1、金山区金山区 2019 学年第学年第二二学期学期质量监控质量监控 高高三三数学数学试卷试卷 (满分：满分：150 分，完卷时间：分，完卷时间：120 分钟分钟) （答题请写在答题纸上）（答题请写在答题纸上） 一、一、填空题填空题（本大题共有（本大题共有12 题题，满分满分54 分分，第第16 题每题每题题4 分，第分，第712 题每题每题题5 分分）考生应在答题纸考生应在答题纸的的 相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1集合|03Axx， 2Bx x，则AB= . 2函数 1 2 yx 的定义域是_. 3i 是虚数单位，则 i 1i 的值为_. 4已知线性方程组的增广矩阵为 113 02
2、a ，若该线性方程组的解为 1 2 ，则实数a_. 5已知函数 21 ( ) 11 x f x ，则 1(0) f . 6已知双曲线 2 2 2 10 x ya a 的一条渐近线方程为20xy，则实数a=_. 7已知函数 1 ( )lgsin1 1 x f xx x ，若( )4f m ，则()fm . 8数列 n a的通项公式 * 1 ,1,2, 1 ,3, 2 n n n n an n N，前n项和为 n S，则lim n n S . 9甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有 3 人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取 3 人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是
3、（结果用最简分数表示） 10若点集 22 ( , )|1Ax yxy，,| 22, 11Bx yxy ，则点集 12121122 ( , )|,( ,),(,)Qx yxxx yyyx yA x yB所表示的区域的面积是_. 11 我们把一系列向量(1,2,., ) i a in按次序排成一列， 称之为向量列， 记作 i a， 已知向量列 i a满足： 1 (1,1)a ， 1111 1 ,(2) 2 nnnnnnn axyxyxyn ，设 n 表示向量 1n a 与 n a的夹角，若 2 nn n b ，对任意正整数n，不等式 122 111 .log 1 2 a nnn a bbb 恒成立
4、，则实数a的 取值范围是_. 12设 * nN， n a为(2)1 n n xx的展开式的各项系数之和， 1 6 2 mt ，Rt， 12 2 2 . 333 n n n aana b （表示不超过实数x的最大整数） ，则 2 2 () n ntbm的最小值 为_. 二、二、选择题（本大题共有选择题（本大题共有 4 题题，满分满分 20 分分，每题，每题 5 分）每题分）每题有且有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应相应位置位置，将代表，将代表正确选项正确选项的小方格涂黑的小方格涂黑 13已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为 1111 :0la xb
5、yc， 2222 :0la xb yc，那么 “ 11 22 0 ab ab ”是“两直线 1 l、 2 l平行”的( ) （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 且腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原 平面图形的面积是( ). （A） 2 22 （B） 2 21 （C） 22 （D） 21 15在正方体 1111 ABCDABC D中，下列结论错误的是( ). （A） 2 2 1111111 3A AADABAB （B） 1111 )0ACABAA （C）向量 1 AD 与 1 AB
6、 的夹角是120 （D）正方体 1111 ABCDABC D的体积为 1 |AB AA AD 16函数 f x是定义在 R 上的奇函数，且1f x为偶函数，当0,1x 时， f xx.若函数 g xf xxm 有三个零点，则实数m的取值范围是( ). （A） 1 1 (, ) 4 4 （B）(12, 21) （C） 11 (4,4) 44 kk（kZ） （D）(412,4 + 21)kk （kZ） 三、解答题三、解答题（本大题满分（本大题满分 76 分）分）本大题共有本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步
7、骤出必要的步骤 17 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题个小题, 第第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分 已知四棱锥PAABCDP,底面ABCD,1PA，底面 ABCD是正方形，E是PD的中点，PD与底面ABCD所成角的 大小为 6 . （1）求四棱锥PABCD的体积； （2）求异面直线AE与PC所成角的大小（结果用反三角函数值 表示）. 18 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题个小题, 第第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分 已知函数 2 2cos3si
