1、2021年中考数学考点复习：二次函数 试题精选汇编一选择题1（2020嘉定区二模）下列关于二次函数yx23的图象与性质的描述，不正确的是（）A该函数图象的开口向上B函数值y随着自变量x的值的增大而增大C该函数图象关于y轴对称D该函数图象可由函数yx2的图象平移得到2（2020虹口区一模）抛物线y3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（2020虹口区一模）已知抛物线yx2经过A（2，y1）、B （1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（）Ay10y2By20y1Cy1y20Dy2y104（2020宝山区一模）二次函数y12x2的图象的开口方向（）A向左
2、B向右C向上D向下5（2020杨浦区一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是yx2+6x（0x4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A1米B2米C5米D6米6（2020金山区一模）下列函数中是二次函数的是（）AyBy（x+3）2x2CyDyx（x1）7（2020浦东新区一模）下列函数中，是二次函数的是（）Ay2x1ByCyx2+1Dy（x1）2x28（2020闵行区一模）k为任意实数，抛物线ya（xk）2k（a0）的顶点总在（）A直线yx上B直线yx上Cx轴上Dy轴上9（2020金山区
3、一模）将抛物线y（x+1）23向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）Ay（x1）23By（x+3）23Cy（x+1）21Dy（x+1）2510（2020静安区一模）如果将抛物线yx22平移，使平移后的抛物线与抛物线yx28x+9重合，那么它平移的过程可以是（）A向右平移4个单位，向上平移11个单位B向左平移4个单位，向上平移11个单位C向左平移4个单位，向上平移5个单位D向右平移4个单位，向下平移5个单位11（2020奉贤区一模）已知抛物线yax2+bx+c（a0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x01345y55根据表，下列判断正确的是（）A该抛物线开口向上B该抛物线的对称
4、轴是直线x1C该抛物线一定经过点（1，）D该抛物线在对称轴左侧部分是下降的12（2020黄浦区一模）已知二次函数yx2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）Ay（x+1）2+2By（x+1）22Cy（x1）2+2Dy（x1）2213（2020浦东新区一模）抛物线yx24x+5的顶点坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）14（2020普陀区一模）如果二次函数y（xm）2+n的图象如图所示，那么一次函数ymx+n的图象经过（）A第一、二、三象限B第一、三、四象限C第一、二、四象限D第二、三、四象限15（2020徐汇区一模）已知二次函数y
5、x2+2x3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A该函数图象有最高点（0，3）B该函数图象有最低点（0，3）C该函数图象在x轴的下方D该函数图象在对称轴左侧是下降的二填空题16（2020松江区二模）已知点P（2，y1）和点Q（1，y2）都在二次函数yx2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是 17（2020虹口区二模）如果抛物线y（k1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 18（2020长宁区二模）如果抛物线y（a1）x21（a为常数）不经过第二象限，那么a的取值范围是 19（2020崇明区二模）将抛物线yx2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线的
6、解析式为 20（2020闵行区二模）已知点（1，y1），（，y2），（2，y3）在函数yax22ax+a2（a0）的图象上，那么y1、y2、y3按由小到大的顺序排列是 21（2020闵行区一模）如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线yx24x+m上，那么a和b的大小关系为：a b（从“”“”“”“”中选择）22（2020闵行区一模）平移抛物线y2x24x，可以得到抛物线y2x2+4x，请写出一种平移方法 23（2020虹口区一模）如果函数y（m+1）x+2是二次函数，那么m 24（2020虹口区一模）沿着x轴正方向看，抛物线y（x1）2在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）25（2
7、020虹口区一模）如果抛物线y（1a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是 三解答题26（2020浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、AC、CD，求DAC的正切值；（3）如果点P是原抛物线上的一点，且PABDAC，将原抛物线向右平移m个单位（m0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离27（2020普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线yax24ax+3（a0）经过点A，其
8、顶点为C，直线y1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果PBC与BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标28（2020杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+4经过点A（3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；
9、（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点当EAO与EAF全等时，求点E的纵坐标29（2020嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（3，0）的抛物线yax2+2ax3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；（3）联结AC如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F当EF2FH时，求点E的坐标30（2020长宁区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
