1、中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式 一、单元知识网络： 二、考试目标要求： 1代数式在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.2整式与分式了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)；会推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；了解分式的概念，
2、会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.3二次根式了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.三、知识考点梳理1代数式(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式单个的数字或字母也可 以看作代数式(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来(3)用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值2整式(1)单项式： 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算在含
3、有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数单独一个数或一个字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.(2)多项式： 几个单项式的代数和叫做多项式也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.(3)整式： 单项式和多项式统称整式(4)同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项(5)整式的加减： 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类
4、项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.(6)整式的乘除幂的运算性质：单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达：多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每
5、一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加(7)因式分解： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解因式分解的两种基本方法：提公因式法：运用公式法：平方差公
6、式：完全平方公式：3分式(1)分式的意义： 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式其中分式无意义；分式有意义分式的值为0A=0且这两个条件缺一不可(2)最简分式： 如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式)如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分(3)分式的基本性质： (4)分式的运算： 分式的加减： ，分式的乘除：，分式的乘方：.4二次根式： (1)二次根式的概念： 式子叫做二次根式是一个非负数.(2)二次根式的性质： (3)最简
7、二次根式： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(4)二次根式的运算： 二次根式的乘除：二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.四、规律方法指导对于整式、分式、二次根式等内容，中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查，旨在让我们探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能力.因此，在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想，提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.经典例题透析类型一、整式的有关概念及运
8、算1.同类项1（1）（2010湖南衡阳）若3sm+5y2与x3yn的和是单项式，则nm_ 考点：同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.思路点拨：同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.解：由3sm+5y2与x3yn的和是单项式得3sm+5y2与x3yn是同类项， 解得 nm=2-2= （2）若单项式是同类项，则的值是( )A、-3 B、-1 C、 D、3解：由题意单项式是同类项，所以，解得 ，应选C.总结升华：判断两个单项式是否同类项或已知两个单项式是同类项，需满足：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同.2.整式的运算及整式乘法公式的运用2(1
9、) （2010湖北咸宁）下列运算正确的是 ( ) A B C D分析：A.2-3 =8 B. C. 正确 D.答案：C(2)下列各式中正确的是( )A Ba2a3=a6 C(-3a2)3=-9a6 Da5+a3=a8考点：整数指数幂运算.分析：选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A.3计算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2
10、) 解：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-64利用乘法公式计算： (1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)思路点拨：利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.解：(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则(a+b+c)2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，
11、将符号相反的项，看成公式中的b，原式=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.举一反三【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=_.解析：解法一：利用完全平方公式：(a3)2=a26a+9.解法二：利用一元二次方程根的判别式，若a2+ma+9是一个完全平方式，则关于a的一元二次方程a2+ma+9=0有两个相等的实数根，=0，即m2-36=0， m=6.解法三：利用配方法，a2+ma+9=a2+ma， 是一个完全平方式， m2=36， m=6.【变式2】设，则=_.思路点拨：本题利用乘法公式恒等变形，及互为倒数的运算性质.解：，两边平方得， ， ，【变式3】用相同
