1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 4. 函
2、数的最小正周期和最大值分别是（ ）A. 和B. 和2C. 和D. 和25. 若满足约束条件则的最小值为（ ）A. 18B. 10C. 6D. 46. （ ）A. B. C. D. 7. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 下列函数中最小值为4的是（ ）A. B. C. D. 9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 10. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 11. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 212. 设，若为函数的极大值点，则（ ）A. B.
3、 C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量，若，则_14. 双曲线的右焦点到直线的距离为_15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备
4、各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积19. 设是首项为1的等比数列，数列满足已知，成等差
5、数列（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和证明：20. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.21. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标（二）选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程 选修45:不等式选讲23. 已知函数（1）当时，求不
6、等式解集;（2）若，求a的取值范围2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 答案解析一、选择题: 1. A解析：由题意可得：，则.故选A.2. C解析：由题意可得：.故选C.3. A解析：由于，所以命题为真命题；由于，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、为假命题.故选A4. C解析：由题，所以的最小正周期为，最大值为.故选C5. C解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选C.6. D解析：由题意，.故选D.7. B解析：设“区间随机取1个数” ，“取到的数小于”，所以故选：B8. C解析：对于A
7、，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选C9. B解析：由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B10. D解析：如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选D11. A解析：设点，因为，所以，而，所以当时，的最大
8、值为故选A12. D解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.依题意，为函数的极大值点，当时，由，画出的图象如下图所示：由图可知，故.当时，由时，画出的图象如下图所示：由图可知，故.综上所述，成立.故选D二、填空题： 13. 答案：解析：由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为.14. 答案：解析：由已知，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线距离为.故答案为15. 答案：解析：由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为.16.解析：选择侧视图为，俯视图为，如图所示，长方体中，分别为棱的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥.故答案为：.三、解答题
9、 （一）必考题： 17. 答案：（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.解析：（1），.（2）依题意，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.18. 答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1）因为底面，平面，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面（2）由（1）可知，平面，所以，从而，设，则，即，解得，所以因为底面，故四棱锥的体积为19. 答案：（1），；（2）证明见解析.解析：因为是首项为1的等比数列且，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，得 ，所以，所以，所以.20. 答案：（1）；（2）最大值为.解析：（1）抛
10、物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线斜率，当时，；当时，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.21. 答案：(1)答案见解析；(2).解析： (1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.(2)由题意可得：，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为.（二）选考题: 选修4-4:坐标系与参数方程22. 答案：（1），（为参数）；（2）或.解析：（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或 选修45:不等式选讲23. 答案：（1）.（2）.解析：（1）当时，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，故，所以或，解得.所以的取值范围是.
