1、1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3 ； （B）； （C）2； （D）答（ ） 如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A） 10； （B）12；（C） 16； （D）18答（ ） 方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D）答（ ） 已知：（n是自然数）那么，的值是（）；（）；（）；（）答（） 若，其中为自然数，n为使得等式成立的
2、最大的自然数，则（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（） 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么的最大值是（）；（）；（）；（）答（）=1 如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（）；（）；（）2 ；（）3答（ ） 在锐角ABC中，ABC的外接圆半径1，则（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2答（）二、填空题是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方
3、程没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， 3设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，则AD = 第二试x + y，x y，x y，四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）求证：BFAFCF三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红
4、、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足的非负整数的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是(A) (B)= (C); (D)不确定.3.若,则的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)
5、6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A) (B)(C) (D)不确定答( )6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB/CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.则AE:EB等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5
6、 (D)3:10答( )8.设均为正整数,且,则当的值最大时,的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于_.2.若,则的最大值是_.3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则 .4.若都是正实数，且，则 .第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651
7、B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式除以的余式是(A)1; (B)-1; (C); (D);2.对于命题.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A),都对 (B)对,错 (C)错,对. (D),都错.3.设是实数,.下列四个
8、结论:.没有最小值;.只有一个使取到最小值;.有有限多个(不止一个)使取到最大值;.有无穷多个使取到最小值.其中正确的是(A) (B) (C) (D)4.实数满足方程组其中是实常数,且,则的大小顺序是(A); (B);(C); (D).5.不等式的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于56.在中,则的值是(A) (B)(C) (D).答( )7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于(A); (B)(C) (D).答( )8.可以化简成(A); (B) (C) (D)答( )二.填空题1. 当x变化时,分式的
9、最小值是_.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有_个小球.3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=_.4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=_.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在
10、边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.三.已知方程分别各有两个整数根及,且.(1)求证:(2)求证:;(3)求所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：309：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.答( )2设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a
11、2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA都不小于0 B都不大于0C至少有一个小0于D至少有一个大于0答( )3如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A等于4B等于5C等于6D不能确定答( )A1 B-1 C22001 D-22001答( )5若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A4对B8对C12对D16对答( ) 答( )7设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AHAD+BHBE+CHCF的值是答( )A100
12、1 B1001,3989C1001,1996 D1001,1996,3989 答( )二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.3在ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=_.4把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_.第二试(4月3日上午10：0011：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分.一、（本题满分20分）如图所示，在ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：ABC的外
13、心O与A,P,Q四点共圆。思路一：OCPOAQCPO=AQOOAPQ四点共圆（视角定理.）思路二： PAOQBOOPA=AQOOAPQ四点共圆（视角定理.）连接OB、OA。OBA=OAB=OACPAO=QBOPA=QB AO=BOPAOQBOOPA=AQO所以O与A，P,Q,四点同园二、（本题满分20分）周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,15)个题的人数的一个统计.n012312131415做对n个题的人数78102115631如果又知其中做对4个题和4个题以
14、上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？1994年全国初中数学联赛参考答案第一试答案一、选择题；小题号12345678答案ADBBDCBC二、填空题：第二试提示及答案.一、连结OA，OC，OP，OQ.证明OCPOAQ，于是CPO=AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.三、这个表至少统计了200人.1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1已知a355,b444,c533,则有 AabcBcba Ccab DacbA1B2 C3 D43如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4
15、如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 A62B63 C64D655设AB是O的一条弦，CD是O的直径，且与弦AB相交，记MSCABSDAB，N2SOAB，则 AMN BMN CMN DM、N的大小关系不确定6设实数a、b满足不等式a(ab)a|ab，则 Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da0且b0二、填空题1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_个。4以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2ACBC，则CAB_第二试一、 已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如
16、图）求证F为CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案答案：年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ AA.24. B
17、. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ BA. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的
18、个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_.3如果实数满足条件，则_.4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_7_对.第二试一（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P与轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.解
19、 （1）易求得点的坐标为，设，则，.设P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OAOBOCOD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.又，所以，解得.二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB.解 因为BN是ABC的平分线，所以.又因为CHAB，所以，因此.又F是QN的中点，所以CFQN，所以
20、，因此C、F、H、B四点共圆.又，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上.同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB.三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件： 是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1 将两式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.解法2 结合式，由式可得，变形，得 又由式得，即，代入式，得，即.，所以或或.结合式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：
21、（本题满分42分，每小题7分）1. 若均为整数且满足，则 （ B ）A1. B2. C3. D4.2若实数满足等式，则可能取的最大值为 （ C ）A0. B1. C2. D3.3若是两个正数，且 则 （ C ）A. B. C. D.4若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ A ）A13. B9. C6. D 0.5在中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，,则 ( B )A15. B20. C25. D30.6对于自然数，将其各位数字之和记为，如， （ D ）A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知实数满足方程组则 1
22、3 .2二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C已知，则 3在等腰直角ABC中，ABBC5，P是ABC内一点，且PA，PC5，则PB_4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_15_个球.第二试 （A）一（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得 令，则，其中均为自然数.于是，等式变为，即 由于均为自然数，判断易知，使得等式成立的只有两组：和（1）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角
23、形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611.二（本题满分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分线与AB边交于点P，M为ABC的内切圆I与BC边的切点，作MD/AC，交I于点D.证明：PD是I的切线.证明 过点P作I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为ACB的平分线，所以ACPBCP.又因为
24、PA、PQ均为I的切线，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.又因为MD/AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在I上，所以点Q和点D重合，故PD是I的切线.三（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.解 点P、Q在二次函数的图象上，故，解得，.（1）由知解得.又为整数，所以，.(2) 设是方程的两个整数根，且.由根与系数的关系可得，消去，得
25、，两边同时乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整数，所以后面三组解舍去，故.因此，二次函数的解析式为.易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以ABC的面积为.第二试 （B）一（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设，由已知等式可得 令，则，其中均为自然数.于是，等式变为，即 由于均为自然数，判断易知，使得等式成立的只有两组：和（1）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到
26、5个符合条件的三角形.（2）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611.二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值解 由题意知，方程的两根中至少有一个为整数由根与系数的关系可得，从而有 （1）若，则方程为，它有两个整数根和（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由式知或不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由式可得，故，即又，所以，即 如果m为正整数，则，从而，与式矛盾.如果m为负整数，则，从而，与式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根综上所述，
