1、第二十二章二次函数培优练习题一选择题1二次函数y3（x+4）25的图象的顶点坐标为（）A（4，5）B（4，5）C（4，5）D（4，5）2已知点（x1，y1），（x2，y2）是某函数图象上的相异两点，给出下列函数：yx24x+2（x1）；y2x24x+5（x0）；y12x，则一定能使成立的是（）ABCD3抛物线yax2+bx+c（a0）如图所示，下列结论：abc0；点（3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1y2；b2（a+c）2；2ab0正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个4若抛物线yax2+bx+c（a0）经过第四象限的点（1，1），则关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（）
2、A有两个大于1的不相等实数根B有两个小于1的不相等实数根C有一个大于1另一个小于1的实数根D没有实数根5对称轴为直线x1的抛物线yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）如图所示，小明同学得出了以下结论：abc0，b24ac，4a+2b+c0，3a+c0，a+bm（am+b）（m为任意实数），当x1时，y随x的增大而增大其中结论正确的个数为（）A3B4C5D66如图是二次函数yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为x，且经过点（2，0）下列说法：abc0；2b+c0；4a+2b+c0；若（，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1y2；bm（am+b）（其中m）其中说法正确的是（
3、）ABCD7如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）若抛物线yax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba1Ca3Da18若抛物线yx2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B抛物线yx2+2x+m+1与直线ym+2有且只有一个交点；若点M（2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1y2y3；将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y（x+1）2+m；点A关于直线x1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m1时，四边形BCDE周长的最小值为3
4、+其中错误的是（）ABCD9对于二次函数yx22mx3，有下列说法：它的图象与x轴有两个公共点；如果当x1时y随x的增大而减小，则m1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m1；如果当x4时的函数值与x2008时的函数值相等，则当x2012时的函数值为3其中正确的个数是（）A1B2C3D410若抛物线M：yx2（3m1）x3与抛物线M：yx2+10x+2n+5关于直线x2对称，则m，n值为（）Am1，n10Bm2，n5Cm1，n8Dm2，n711已知抛物线yax2+bx+c（a0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，点P（m，n）（n0）在该抛物线上下列四个判断：b24
5、ac0；若a+cb+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；方程ax2+bx+cn的解是xm；当m时，PAB的面积最大其中判断一定正确的序号是（）ABCD12一次函数yacx+b与二次函数yax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD13下列关于抛物线y4x22x+1的描述不正确的是（）A开口向下B当x时，y随x的增大而增大C与y轴交点是（0，1）D当x1时，y014如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法中错误的是（）Ac3BmCn2Db115如图，抛物线yx2+2x+2交y轴于点A，与x轴的一个交点在2
6、和3之间，顶点为B下列说法：其中正确判断的序号是（）抛物线与直线y3有且只有一个交点；若点M（2，y1），N（1，y2），P（2，y3）在该函数图象上，则y1y2y3；将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y（x+1）2+1；在x轴上找一点D，使AD+BD的和最小，则最小值为ABCD二填空题16当0x3时，直线ya与抛物线yx22x2有交点，则a的取值范围是 17抛物线y（x1）（x3）的对称轴是直线x 18已知二次函数y3x2+2x，当1x0时，函数值y的取值范围是 19把y2x28x+4配方成ya（xh）2+k的形式是 20某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的
7、市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元三解答题21已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在图中画出该函数的图象22小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12x15，且x为整数），设每周销售该
8、款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？23如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y（x1）2m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时PCD的面积最大，最大面积是多少（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分24已知某二次函数yx2+2x+c的图象经过点（2，5）（1）求该二次函数的解析式及其顶点坐标；（2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线，判断
9、点（1，2）是否在新抛物线上25某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍（1）当100x300时，y与x的函数关系式为 （2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100x400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？26如图抛物线经过点A（6，0），B（2，0），C（0，3），点D为该抛物线的顶点（1）求该抛物线的解析式和点D坐标；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，且