10、yx2+mx+n经过点A（2，2），对称轴是直线x1，顶点为点B，抛物线与y轴交于点 C（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点D，求BCD的面积；（3）如果点P在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP交线段OA于点Q，求点P的坐标31（2020宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2
11、）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标参考答案一选择题1解：A、由a10知抛物线开口向上，此选项描述正确；B、抛物线的开口向上且对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误；由yx2+2x（x1）2+1知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误；C、抛物线的对称轴为y轴，该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；D、该函数图象可由函数yx2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；故选：B2解：抛物线y3（x+1）2+1，该抛物线
12、的顶点是（1，1），在第二象限，故选：B3解：抛物线yx2，抛物线开口向上，对称轴为y轴，A（2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）又012，y1y20，故选：C4解：二次函数y12x2中20，图象开口向下，故选：D5解：方法一：根据题意，得yx2+6x（0x4），（x2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米方法二：因为对称轴x2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米故选：B6解：二次函数的解析式为yax2+bx+c（a0），yx（x1）x2x，故选：D7解：二次函数的标准形式为yax2+bx+c（a0），yx2+1是二次函数，故选：C8解：ya（x
13、k）2k（a0），抛物线的顶点为（k，k），k为任意实数，顶点在yx直线上，故选：B9解：将抛物线y（x+1）23向右平移2个单位，新抛物线的表达式为y（x+12）23（x1）23，故选：A10解：抛物线yx28x+9（x4）27的顶点坐标为（4，7），抛物线yx22的顶点坐标为（0，2），顶点由（0，2）到（4，7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位故选：D11解：由表格中点（0，5），（4，5），可知函数的对称轴为x2，设函数的解析式为ya（x2）2+c，将点（0，5），（1，）代入，得到a，c3，函数解析式y（x2）23；抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：C12解
14、：二次函数yx2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y（x+1）22故选：B13解：yx24x+5（x2）2+1，顶点坐标为（2，1），故选：B14解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，m0，n0，则一次函数ymx+n经过第一、三、四象限故选：B15解：二次函数yx2+2x3（x1）22，该函数图象有最高点（1，2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C二填空题（共10小题）16解：二次函数yx2+c的开口向下，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而增大，21，y1
15、y2故答案为：y1y217解：抛物线y（k1）x2+9在y轴左侧的部分是上升的，抛物线开口向下，k10，解得k1故答案为：k118解：抛物线y（a1）x21（a为常数）不经过第二象限，且该抛物线与y轴交于负半轴，a10，解得：a1故答案为：a119解：抛物线yx2+2向右平移3个单位后的解析式为：y（x3）2+2再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y（x3）2+2+2，即yx26x+13故答案是：yx26x+1320解：抛物线的对称轴为直线x1，点（1，y1）到直线x1的距离为2，点（，y2）到直线x1的距离为1，点（2，y3）到直线x1的距离为1，点（1，y1）到直线x1的距离最大，点
16、（，y2）到直线x1的距离最小，而抛物线的开口向上，y2y3y1故答案为y2y3y121解：抛物线yx24x+m的对称轴为x2，当x2时函数有最小值，ba，故答案为22解：y2x24x2（x1）22，y2x2+4x2（x+1）22，两抛物线的顶点坐标分别为（1，2）和（1，2），将抛物线y2x24x先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y2x2+4x故答案为：向左平移2个单位23解：函数y（m+1）x+2是二次函数，m2m2，（m2）（m+1）0，解得：m12，m21，m+10，m1，故m2故答案为：224解：抛物线y（x1）2，该抛物线的对称轴为x1，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，
17、y随x的增大而减小，在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右25解：抛物线y（1a）x2+1的开口向下，1a0，解得，a1，故答案为：a1三解答题（共6小题）26解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），则有，解得，抛物线的解析式为yx22x+3，顶点D（1，4）（2）A（3，0），C（0，3），D（1，4），AD2，CD，AC3，AC2+CD2AD2，ACD90，tanDAC（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H点P在抛物线yx22x+3上，设P（a，a22a+3），可得PH|a22a+3|，AHa+3，PABDAC，tanPABtanDAC当a
