1、2023年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4.下列四个选项，正确的是()A. tanB=34B. cotB=43C. sinB=45D. cosB=452. 下列命题中假命题是()A. 任意两个等腰直角三角形都相似B. 任意两个含36内角的等腰三角形相似C. 任意两个等边三角形都相似D. 任意两个直角边之比为1：2的直角三角形相似3. 如图，a/b/c，若ADDF=32，则下面结论错误的是()A. ADAF=35B. BCCE=32C. ABEF=23D. BCBE=
2、354. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP=1，下列选项中正确的是()A. a0B. c0D. bPB)；如果AB的长度为8cm，那么叶片部分AP的长度是 cm11. 如图，已知G为ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E.设GB=a，GC=b，试用xa+yb(x、y为实数)的形式表示向量DE= 12. 小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上(如图所示).已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与
3、观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米.那么观景台的高度为 米. 13. 已知点A(-3,m)、B(-2,n)在抛物线y=-x2-2x+4上，则m n(填“”、“=”或“”)14. 小球沿着坡度为i=1：1.5的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是 m.15. 计算：cos60-sin60cot30-tan45= 16. 如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则sinBAC的值为 17. 如图，点E是矩形ABCD纸片边CD上一点，如果沿着AE折叠矩形纸片，恰好使点D落在边BC上的点F处，已知BF=6cm，tanBAF=34，那么折痕AE的长是 18.
4、 规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”.例如，如图所示，在RtABC中，C=90，CA=CB，CD是斜边AB上的高，其中ACD是等腰三角形，且BCD和ABC相似，所以ABC是“和谐三角形”，直线CD为ABC的“和谐分割线”.请依据规定求解问题：已知DEF是“和谐三角形”，D=42，当直线EG是DEF的“和谐分割线”时，F的度数是 .(写出所有符合条件的情况)三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程
5、或演算步骤）19. (本小题10.0分)如图，在ABC中，已知C=90，sinA=513.点D为边AC上一点，BDC=45，AD=7，求CD的长20. (本小题10.0分)如图，点E在平行四边形ABCD的边BC的延长线上，且CE=2BC，AE与CD交于点F.设AB=a，AD=b(1)用向量a、b表示向量DE；(2)求作：向量EF分别在向量EC、ED方向上的分向量(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)21. (本小题10.0分)已知二次函数y=-3x2+6x+9(1)用配方法把二次函数y=-3x2+6x+9化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向
6、、对称轴和顶点的坐标；(2)如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积22. (本小题10.0分)如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB为5cm，宽MN为10cm，点A是MN的中点，连杆BC、CD的长度分别为18.5cm和15cm，CBA=150，且连杆BC、CD与AB始终在同一平面内(1)求点C到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点D与A的水平距离超过AN的长度，则该支架会倾倒.现将DCB调节为80，此时支架会倾倒吗？(参考数据：tan200.36，cot202.75，s
7、in200.34，cos200.94)23. (本小题12.0分)如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，且BCCE=BDDC.在DE的延长线上取点F，使得DF=AD，联结CF(1)求证：ADE=60；(2)求证：CF/AB24. (本小题12.0分)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0)、B(4,0)，与y轴相交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PDx轴，垂足为点D，直线PD与直线BC相交于点E当CP=CE时，求点P的坐标；联结AC，过点P作直线AC的平行线，交x轴于点F，当BPF=