12、的方法可以求， 等的值.总结升华：此题是反复运用完全平方公式，把，变形为关于的代数式，从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.【变式4】若a2+3a+1=0，求的值.思路点拨：有上题做铺垫，我们可以想到将a2+3a+1=0变形为的形式，a0，将等式两边同时除以a，得， ，.类型二、因式分解5因式分解： （1）（2010四川眉山）把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）A B C D考点：运用提取公因式法和公式法因式分解.思路点拨：提公因式法、公式法分解因式答案：D（2）3a3-6a2+12a； (a+b)2-1； x2-12x+36； (a2+b2)2-4a2b2思路点拨：把
13、一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.解： 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4) (a+b)2-1=(a+b)2-12=(a+b+1)(a+b-1) x2-12x+36=(x-6)2思路点拨：4a2b2可写成(2ab)2，可先用平方差公式进行因式分解为(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)， 两个括号里又符合完全平方公式，还应继续分解直到不能分解为止. (a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2举一反三【
14、变式1】因式分解：(1)；(2)；(3).解：(1)(2) (3) 总结升华：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法.分解因式一定要分解到不能分解为止.类型三、分式的意义及运算1.分式的意义及分式值为零6（1）（2010湖北荆州）分式 的值为，则（ ）A B C D 思路点拨：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.答案：B （2）（2010山东聊城）使分式无意义的x的值是（ ）Ax=Bx=CD答案：B （3）当x取何值时，分式有意义？分式的值等于零？解：当分母，即且时，分式有意义.根
15、据题意，得由1解得：x=1或x=2由2解得且所以，当x=2时，分式的值等于零.总结升华：(1)讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论；(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行；(3)在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件.举一反三【变式1】已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b=_.考点：分式无意义及分式值为0的条件.解：当x=-2时，分式为；分式无意义，可得：-2+a=0，即a=2.当x=4时，分式为；分式值为0，可得：，即b=4.所以a+b=6.2.分式的运算7（1）（2010 重庆）先化简，再求值：
16、 ，其中.考点：分式的混合运算. 解：原式当时， （2）计算.思路点拨：此题是加减乘除混合运算，有两种运算顺序，其一是规定顺序，先将括号内的两分式通分相减得：，再将分式的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律，先把的分子、分母颠倒与被减数，减数相乘，再相减.两种顺序哪一种简单，要看题目中式子特点确定.解题过程如下：解法1：原式 ；解法2：原式 .举一反三【变式1】先化简，再求值：，其中满足.解：= 或 当时，分式无意义.原式的值为2.总结升华：此题需注意所求得的x值需满足分式有意义，此处经常会被同学们忽视，要引起注意.【变式2】先化简，再求值：()，其中x=2005解：原式=当x=
17、2005时，原式=.【变式3】有这样一道题：“计算：的值，其中.”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？解： =0结果恒为0，与的取值无关.错抄成不影响结果.【变式4】已知x、y是方程组的解，求代数式的值.考点：一元二次方程组解法、分式的化简求值.思路点拨：一般地，在求代数式的值的问题中，可以先化简，再代入求值；也可以先代入，直接进行数的计算求值.两种方法哪一种简单要看代数式化简及数的计算的繁简程度而定.具体计算时，要选择简捷方法.此题所给分式运算，化简难度较大，应该求出方程组的解，直接把解代入，进行数的运算.解题过程如下：解：解方程组： 得原式.类型四、二次根式
18、的有关概念及运算8（1）（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ）A的平方根是2B是无理数C是有理数 D是分数考点：二次根式的有关概念思路点拨：A、B、C答案都对，D.是无理数而不是分数.答案：D（2）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A.B.C.D.考点：最简二次根式的定义.思路点拨：依据最简二次根式的定义来判别.最简二次根式所满足的条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二者缺一不可.解：对于选项B，不满足条件(2)；选项C，中被开方数含有分母，且分母中含有字母，不是整式，不满足条件(1)；选项D，也不满足条件(2)；只有选项A满足条
19、件(1)(2)，故选A.9化简：(1)； (2)； (3). 思路点拨：二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要注意使二次根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简.(1)解：b0， a0. .(2) 解法一：0x1， x0， x-10， 解法二：0x1， ， ， (3)解：化简二次根式的隐含条件是，且a0. a20， -(a+1)0， a-1， 或 .举一反三【变式1】化简：，其中.解：因为所以，原式.总结升华：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号.类型五、代数式的综合应用10（1）（2010
20、四川自贡）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）。A3 B5 C15 D25思路点拨： 是整数，n的最小值为15.答案：C （2）若代数式2x2+3x+7的值为8，则代数式4x2+6x-9的值是( )A2 B-17 C-7 D7思路点拨：此题考查的是整体代换的思想.解： 4x2+6x=2(2x2+3x)， 由已知2x2+3x+7=8， 得2x2+3x=1， 4x2+6x-9=2(2x2+3x)-9=21-9=-7，选C.11已知：a，b为实数，下列各式中一定为正值的是( ) Aa2-2a+2 B Ca2+b2 D(a-1)2+|b+2|解析：此小题四个选项虽然都是非负数，但B、C、D