10、在该抛物线上是否存在点Q，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一选择题1解：二次函数y3（x+4）25，该函数图象的顶点坐标为（4，5），故选：D2解：由yx24x+2（x1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线x2，当x1时，无法确定y1，y2的大小，则无法确定使一定成立；由y2x24x+5（x0）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x1，当x0时，y随x的增大而减小，若x1x2，则y1y2，一定能使成立；由y12x可知函数y随x的增大而减小，若x1x2，则y1y2，一定能使成立；故选：C3解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在y轴
11、的左侧，a、b同号，b0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，abc0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x，而10，点（3，y1）到对称轴的距离比点（1，y2）到对称轴的距离大，y1y2，所以，正确；x1时，y0，即a+b+c0，x1时，y0，即ab+c0，（a+c）2b2（a+cb）（a+c+b）0，b2（a+c）2，所以正确；10，2ab，2ab0，所以错误故选：B4解：由抛物线yax2+bx+c（a0）经过第四象限的点（1，1），画出函数的图象如图：由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根，故选：C5解：由图象可知：a0，c0，1，b2a0，a
12、bc0，故错误；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，b24ac，故正确；当x2时，y4a+2b+c0，故错误；当x1时，yab+ca（2a）+c0，3a+c0，故正确；当x1时，y取到值最小，此时，ya+b+c，而当xm时，yam2+bm+c，所以a+b+cam2+bm+c，故a+bam2+bm，即a+bm（am+b），故正确，当x1时，y随x的增大而减小，故错误，故选：A6解：抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为x，ba0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以正确；对称轴为x，且经过点（2，0），抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），122，c2a，2b+c2a2a0所以正确
13、；抛物线经过（2，0），当x2时，y0，4a+2b+c0，所以错误；点（，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴远，y1y2，所以正确；抛物线的对称轴x，当x时，y有最大值，a+b+cam2+bm+c（其中m）ab，bm（am+b）（其中m），所以正确所以其中说法正确的是故选：A7解：当抛物线经过（1，3）时，a3，当抛物线经过（3，1）时，a，观察图象可知a3，故选：A8解：yx2+2x+m+1（x1）2+m+2，抛物线yx2+2x+m+1的顶点坐标为（1，m+2），顶点在直线ym+2上，所以的说法正确；抛物线的对称轴为直线x1，点M到对称轴的距离最大，点N到对称轴的距离最小，而抛物线的开口
14、向下，y1y3y2，所以的说法错误；点（1，m+2）向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得对应点的坐标为（1，m），平移后的抛物线解析式为y（x+1）2+m，所以的说法正确；当m1时，A（0，2），B（1，3），点A关于直线x1的对称点为C，C（2，2），作B点关于y轴的对称点B，C点关于x轴的对称点C，连接BC，BC交x轴于D，交y轴于E，连接BE、CD，如图，EBEB，DCDC，BE+DE+DCEB+DE+DCBC，此时BE+DE+DC的值最小，四边形BCDE周长的最小值BC+BC，B（1，3），C（2，2），BC，而BC，四边形BCDE周长的最小值为+，所以的说法错误故选：C9解：（
15、2m）241（3）4m2+120，它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；当x1时y随x的增大而减小，对称轴直线x1，解得m1，故本小题错误；将它的图象向左平移3个单位后过原点，平移前的图象经过点（3，0），代入函数关系式得，322m330，解得m1，故本小题错误；当x4时的函数值与x2008时的函数值相等，对称轴为直线x1006，1006，解得m1006，函数关系式为yx22012x3，当x2012时，y201222012201233，故本小题正确；综上所述，结论正确的是共2个故选：B10解：由抛物线M：yx2（3m1）x3可知抛物线M的对称轴为直线x，交y轴于点（0，3），抛物线M：yx
16、2+10x+2n+5的对称轴为直线x5，抛物线M：yx2（3m1）x3与抛物线M：yx2+10x+2n+5关于直线x2对称，（5）2，解得m1，点（0，3）关于直线x2对称的点（4，3），在抛物线M：yx2+10x+2n+5上，把点（4，3）代入得31640+2n+5，解得n8，故选：C11解：抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，b24ac0，所以错误；若a+cb+3，即ab+c3，则该抛物线一定经过点（1，3），所以错误；当P（m，n）为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+cn的解是xm；若P（m，n）不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+cn有两个不相等的实数解，所
17、以错误；当P点为顶点时，PAB的面积最大此时xm，x1、x2为方程ax2+bx+c0的两不相等的实数解，x1+x2，m，所以正确故选：D12解：A、由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a0，b0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项不合题意故选：B13解：40，故抛物线开口向下，故A不符合题意；函数对称轴为：x，函数对称轴左侧，y随x的
18、增大而增大，故B不符合题意；函数与y轴的交点是（0，1），故C不符合题意；当x1时，y4+2+11，故D符合题意；故选：D14解：由图象可得，c0，故选项A正确；a0，图象开口向上，顶点为最低点，n2，故选项C正确；二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，2），B（2，5），得3a+3b3，即a+b1，a0，b1，故选项D正确；二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过A（1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），0m，即0m，故选项B错误；故选：B15解：抛物线的顶点B（1，3），则抛物线与直线y3有且只有一个交点，正确，符合题意；抛物线x轴的一个交点在2和3之间，则抛物线
