设，1kkbb+1.因为 nb是“速增数列”，且所有项的和等于 k，所以121nnnnbbbb+，且122kbbbk+=，所以2132432122221kkkkbbbbbbbbbb，所以122211+1kkkkbbbbbb+.所以122kbbbk+，与122kbbbk+=矛盾.所以假设错误，所以11kkbb+.所以12kkc c+.方法四：要证：12kkc c+，即12 22kkbb+，只需证：11kkbb+.由题意可知22121kkbbbb，212232kkbbbb，211kkkkbbbb+.所以21212kkbbbb+，212223kkbbbb+，211kkkkbbbb+.所以212121kkkkbbbbbb+.第13页/共13页 所以2121211()()()()kkkkkkkbbbbbbk bb+=+.所以11kkbb+.所以12kkc c+.
