1、专题6辅助圆问题上一页下一页返回导航类型一定点定长作圆方 法 解 读平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图1)依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合上一页下一页返回导航推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将BEF沿EF折叠得到BEF，则点B的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航思维方法根据线段BA与线段BQ关于线段BP所在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB 长为半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧，然后画出草图，再矩形的性质
2、求出ABQ120，再由矩形的性质和轴对称性可知，BOQ DOC，最后根据S阴影部分S四边形ABQDS扇形ABQS四边形ABODSBOQ S扇形ABQ可求出答案上一页下一页返回导航解析当点P从点A运动到点D时，PQPA,点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积矩形ABCD中，AB1，AD3，ABCBACCQ90.ADBDBCODBOBQ30，ABQ120.由矩形的性质和轴对称性可知，BOQ DOC.上一页下一页返回导航S阴影部分S四边形ABQDS扇形ABQS四边形ABODSBOQS扇形ABQ S四边形ABODSDOCS扇形ABQ S矩形ABCDS扇形ABQ上一页下一
3、页返回导航1如图，四边形ABCD中，ABACAD，BAC50，则BDC_.对 应 训 练25上一页下一页返回导航2如图，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹的长度为_米上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航类型二定弦对定角固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分如图1，在 O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB的劣弧 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)上一页下一页返回导航如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一当C90时，点C在劣弧上运动上一页
4、下一页返回导航【经典母题】如图，ABC为等边三角形，AB2.若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则线段PB长度的最小值为_.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航解析ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACAB2.PABACP，PACACP60，APC120，点P的运动轨迹是当O，P，B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航4如图，RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段PC长的最小值为()对 应 训 练B上一页下一页返回导航5如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B，C
5、同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_.上一页下一页返回导航6如图，已知等边ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AECF，连接AF、BE相交于点P，当点E从点A运动到点C时，点P经过点的路径长为_上一页下一页返回导航7如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点.若点P在y轴上，且APB30，则满足条件的点P的坐标为_上一页下一页返回导航类型三四点共圆1如图1、2，RtABC和RtABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OCODOAOB，A、
6、B、C、D四点共圆即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一上一页下一页返回导航2圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之和等于180，可考虑作它的外接圆解题如图3，在四边形ABCD中，满足ABCADC180，可知四边形ABCD有外接圆 O，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点)上一页下一页返回导航【经典母题】如图，在ABC中，A60，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC2DE.上
7、一页下一页返回导航思维方法证明B、C、D、E四点共圆，进而证明AEDACB，得到DE/BCAD/AB；证明AB2AD，问题即可解决上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航8如图，ABC中，ABC90，AB6，BC8，O为AC的中点，过O作OEOF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为_.5上一页下一页返回导航9如图，若D为等腰RtABC的边BC上一点，且DEAD，BEAB，AD2，则AE的长为_.上一页下一页返回导航10如图，正方形ABCD的边长为4，等边EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE3，求EF的长上一页下一页返回导航解：作EKFG于K
8、，则K是FG的中点，连接AK，BK.EKGEBGEKFEAF90，E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，KBEEGK60，EAKEFK60，ABK是等边三角形，ABAKKB4，作KMAB，则M为AB的中点，上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航类型四点圆最值平面内一定点D和 O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值具体分以下三种情况讨论(规定：ODd，O半径为r)：1当D点在 O外时，dr，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为dr，DE的最小值为dr；上一页下一页返回导航2当D点在 O上时，dr，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE
9、出现最值，DE的最大值为dr2r(即为 O的直径)，DE的最小值为dr0(点D、E重合)；上一页下一页返回导航3当D点在 O内时，dr，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为dr，DE的最小值为rd.上一页下一页返回导航【经典母题】有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，类型如图，ABC90，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_.上一页下
10、一页返回导航思维方法先根据动点到定点定长类型确定点E的运动轨迹在以点B为圆心，BE长为半径的圆上，然后根据点圆最值类型确定当B、E、D三点共线时，线段DE有最值，且最小值为BDBE.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航11如图，已知 C的半径为3，圆外一点O满足OC5，点P为 C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OAOB，APB90，l不经过点C，则AB的最小值为()A2 B4 C5 D6B上一页下一页返回导航12(2020泰安)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()B上一页下一页返
11、回导航13如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将AMN沿MN所在直线折叠，得到AMN，连接AC，则AC的最小值是_.上一页下一页返回导航类型五线圆最值1如图，AB为 O的一条定弦，点C为圆上一动点(1)如图，若点C在优弧 上，当CHAB且CH过圆心O时，线段即为点C到弦AB的最大距离，此时SABC的面积最大(2)如图，若点C在劣弧 上，当CHAB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时SABC的面积最大上一页下一页返回导航2如图，O与直线l相离，点P是 O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的
12、最小距离是dr(如图)，点P到直线l的最大距离是dr(如图)上一页下一页返回导航【经典母题】如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是()A1.5 B1.2C2.4 D以上都不对B上一页下一页返回导航思维方法先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PFFC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FPAB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可上一页下一页返回导航解析 在RtABC中，C90，AC6，B
13、C8，由翻折的性质可知：PFFC2，点P在以F为圆心，2半径的圆上，当FPAB时，点P到AB距离最小过点F作AB垂线，垂足为D，点P在FD上AA，ACBADF90，AFDABC.上一页下一页返回导航AF/ABFD/BC，即4/10FD/8，解得FD3.2.PDFDFP3.221.2.故选B.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航15如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B(0，4)，动点C在以半径为2的 O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与 O相交于点D，连接AB.(1)若点C在第二象限的 O上运动，当OCAB时，BOC的度数为45；(2)若点C在整个 O上运动，当点C运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值上一页下一页返回导航解：(1)45点A(4，0)，点B(0，4)，OAOB4，OAB为等腰直角三角形，OBA45.OCAB，BOCOBA45.上一页下一页返回导航