19、与x轴的另外一个交点坐标在x0或x1之间，则点N是抛物线的顶点为最大，点P在x轴上方，点M在x轴的下放，故y1y3y2，故错误，不符合题意；yx2+2x+2（x1）2+3，将该抛物线先向左，再向下均平移2个单位，所得抛物线解析式为y（x+1）2+1，正确，符合题意；点A关于x轴的对称点A（0，2），连接AB交x轴于点D，则点D为所求，距离最小值为BD，正确，符合题意；故选：C二填空题（共5小题）16解：yx22x2（x1）23法一：ya与抛物线yx22x2有交点，则有ax22x2，整理得x22x2a0，b24ac4+4（2+a）0，解得a3，0x3，对称轴x1，y（31）231，a1，3a1；
20、法二：由题意可知，抛物线的顶点为（1，3），而0x3，抛物线y的取值为3y1，ya，则直线y与x轴平行，要使直线ya与抛物线y（x1）23有交点，抛物线y的取值为3y1，即为a的取值范围，3a1故答案为：3a117解：抛物线y（x1）（x3）x24x+3（x2）21，该抛物线的对称轴是直线x2，故答案为：218解：y3x2+2x3（x+）2，函数的对称轴为x，当1x0时，函数有最小值，当x1时，有最大值1，y的取值范围是y1，故答案为y119解：y2x28x+42（x24x+4）42（x2）24即y2（x2）24故答案为：y2（x2）2420解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为ykx
21、，30k60，得k2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y2t，当0t20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为wat，20a30，得a1.5，即当0t20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w1.5t，当20t30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w30，设日销售利润为W元，当0t20时，W1.5t2t3t2，故当t20时，W取得最大值，此时W1200，当20t30时，W302t60t，故当t30时，W取得最大值，此时W1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800三解答题（共6小题）21解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
22、0），解得：，二次函数的解析式为yx2+4x+3（2）由yx2+4x+3（x+2）21，列表得：x43210y30103如图即为该函数的图象：22解：（1）设y与x之间的函数关系式是ykx+b（k0），得，即y与x之间的函数关系式为y50x+1100；（2）由题意可得，w（x10）y（x10）（50x+1100）50（x16）2+1800，a500w有最大值当x16时，w随x的增大而增大，12x15，x为整数，当x15时，w有最大值，此时，w50（1516）2+18001750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元23解：（1）当y（x1）2m2+2m+1过原点（0，0）
23、时，01m2+2m+1，得m10，m22，当m10时，y（x1）2+1，当m22时，y（x1）2+1，由上可得，当m0或m2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y（x1）2+1，对称轴为直线x1，顶点为（1，1）；（2）抛物线y（x1）2m2+2m+1，该抛物线的顶点P为（1，m2+2m+1），当m2+2m+1最大时，PCD的面积最大，m2+2m+1（m1）2+2，当m1时，m2+2m+1最大为2，y（x1）2+2，当y0时，0（x1）2+2，得x11+，x21，点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（1+，0）CD（1+）（1）2，SPCD2，即m为1时PCD的面积最大，最大面积是2；（3）
24、将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3n），B（5，3n）当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3n）或（4，3n）在该抛物线解析式上，把（3，3n）代入抛物线解析式得，3n（31）2m2+2m+1，得nm22m+6；把A（4，3n）代入抛物线解析式，得3n（31）2m2+2m+1，得nm22m+11；nm22m+6或nm22m+1124解：（1）点（2，5）在yx2+2x+c的图象上，54+4+c，c3二次函数的解析式为yx2+2x3，yx2+2x3（x+1）24，二次函数的顶点坐标为（1，4）；（2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线为y（x+1）22，把x1代入得，y2，点（1
25、，2）不在新抛物线上25解：（1）当100x300时，设y与x的函数关系式为：ykx+b，根据题意得出：，解得：，y与x的函数关系式为：yx+110，故答案为：yx+110；（2）当x200时，y20+11090，9020018000（元），答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；（3）分两种情况：当100x300时，w（x+11071）x+39x（x195）2+3802.5，批发件数x为10的正整数倍，当x190或200时，w有最大值是：（200195）2+3802.53800；当300x400时，w（8071）x9x，当x400时，w有最大值是：94003600，一
26、次性批发A品牌服装x（100x400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元26解：（1）设抛物线解析式为：ya（x+6）（x+2），由题意可得：312a，a，抛物线解析式为：y（x+6）（x+2）x2+2x+3；（2）点A（6，0），B（2，0），对称轴为x4，设点P（4，m），点Q（x，x2+2x+3），若以AC为边，AP为边，以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，CP与AQ互相平分，x2，点Q（2，8）；若以AC为边，CP为边，以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，AP与CQ互相平分，x10，点Q（10，8）；若AC为对角线，以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，AC与PQ互相平分，x2，点Q（2，0）；综上所述：点Q坐标为（2，8）或（10，8）或（2，0）