8、CBA时，求点P的坐标25. (本小题14.0分)如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，BFE=ABC，AE交对角线BD于点F(1)求证：ABFDBA；(2)如图2，联结CF当CEF为直角三角形时，求ABC的大小；如图3，联结DE.当DEFC时，求cosABD的值答案和解析1.C2.B3.C4.D5.B6.D7.178.a-53b9.16：2510.(45-4)11.-23a+23b12.22.313.14.31315.-1216.21717.55cm18.54或27或46或3219.解：C=90，sinA=BCAB=513，令BC=5x，AB=13x，AC=AB2-BC2=(13x)2-
9、(5x)2=12x，BDC=45，C=90，BDC=CBD=45，BC=CD=5x，AD=AC-CD=7x=7，x=1，CD=5x=520.解：(1)四边形是平行四边形，AD/BC，AD=BC，AB/DC，AB=DC，CE=2BC，CE=2AD，CE=2AD=2b，DC=AB=a，DE=DC+CE=a+2b；(2)过F作FM/CE，交DE于M，FN/DE交CE于N，向量EF分别在向量EC、ED方向上的分向量是向量EM和向量EN21.解：(1)y=-3x2+6x+9 =-3(x2-2x)+9 =-3(x2-2x+1-1)+9 =-3(x-1)2+12，y=-3(x-1)2+12，-30，图象开口
10、向下，则对称轴x=1，顶点坐标为(1,12)；(2)根据题意可得平移后的解析式为：y=-3(x-3)2+12， 顶点坐标为(3,12)，即D(3,12)，当y=0时，即-3(x-3)2+12=0，解得：x1=1，x2=5，新函数的图像与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，A(1,0)，B(5,0)，当x=0是，y=-15，点C的坐标为(0,-15)，如图所示S四边形ACBD=SABD+SABC =12412+12415 =54，四边形DACB的面积为5422.解：作CENM于E，BFCE于F，CBF=CBA-FBA=150-90=60，sinCBF=sin60=CFBC=CF18.5，CF=3
11、734(cm)，CE=CF+EF=CF+AB=373+204(cm)点C到水平桌面的距离是373+204cm；(2)作DKFB交FB延长线于K，作CHDK于H，DCH=DCB-HCB=80=60=20，cosDCH=cos20=CHCD0.94，FK=CH=14.1(cm)，BCF=30，BF=12BC=9.25(cm)，BK=FK-BF=4.85(cm)，AN=12MN=5(cm)，此时支架不会倾倒23.证明：(1)ABC是等边三角形， B=ACB=60，AB=BC，BCCE=BDDC，AB：DC=BD：CE，ABDDCE，BAD=CDE，ADC=ADE+CDE=B+BAD，ADE=B=60
12、(2)连接AF，ADE=60，AD=DF，ADF是等边三角形，AF=AD，DAE=BAC=60，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，AB=AC，ABDACE(SAS)，ACE=B=60，ACE=BAC=60，CF/AB24.解：(1)抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0)、B(4,0)，a-b+3=016a+4b+3=0，a=-34b=94，抛物线的表达式：y=-34x2+94x+3；(2)过C作CHPD于H，PC=CE，PH=EH，CH/OB，HCE=CBO，tanHCE=tanCBO，HECH=OCOB=34，令EH=3k，则CH=4k，PH=3k，PD=3+3k，P的
13、坐标是(4k,3+3k)，P在抛物线上，-34(4k)2+94(4k)+3=3+3k，k=12或k=0(舍)，P的坐标是(2,92)；PG/AC，CAB=PFB，BC=OC2+OB2=32+42=5，AB=OA+OB=5，AB=CB，CAB=BCA，PFB=BCA，ABC=BPF，CAB=PBD，P在抛物线上，设P(a,-34a2+94a+3)，CAB=PBD，tanCAB=tanPBD，PDDB=COAO=3，-34a2+94a+34-a=3，a=3或a=4(舍)，当a=3时，-34a2+94a+3=3，P的坐标是(3,3)25.(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABF=EBF，BFE=AB
14、C，ABF+BAF=ABF+EBF，BAF=EBF，ADB=EBF，ADB=BAF，ABF=ABD，ABFDBA；(2)菱形是轴对称图形，FCB=BAF，令ABD=，则CBF=BAE=FCB=，当CEF=90时，CEF=ABE+BAE=3=90，=30，ABC=2=60；当ECF=90时，=90，ABC=2=180，不符合题意；当EFC=90时，EFC=180-CEF-FCE=180-4=90，=22.5，ABC=2=45，当CEF为直角三角形时，ABC=60或ABC=45；连接AC交BD于O，交DE于H，四边形ABCD是菱形，ACBD，DEFC，GCH+DFC=FDG+DFC=90，GCH=FDG，HEC=DBE+BDE，HCE=FCE+HCG，FCE=DBE，HEC=HCE，EF=EC，DE垂直平分FC，DF=DC，ABFDBA，AB：BD=BF：AB，AB2=BDBF=BF(BF+DF)，设BF=x，菱形边长是a，a2=x(x+a)，x=5a-a2，或x=-5a-a2(舍)，BD=BF+FD=5a-a2+a=5a+a2，BO=12BD=5a+a4，cosABD=BOAB=5a+a4a=5+14cosABD的值是5+14
