1、第 1 页 （共 8 页） 20172017 新课标新课标 I I 理理 一、选择题 1已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则( ) AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【解析】由 3x1 可得 3x30，则 x0，即 Bx|x0，故 ABx|x1x|x0x|x0， ABx|x1x|x0x|x1，故选 A 2如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A1 4 B 8 C 1 2 D 4 【解析】 设正方形的边长为 2， 则面积 S正方形4 又正方形内切圆
2、的面积 S12 故根据对称性，黑色部分的面积 S黑 2由几何概型的概率公式，概率 P S黑 S正方形 8 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知 其概率 p 满足1 4p 1 2，故选 B 3设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足1 zR，则 zR； p2：若复数 z 满足 z 2R，则 zR； p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z1z2； p4：若复数 zR，则 zR 其中的真命题为( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 【解析】设复数 zabi(a，bR)，对于 p1，因1 z 1 abi abi a2b
3、2R，故 b0，故 zR，故 p1 是真命题；对于 p2，因 z2(abi)2a2b22abiR，故 ab0，故 a0 或 b0，故 p2不是真 命题；对于 p3，设 z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则 z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dx cy)iR，故 dxcy0，取 z112i，z212i，z1 z 2，故 p3不是真命题；对于 p4，因 z abiR，故 b0，故 z abiaR，故 p 4是真命题故选 B 4记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为( ) A1 B2 C4 D8 【解析】设an的公差为 d，由 a4a524，
4、 S648， 得 2a17d24， 6a115d48，解得 d4 5函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是( ) A2，2 B1，1 C0，4 D1，3 【解析】因 f(x)为奇函数，故 f(1)f(1)1，于是1f(x2)1 等价于 f(1)f(x2)f(1)， 又 f(x)在(，)上单调递减，故1x21，故 1x3 6(11 x2)(1x) 6的展开式中 x2的系数为( ) A15 B20 C30 D35 【解析】(11 x2)(1x) 61 (1x)61 x2 (1x) 6，(1x)6的 x2项系数为 C2 615， 1 x2
5、 (1x) 6的 x2项系 第 2 页 （共 8 页） 数为 C4615，故 x2的系数为 151530 7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正 方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面 积之和为( ) A10 B12 C14 D16 【解】由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯1 2 (24) 26，S 全梯6 212 8下面程序框图是为了求出满足3n2n1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中， 可以分别填入( ) AA1 000 和 nn+1 BA1 000 和 nn+2
6、 CA1 000 和 nn+1 DA1 000 和 nn+2 【解析】由题意，因 3n2n1000，且框图中在“否”时输出，故判定框内 不能输入 A1 000，故填 A1 000，又要求 n 为偶数且初始值为 0，故矩形 框内填 nn2，故选 D 9已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin (2x2 3 )，则下面结论正确的是 ( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位 长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短
7、到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长 度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位 长度，得到曲线 C2 【解析】易知 C1：ycos xsin (x 2)，把曲线 C1上的各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍，纵坐标不 变，得到函数 ysin (2x 2)的图像，再把所得函数的图像向左平移 12个单位长度，可得函数 ysin 2(x 12) 2sin(2x 2 3 )的图像，即曲线 C2，故 D 项正确 10已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l
8、1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ) A16 B14 C12 D10 【解析】抛物线 C：y24x 的焦点为 F(1，0)，由题意可知 l1，l2的斜率存在且不为 0不妨设直线 l1的斜率为 k，则 l1：yk(x1)，l2：y1 k(x1)，由 y24x， yk（x1），消去 y 得 k 2x2(2k24)x k20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，故 x1x22k 24 k2 2 4 k2，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2 第 3 页 （共 8 页） 224 k224 4 k2同理得|DE|44k 2，故|AB