18、+33（a22a+3），解得a或3（舍弃），P（，），过点P作x轴的平行线与抛物线交于点N，则点N与点P关于直线x1对称，根据对称性可知N（，），平移的距离为当a+33（a22a+3），解得a或3（舍弃），P（，），过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，则点Q与点P关于直线x1对称，根据对称性可知Q（，），平移的距离为，综上所述，平移的距离为或27解：（1）点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，A（3，0），把A（3，0）代入抛物线yax24ax+3中得：09a12a+3，a1，抛物线的表达式为：yx24x+3，yx24x+3（x2）21，C（2，1）；（2）当y1时，x24x+31，解得：
19、x12，x22+，由题意得：D（2+，1），B（0，1），C（2，1），BC2，BD2+，DBCPBC45，且相似比不为1，只能CBPDBC，即，BP84，P（0，47）；（3）连接AC，过E作EHBD于H，由旋转得：CBDABE，EBDABC，AB232+1210，BC222+224，AC212+122，AB2BC2+AC2，ABC是等腰直角三角形，且ACB90，tanABC，tanEBD，设EHm，则BH2m，E（2m，m+1），点E在抛物线上，（2m）242m+3m+1，4m29m+20，解得：m12，m2（舍），E（4，3）28解：（1）抛物线yax2+bx+4过点A（3，0）和点B（
20、3，2），解得，；（2）如图1，连接AC，DH，点C关于直线AP的对称点D，ADAC，与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（3，0），AC5，AD5，点D（2，0），设直线AP与y轴交于点H，则HCHD，设OHa，则HCHD4a，在RtHOD中，HD2OH2+OD2，（4a）2a2+22，直线AP的截距为；（3）点E是y轴正半轴上一点，AOE是直角三角形，且AOE90当EAO与EAF全等时，存在两种情况：如图2，当EFAAOE90，EFAAOE，EFOA，AHOEHF，AOHEFH90，AOHEFH（AAS），AHEH，由（2）知：OH，EHAHOE，RtAHO中，AH2AO2+OH2，（
21、OE）232+，解得：OE或（舍），点E的纵坐标是；如图3，当EFAAOE90，EFAEOA，AFAO3，EFOE，RtAHO中，AH，FH3，EHOE，RtEFH中，由勾股定理得：EH2FH2+EF2，（OE）2（3）2+OE2，解得：OE36，点E的纵坐标是36；综上，点E的纵坐标是或3629解：（1）该抛物线的对称轴为直线x1，而点A（3，0），点B的坐标为（1，0），c3，故点C的坐标为（0，3），函数的对称轴为x1，故点D的坐标为（1，4）；（2）过点D作DMAB，垂足为M，则OM1，DM4，AM2，OB1，；（3）设直线AC的表达式为：ykx+b，则，解得：，故直线AC的表达式为：
22、yx3，将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a6a30，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x3，设点E（x，x2+2x3），则点F（x，x3），则EF（x3）（x2+2x3）x23x，FHx+3，EF2FH，x23x2（x+3），解得：x2或3（舍去3），故m2，故点E的坐标为：（2，3）30解：（1）抛物线yx2+mx+n的对称轴是直线x1，1，m2，抛物线解析式为yx22x+n，抛物线过点（2，2），422+n2，n2，抛物线的解析式为yx22x2（x1）23，顶点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，由平移知，平移后的抛物线解析式为yx22x3，令y0，则x22x30，x1或x3，点
23、D在x正半轴上，D（3，0），针对于抛物线yx22x2，令x0，则y2，C（0，2），直线CD的解析式为yx2，记直线CD与直线x1的交点为E，则E（1，），SBCDBE|xDxC|（3）|3；（3）如图2，设P（a，a22a2），过点P作PN垂直于直线x1于点N过点Q作QMPN于M，QMNB，PMQPNB，PNa1，BNa22a2+3a22a+1，QM（a22a+1），PM（a1），MNPNPM（a1），点Q与点B的纵坐标之差的绝对值为（a22a+1），Q（a+，a2a），A（2，2），直线OA的解析式为yx，点Q在线段OA上，a+a2a0，a3（舍）或a4，P（4，6）31解：（1）当ya
24、x22ax3aa（x+1）（x3），得A（1，0），B（3，0），直线l：ykx+b过A（1，0），0k+b，即kb，直线l：ykx+k，抛物线与直线l交于点A，D，ax22ax3akx+k，即ax2（2a+k）x3ak0，CD4AC，点D的横坐标为4，314，ka，直线l的函数表达式为yax+a；（2）如图1，过E作EFy轴交直线l于F，设E（x，ax22ax3a），则F（x，ax+a），EFax22ax3aaxaax23ax4a，SACESAFESCEF（ax23ax4a）（x+1）（ax23ax4a）x（ax23ax4a）a（x）2a，ACE的面积的最大值a，ACE的面积的最大值为，a，
25、解得a；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax22ax3aax+a，即ax23ax4a0，解得：x11，x24，D（4，5a），抛物线的对称轴为直线x1，设P（1，m），如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（4，21a），m21a+5a26a，则P（1，26a），四边形ADPQ是矩形，ADP90，AD2+PD2AP2，52+（5a）2+32+（26a5a）222+（26a）2，即a2，a0，aP（1，）；如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，3a），m5a（3a）8a，则P（1，8a），四边形APDQ是矩形，APD90，AP2+PD2AD2，（11）2+（8a）2+（14）2+（8a5a）252+（5a）2，即a2，a0，a，P（1，4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，）或（1，4）