8、n 2 x f xx. （1）求函数)(xf在区间0,上的单调递增区间； （2）当 11 ( )= 5 f，且 ，求)sin( 的值. 19 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题个小题, 第第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放. 据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型()n * N： 以 6 11 2001500,(16) 300 32400,(728) 23400650 , (2936) n nn f nn nn 表示第n个时
9、刻进入园区的人数； 以 0,(115) 4005000,(1628) 8200,(2936) n g nnn n 表示第n个时刻离开园区的人数 设定每 15 分钟为一个计算单位，上午 8 点 15 分作为第 1 个计算人数单位，即1n；8 点 30 分作为 第 2 个计算单位，即2n；依次类推，把一天内从上午 8 点到下午 5 点分成 36 个计算单位（最后结果四 舍五入，精确到整数） （1） 试分别计算当天12： 30至13： 30这一小时内， 进入园区的游客人数(19)+ (20) + (21)+ (22)和离 开园区的游客人数(19) + (20) + (21) + (22)； （2）请
10、问，从 12 点（即 = 16）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由 E P D C B A 20.（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分）分） 已知动直线l与椭圆 C: 2 2 1 2 y x 交于 11 ,P x y、 22 ,Q x y两不同点， 且OPQ 的面积 2 2 OPQ S， 其中 O 为坐标原点. （1）若动直线l垂直于x轴，求直线l的方程; （2）证明 22 12 xx 和 22 12 yy 均为定值; （3）椭圆 C 上是否存在点 D，E，G，使得三角
11、形面积 2 2 ODEODGOEG SSS? 若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分） 若无穷数列满足：存在 * kN，对任意的 * 0 nnnN，都有 n kn aad （为常数）,则 称具有性质 0 ,Q k n d . （1）若无穷数列具有性质3,1,0Q，且 1 1a ， 2 2a ， 3 3a ，求 234 aaa的值； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列， ，判断是否具有性质 0 ,0Q
12、 k n，并说明理由； （3）设无穷数列 n a既具有性质 1 ,2,Q id，又具有性质 2 ,2,Q jd，其中 * , ,i jij i jN互质， 求证：数列 n a具有性质 1 ,2, ji Qjid i . n ad n a n a n b n c 15 1bc 51 81bc nnn abc n a 金山区金山区 2019 学年第学年第二二学期学期质量监控质量监控 高高三三数学数学试卷评分参考答案试卷评分参考答案 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，分，第第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分） 考生应
13、在答题纸考生应在答题纸 相应编号的空格内直接填写结果相应编号的空格内直接填写结果 10 2（ ，） ；20 +（ ， ） ；3 2 2 ； 42；50；6 1 2 7-2；8 7 4 ；9 1 14 ；1020+；11 1 0, 3 （）；12 9 5 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸 的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13B；14C；15D；16C. 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5
14、 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤的步骤 17(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分) 解：(1)由PA 底面ABCD，得PD与底面ABCD所成角为PDA， 3 分 由= 6 PDA ，得3AD ， 4 分 所以 2 1 1 3 VADPD; 7 分 (2)解法一： 取CD中点F，连接,EF AF，因为/EFPC，所以AEF就是所求角（或其补角） 10 分 由计算得 157 1, 22 AEAFEF， 222 7
15、 cos 27 AEEFAF AEF AE EF 所以，异面直线所成角为其补角，大小为 7 arccos 7 . 14 分 解法二：如图建系（图略） ，得 3 1 0,0,1 ,3, 3,0 ,0, 22 PCE ， 10 分 设异面直线所成角为 ，则 7 cos 7| AE PC AE PC 所以，异面直线所成角大小为 7 arccos 7 . 14 分 18(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分) 解：(1) 1 cos3sin2sin1 6 f xxxx ， 3 分 22, 262 kxkkZ ， 2 22 33 k
