1、问题问题1:1:我们学习了向量的哪些运算？我们学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？这些运算的结果是什么？平面向量的平面向量的加法加法、减法减法和和数乘数乘三种运算；三种运算；运算的结果仍是运算的结果仍是向量向量问题问题2:2:Fs一个物体在力一个物体在力 的作用下发生了位移的作用下发生了位移 ，那么该力对此物体所做的功为多少？那么该力对此物体所做的功为多少？Fs|s|F|Wcos其中力其中力 和位移和位移 是向量，是向量，是是 与与 的夹角，而功的夹角，而功 W是数量是数量.FssF将公式中的力与位移推广到将公式中的力与位移推广到一般向量一般向量|s|F|Wcos功是力与位移的大小及其
2、夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。出现了向量的一种新的运算.0,的夹角，其中与向量叫做向量的夹角、那么射线，作为起点，如果以、对于两个非零向量baOBOAbOBaOAObaOABab 1 1、向量的夹角、向量的夹角方向相同；与，则向量）若（ba01OABbaOABba方向相反；与，则向量）若（ba2OABab baba 23记作垂直，与，则向量）若（互相平行。与时，向量或即当ba0规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。如图如图,等边三角形等边三角形A
3、BC中中,求求求（求（1）AB与与AC的夹角；的夹角；（2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC平移向量至平移向量至始点重合始点重合12060CD D0120OABba 2 2、向量的数量积的定义、向量的数量积的定义ba、），（0|b|a|cosba与ba 一般地，如果两个非零向量一般地，如果两个非零向量 的夹角的夹角为为 那么我们把那么我们把 叫做向量叫做向量 的数量积，记作的数量积，记作 ，即即cos|b|a|bacos|b|a|ba 2 2、向量的、向量的数量积数量积是一个是一个数量数量,不是向量。不是向量。向量的数量积的说明向量的数量积的说明3 3、规定、规定00a1 1、不能写成不能写
4、成 且且 不能省略。不能省略。ba，ba”“当当 为非零向量时，数量积的正负为非零向量时，数量积的正负由夹角余弦值决定。由夹角余弦值决定。b,a2aaa4 4、特别记、特别记./(3)(2)120)1(,4|,5|10bababababababa时，求当；时，求当；时，求的夹角是与当已知、例如图所示，等边三角形如图所示，等边三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，求，求 （1 1）的数量积；的数量积；（2 2）的数量积；的数量积；ABCBCAB与ACAB与ba,ba同向时与）当（1|ba ba,ba反向时与当|ba baba(2)3 3、向量的数量积的重要性质、向量的数量积的重要性质bab,
5、a的夹角为与均为非零向量，且已知即|b|a|bab/a0两个重要的充要条件两个重要的充要条件aa(5)3 3、向量的数量积的重要性质、向量的数量积的重要性质cos(4)a ba b|b|a|ba|）（3?|b|a|ba|成立吗20acosaa22aa 即即_ 254912|(1)ba,ba|b|a的夹角与则，若三角形。为时，当，已知_ABC 0 ABABC(2)ba,bAC,a_|8(3)2|aaa，则满足已知向量1350直角直角22例例2 2、填空、填空00)1(a()()00)2(abababa/|,|)3(则则若若 ()()22|)4(aaaa()().0,0)5(中至少有一个为与则若b
6、aba()1、已知、已知 均为非零向量均为非零向量,试试判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？cba,的形状是，则中，、在ABCBCABABC03 （）的形状是，则中，、在ABCBCABABC02A A、锐角三角形锐角三角形C C、钝角三角形钝角三角形D D、不能确定不能确定B B、直角三角形直角三角形（）DCABC问题问题:（1 1）实数乘法有哪些运算律？）实数乘法有哪些运算律？（2 2）这些运算律是否能适用于）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？向量的数量积的运算？4 4、向量的数量积的运算律、向量的数量积的运算律实数乘法实数乘法baab ）交换律：）交换律：（1)()(2b
7、cacab）结合律：）结合律：（bcaccba )(3）分分配配律律：（向量的数量积向量的数量积类比猜想类比猜想abba ）交换律：）交换律：（1)()(2cbacba ）结结合合律律：（cbcacba )(3）分配律：）分配律：（)()()(4bababa ）数数乘乘结结合合律律：（是否都成立？是否都成立？验证向量数量积的运算律验证向量数量积的运算律ababbaba coscosabba ）交换律：）交换律：（1都成立？能否对任意向量c,b,a)cb(ac)ba(思考：思考：即：向量数量积运算不满足结合律即：向量数量积运算不满足结合律若若0,若若0，)()()(2bababa ）数乘结合律：
8、）数乘结合律：（0，若若则显然成立则显然成立的夹角分别是什么？与；与；与)b(abab)a(的夹角又是什么？与；与；与)b(abab)a(cbcacba )(3）分配律：）分配律：（如何验证？或通过向量数量积的坐标表示验证。或通过向量数量积的坐标表示验证。可借助向量数量积的几何意义验证；可借助向量数量积的几何意义验证；5 5、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的几何意义如图，作出 cos，并说出它的几何意义；cos的几何意义又是什么？ba(B1)B1B1OBA(1)baBOA（3）abaBAO(2)b cos cos叫做向量叫做向量 在向量在向量 上的投影，上的投影，cos cos叫做向量叫
9、做向量 在向量在向量 上的投影上的投影.bbbaaa1cosbOB1cosbOB cos0b0222(B1)B1B1OBA(1)baBOA（3）abaBAO(2)b5 5、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的几何意义(1)(1)投影投影是一个是一个数量，数量，不是向量。不是向量。11(2)OBOB 当当时时投投影影为为 当当时时投投影影为为 为为锐锐角角正正值值为为钝钝角角负负值值-为为直直角角0 0为为0 0当当时时投投影影为为 当当时时投投影影为为 当当时时投投影影为为为为b b-b b5 5、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的几何意义OAB|b|cos abB1的乘积。方向上的投影
10、在向量另一个向量与的模向量的数量积是其中的一个、两个向量 cosbabaaba5 5、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的几何意义cbcac)ba(）分配律：（3 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.向量a、b、a+b在c上的投影分别是OM、MN、ON,则ONMa+bbac用向量的几何意义验证向量的数量积的常用公式向量的数量积的常用公式2222)(1(bbaaba 22)()(2(bababa 例例3 3、证明、证明例例4 4、已知、已知,4,6baab与与 的夹角为的夹角为6060，求：（求：（1）在在 方向上的投影；方向上的投影；（2）在在
11、 方向上的投影；方向上的投影；bbaa）（）（baba32ba k为何值时，与为何值时，与 互相垂直？互相垂直？ba2bak（5）a b 2）（ba（3）（6）（4）（7）ba328）（512 aba baab例例、已已知知，且且与与 垂垂直直，求求 与与 的的夹夹角角解：解：垂垂直直与与aba 0 aba）（02 aba即即122aabababa cos2221 ，04 4 的夹角为的夹角为与与ba011,120ababtatb、已知：与 夹角为，问 取何值时，最小？例例6 6、用向量方法证明：、用向量方法证明：径所对的圆周角为直角。径所对的圆周角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 设设 则则 ，由此可得：由此可得：,A AO Oa a O OC Cb b,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 22 22 2|a ab ba ab b 22220 0rrrr即即 ，ACB=900CBAC五、小结五、小结1 1、向量的夹角、向量的夹角2 2、向量数量积的定义、向量数量积的定义3 3、向量数量积的性质、向量数量积的性质4 4、向量数量积的运算律、向量数量积的运算律