21、三个都有可能得0，不能保证一定为正数，只有A选项a2-2a+2=(a-1)2+1， (a-1)20， (a-1)2+10，无论a取何值，a2-2a+2的值都为正数，所以选A.12现规定一种运算：，其中、为实数，则等于( ) A B C D解析：选B.探索规律13观察下列顺序排列的等式： 90+1=191+2=1192+3=2193+4=3194+5=41猜想第n个等式(n为正整数)应为_.分析：此题观察规律并不难，但要注意n的取值，n为正整数，为了便于观察，我们可以象以下写法：第1行 90+1=1第2行91+2=11第3行 92+3=21第4行93+4=31第5行94+5=41第n行 9(n-
22、1)+n=10(n-1)+1=10n-9.综合应用14已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0， b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是( ). A平行四边形 B矩形 C菱形 D梯形解析：由a2+ab-ac-bc=0，可以得到a(a+b)-c(a+b)=0， (a+b)(a-c)=0，a，b，c，d是四边形ABCD的四条边长， a0， b0， c0， d0，a+b0，a=c，同理由b2+bc-bd-cd=0，可推出b=d，由平行四边形的定义可判定四边形ABCD为平行四边形，选A.举一反三【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图，每块地砖的长、
23、宽分别为a、b，则图中阴影部分的面积为_.(结果要求化简)考点：乘法公式的实际背景和几何意义.解析：从图形可知阴影部分图形为正方形，其边长为a-b，所以其面积为(a-b)2=a2-2ab+b2.15(扬州)为进一步落实中华人民共和国民办教育促进法，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校. (1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的
24、奖金；(2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1)，试用k、n和b表示(不必证明)；(3)比较和的大小(k=1，2 ，)，并解释此结果.解：第二所学校的奖金为；第三所学校的奖金为由此可以推断:.0，说明排序靠前的奖金多于后者.或者按下列比较说明:，.即奖金分配原则从排序高到低逐渐按的比例递减，符合奖优实际.中考题萃考点一：幂的运算、整式运算1. （2010山西）下列运算正确的是（ ）A(ab)2a2b2 B(a2)3a6 Cx2x2x4 D3a32a26a62. （2010黄冈）下列运算正确的是（ ）A B C D3(成都市)下列运算正确的是( )A. B. C. D.4(湖北咸宁)化简的结果
25、为( )A B C D5(东莞市)下列式子中是完全平方式的是( )AB C D 6(河北省)计算：=_.7(河北省)(3分)若，则的值为_.8(北京)(5分)已知，求代数式的值.9(南昌市)先化简，再求值：， 其中.考点二：因式分解1. （2010四川眉山）把代数式分解因式，下列结果中正确的是A B C D2(北京)把代数式分解因式，下列结果中正确的是( )A B C D3(龙岩市)分解因式：_.4(贵阳市)分解因式：_.5(福州)因式分解：_.6(上海市)分解因式：_.7（2010广东广州）因式分解：3ab2a2b_考点三：分式的意义及运算1(宜宾市)若分式的值为0，则x的值为()A. 1
26、B. -1 C. 1 D22. （2010 黄冈）化简：的结果是（）A2BCD3(巴中市)当_时，分式无意义.4(上海市)化简：_.5(北京)计算：.6（2010四川凉山）若，则_。考点四：二次根式1(湖北省荆州市)下列根式中属最简二次根式的是()A B C D2. （2010广东茂名）若代数式有意义，则的取值范围是AB C D3(芜湖市)估计的运算结果应在()A6到7之间 B7到8之间 C8到9之间 D9到10之间4. （2010 四川成都）若为实数，且，则的值为_5(安徽省)化简=_.6(宁夏回族自治区)计算：=_.考点五：代数式的综合运用1(茂名)任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后
27、输出的结果是()A B C D2(北京)(4分)若，则m+2n的值为()A.-4 B.-1 C.0 D.43.(山东淮坊)代数式的值为9，则的值为()A.7 B.18 C.12 D.94.(宁夏回族自治区)某市对一段全长1500米的道路进行改造.原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了_天.5.(成都市)(3分)已知，那么的值为_.6.(南宁市)计算：7.(沈阳市)计算：.8.(泰州市)先化简，再求值：，其中.9.(山东烟台)有意道题：“先化简，再求值：，其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果
28、也是正确的，请你解释这是怎么回事.10.（2010四川达州）如图2，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ab）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）A. B.C.D.考点六：探究归纳1(安徽省)探索nn的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数： 当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；当n=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2五种，比n=2时增加了3种，即S=2+3=5.(1)观察
29、图形，填写下表：钉子数(nn)S值222332+34423( )55( )(2)写出(n-1)(n-1)和nn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述 均可)(3)对nn的钉子板，写出用n表示S的代数式.2. （2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子 （ ）A4n枚 B(4n-4)枚 C(4n+4)枚 D n2枚答案与解析： 考点一：幂的运算、整式运算1.B2.C3.D4.C5.D6.a3 7.解：8.解：.当x2=4时，原式=-3.9.解：当时，原式.考点二：因式分解1.D2.A3.a(a+b)4.(x+2)(x
30、-2)5.6.7. ab (3ba)考点三：分式运算1.D2.B3.34.5. 解： .6. 解： 考点四：二次根式1.A2.D3.C解析：，故选C.4.15.46.考点五：代数式的综合运用1.C 2.C 3.A 4. 5. -36.解：7.解：8.解：当时，原式.9. 解：原式， 不论 或，x29都是2016.10. 【答案】C 考点六：探究归纳1. 解：(1)4，2345(或14)； (2)类似以下答案均给满分：(i)nn的钉子板比(n-1)(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；(ii)分别用a，b表示nn与(n-1)(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a=bn. (3)S=234n.2. 【答案】A