16、xk ， 5 分 所以，当0, x 时，函数单调递增区间是0, 3 ; 7 分 (2) 113 2sin1,sin, 6565 9 分 因为, 36263 ，所以cos0 6 ， 4 cos 65 ， 11 分 因而 3424 sin 2sin 22sincos2 36665525 14 分 19(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 解：(1)进入园区人数为(19)(20)(21)(22)ffff 13141516 11111111 300 3333 2400 414738（人） ， 3 分 离开园区的人数(19)(2
17、0)(21)(22)=12800gggg（人） ； 6 分 （2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减， 8 分 当1628n时， 66 1111 ( )( )300 32400(4005000)300 34007400 nn f ng nnn ， 由计算器计算可得： 当1622n时， 0f ng n，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多; 当2328n时， 0f ng n，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；10 分 222282.9130,2323161.30fgfg 11 分 当2936n时，由( )( )65015200f ng nn 递减，且其值
18、恒为负数进入园区游客人数少于离 开游客人数，总人数将变少 13 分 综上，当天下午 13：30 时（22n）园区内的游客人数最多人. 14 分 20(本题满分本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分分) 0)()(ngnf0)()(ngnf 解：(1)直线l垂直于x轴时，,P Q两点关于x轴对称，由 11 12 |2y | 22 Sx与 2 2 1 1 =1 2 y x ，2 分 可得 2 1 1 2 x，所以，直线l的方程为 2 2 x ； 4 分 (2) 若直线l垂直于x轴时，由（1）知， 2
19、2 12 1xx， 22 12 2yy均为定值 5 分 若直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykxm ， 联立 2 2 1 2 y x ykxm ，消去 y 得： 222 (2)220kxkmxm， 则 12 2 2 12 2 2 2 2 2 km xx k m x x k ，由 得 22 2mk， 6 分 由 222 2 12 2 2 1242 |1| 2 kkm PQkxx k ， 2 | 1 m d k ， 22 2 1|2422 | 222 mkm SPQ d k 得 2 422222 44220,22mmkkmk 满足 ， 8 分 222222 2 22 12121222 22
20、224222 21 22 k mmkmk xxxxx x kk ， 9 分 2222 1212 22222yyxx， 综上， 22 12 =1xx 和 22 12 =2yy 均为定值; 10 分 (3) 椭圆 C 上不存在点,D E G，使得三角形面积 2 2 ODEODGOEG SSS , 11 分 假设存在 112233 ,D x yE x yG x y由（2）得 222222 122331 1,1,1xxxxxx ，得 222 123 1 2 xxx 同理， 222 123 1yyy, 13 分 所以,D E G只能在 2 1 2 ，这 4 个点中任取 3 个不同点，而这三点的两两连线中
21、必有一条过 原点，不构成三角形，所以产生矛盾，假设不成立.所以，椭圆 C 上不在点,D E G. 16 分 21(本题满分本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分分) 解：(1) 由 3 0,1 nn aan 1 分 知 41 1aa，所以 234 6aaa； 4 分 (2) 设等差数列 n b公差为d， 等比数列 n c的公比为q，则由题意， 4 11 11 1 481 bc q bdc 解得 1 1 81 1 , 1 20 3 c b dq 5 2019,3 n nn bnc ， 7 分 5
22、32019 n n an ，对任意 0 nn， 5 20331 nk n kn aak 不恒为 0，所以，不具有 性质 0 ,0Q k n . 10 分 （解法二：说明从第二项起单调递增） (3) 由题意得 1 2 (1) 2(2) n in njn aad n aad ， ， ， 12 分 由（1）得 1njin aajd （3） 由（2）得 2n ijn aaid （4） (3)(4) 得 21, 2, j dd n i 15 分 由（1）得 1+ ,2 njnj i aad n （5） ， 由(2)(5) 得 211, 2 nj in ji aaddd n i 即数列 n a具有性质 1 ,2, ji Qjid i . 18 分 n a n a
