1、第16章几何变换16.1对称和平移1611设是边长为2的正三角形的边的中点是边上的任意一点，求的最小值解析 作正三角形关于的对称图形是的对称点，故是的中点，如图所示，则.连结，易知，所以所以，的最小值是1612已知中，试在的边、上分别找出一点、，使最小解析 作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连与、分别交于点、，则、即为所求，如图所示事实上，对于、上的任意点，评注 因为，所以所作线段必与线段、相交1613求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍解析 如图所示，设在直角三角形中，是斜边上的高，是它的任一内接三角形将以为对称轴反射为，此时反射为，再将以为对称轴反射为，此时反射为延长
2、交于易知，所以，即，且是两平行线与之间的距离所以.1614在内取一点使，设，求.解析 本题中为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作的高与直线交于点由对称性知，所以，从而，因为，又，所以，于是，所以1615在中，是高，在边上，已知，求的面积解析 作的关于的对称图形，作的关于的对称图形分别延长和，它们相交于，如图所示易知，且，所以，四边形是正方形设正方形的边长为，则，在直角三角形中，由勾股定理知解方程，得，即所以1616如图，凸四边形的四个顶点分别在边长为的正方形的四条边上，求证：的周长不小于解析 作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，
3、再作正方形关于的轴对称图形，得到正方形，而、四点的对应点如图所示显然，故，所以四边形的周长即四边形的周长不小于1617如图，和是两个不全等的等腰直角三角形，现固定而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位置，线段上必存在点使力等腰直角三角形解析 如图，设为等腰直角三角形，下面证明点在线段上作关于的对称点，则因为，所以，又所以又是关于的对称点同理也是关于的对称点，因此，又因，所以即在上（且为的中点）1618如图，矩形中，若在、上各取一点、，使的值最小，试求出这个最小值解析 作关于直线的对称线段，即、关于对称，作关于的对称点，则在上，且有于，于由对称变换可知，.欲使最小，必须共线，所以最小值为点
4、到的距离.在中，所以，则在中，又，在中，则从而的最小值为161619凸四边形中，求证：.解析将沿翻折，点落在点因为，所以必定在内部延长线交于点，则.16110设表示凸四边形的面积，证明解析如图，作点关于的垂直平分线的对称点，显然与关于成轴对称图形所以，.16111在矩形内取一点，使，试求的值解析 如图将沿平移至，显然，所以，由已知条件，即、四点共圆，从而16112设是平行四边形内一点，使得，证明：解析 如图，把平移至，则，及，所以又已知，故，从而、四点共圆于是，又，所以16113（1）如图（a）所示，在梯形中，.已知：，求梯形的面积（2）如图（b），在梯形中，是的中点，于设，求梯形的面积解析（
5、1）将平移到，连结，则，所以因此因为，所以（2）将平移至，如图（b）所示，过点由于，所以评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法16114如图，在四边形中，、分别是及中点，的延长线与及的延长线分别交于点、求证：解析1如图（a），将线段平移至则四边形为平行四边形由于是中点，故、共线现在是的中位线，故，所以，又显然故于是解析2如图（b），连结，取中点为，连结、，则、分别为、的中位线，所以，故，且，故，所以16115如图，、均垂直于，垂足为、，求的值解析 将平移到，在线段上，延长交于，将平移到，在上因为、均垂直于，所以四边形和都是矩形由，得又，所以，所以，于是，在中，也即16116在正三角形
6、的三条边上，有三条相等的线段、证明：直线、所成的三角形中，三条线段、与包含它们的边成比例解析 如图，将平移到，连结、因为四边形为平行四边形，所以，故为正三角形，这样所得四边形为平行四边形，因此，由、这三条线段构成的三角形与全等，而，从而命题得证16117如图所示，且共点于，求证：解析 将沿方向平移长的距离，得，将沿方向平移长的距离，得由于，所以又因，故与重合，且、三点共线在正三角形中，16118如图，由平行四边形的顶点引它的高和，已知，求点到的垂心的距离解析 令表示的垂心考虑到，有同理有，因而四边形，为平行四边形，平移到位置，显然为上一点，所求线段即，已与位于同一直角三角形中由于四边形为矩形，
7、有，于是16119已知的面积为，、分别为、上的点，且，试求以、为边的三角形的面积解析 如图，过点作平行且等于连、，则四边形为平行四边形，又，所以，因此.又因，所以于是四边形也为平行四边形，从而，即为、所构成的三角形，它的面积为在梯形中，所以，而，所以，因此16.2旋转1621对于边长为1的正内任一点求证：解析 把绕点旋转到则为正三角形，且，因而1622设是等边三角形内一点，试求此等边三角形的边长解析 如图，把绕点逆时针旋转，到达的位置，显然，在中，所以故.在中，由余弦定理，得所以，等边三角形的边长是1623设是正三角形内一点，已知，求以线段、为边构成的三角形的各角解析 以为旋转中心，将按逆时针
8、方向旋转，旋转至，如图所示连结由于，所以是正三角形，故又，故是以、为边构成的一个三角形因此，从而所以，以线段、为边构成的三角形的各角分别为、和1624如图，两个正方形与（顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段、的中点是某正方形的顶点解析 设、分别是正方形、的中心，、分别是线段、的中点，先证是以为斜边的等腰直角三角形连结、，将绕逆时针旋转，则、分别到、位置，所以，因为、分别是、的中点，所以同理所以，且即是以为斜边的等腰直角三角形同理可证也是以为斜边的等腰直角三角形故、是正方形的四个顶点1625正方形内有一点，求正方形的面积解析 将绕点旋转，得连结易知，于是在中，所以是直角三角形
9、，从而由余弦定理得1626在正方形的边和上分别取点和，使得，在线段上取点，使得证明：是直角解析 如图所示，在边上取点，使，连结、由于，所以、四点共圆，作四边形的外接圆和矩形的外接圆，因为这两个外接圆均过、三点，从而这两圆是相同的，所以易知.故以正方形的中心为旋转中心，将以逆对针方向旋转，则旋转至，从而又，故、三点共线，所以1627已知凸六边形中，求证：（1）；（2），解析 （1）将绕点旋转，使与重合，得到，如图所示连结因为，所以因此.从而，所以（2）由（1）可知，所以同理可证：，评注 本题通过旋转，把、拼成一个与全等的新三角形.也可以采取向内部旋转的方法，把、放在的内部，使之恰好“拼成”162
10、8如图所示，、是边长为1的正方形内两点，使得，求的值解析 将绕点顺时针旋转至，绕点逆时针旋转至，连结、，则，又，所以、三点共线，且，故，所以1629在中，点不与重合求证.解析 如图，将绕点旋转至的位置，使与共线于是又因为，所以故在等腰中，因此，从而.评注 此题似乎依赖于图形，在内，事实上在其他位置照样成立，方法完全一样16210凸四边形中，点、分别是、的中点，且（是常数），求证：解析 如图所示，将绕点旋转得，将绕点旋转得，连，于是，所以与凸四边形的边不相交故16211如图，设为锐角内一点，且，求的值解析 将线段绕点顺时针旋转到，连结、因为，所以，又，则由，得，于是，所以，从而所以，则，即在中，故教学资料最新版本20