9、|DE|44 k244k 284(1 k2k 2)88 16，当且仅当1 k2k 2，即 k 1 时取等号，故|AB|DE|的最小值为 16，故选 A 11设 x、y、z 为正数，且 2x3y5z，则( ) A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z 【解】令 t2x3y5z，因 x，y，z 为正数，故 t1则 xlog2tlg t lg 2，同理，y lg t lg 3，z lg t lg 5故 2x3y2lg t lg 2 3lg t lg 3 lg t（2lg 33lg 2） lg 2 lg 3 lg t（lg 9lg 8） lg 2 lg 3 0， 故 2x3y 又
10、 2x5z2lg t lg 2 5lg t lg 5 lg t（2lg 55lg 2） lg 2 lg 5 lg t（lg 25lg 32） lg 2 lg 5 0，故 2x5z，故 3y2x5z 12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他 们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， 21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100 且该数列的前 N 项和为2 的整数幂那
11、么该款软件的激活码是( ) A440 B330 C220 D110 【解析】由题意得，数列如下： 1， 1，2， 1，2，4， 1，2，4，2k 1， 则该数列的前12k1 2k(k1)项和为S 1 2k(k1)1(12)(124)(12 42k 1)2kk2，要使1 2k(k1)100，有 k14，此时 k22 k1，故 k2 是第 k1 组等 比数列 1，2，4，2k的部分和，设 k21242t 12t1，故 k2t2t314，则 t5，此时 k25329，故对应满足条件的最小整数 N1 229305440，故选 A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量
12、 a，b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|1，则| a2b | 【解析】|a2b|2|a|22|a| |2b| cos 60 (2|b|)2222 2 2 1 22 244412，故|a2b| 12 2 3 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出 a2b 的模长是以 2 为边长，一夹角为 60 的菱形的对角线 的长度，则为 2 3 第 4 页 （共 8 页） 14设 x，y 满足约束条件 x2y1， 2xy1， xy0， 则 z3x2y 的最小值 【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示， 由 z3x2y 得 y3 2x z 2，求 z 的最小值，即求直线 y 3 2x z 2的纵截
13、距的最大值，当直线 y 3 2x z 2 过图中点 A 时，纵截距最大，由 2xy1， x2y1 解得 A 点坐标为(1，1)，此时 z3 (1)2 1 5 15已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN60 ，则 C 的离心率为 【解析】双曲线的右顶点为 A(a，0)，一条渐近线的方程为 yb ax，即 bxay0，圆心 A 到此渐近 线的距离 d|baa0| b2a2 ab c ，因MAN60，圆的半径为 b，故 b sin 60 ab c ，即 3b 2 ab c
14、 ，故 e 2 3 2 3 3 16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD， E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线 剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱 锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 【解析】由题意，连接 OD，交 BC 与点 G，由题意，ODBC，设 OGx，则 BC2 3x，DG5 x，三棱锥的高 h DG2OG2 2510x，S ABC 1 2 (2 3x) 2 sin
15、60 3 3x2，则三棱锥的体积 V1 3S ABC h 3x2 2510x 3 25x410x5，令 f(x)25x410x5，x(0，5 2)，则 f(x)100x 3 50x4，令 f(x)0 得 x2，当 x(0，2)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(2，5 2)时，f(x)0，f(x) 单调递减，故当 x2 时，f(x)取得最大值 80，则 V 3 804 15故体积最大值为 4 15cm3 第 5 页 （共 8 页） 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
16、(一)必考题：共 60 分 17(12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知ABC 的面积为 a2 3sin A (1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC 的周长 【解析】(1)因ABC 面积 S a2 3sin A，且 S 1 2bcsin A，故 a2 3sin A 1 2bcsin A，故 a 23 2bcsin 2A因由 正弦定理得 sin2A3 2sin Bsin Csin 2A，由 sin A0 得 sin Bsin C2 3 (2)由(1)得 sin Bsin C2 3，cos Bcos C 1 6，因 ABC，
17、故 cos Acos(BC)cos(BC) sin Bsin Ccos Bcos C1 2，又 A(0，)，故 A 3，sin A 3 2 ，由余弦定理得 a2b2c2bc 9，由正弦定理得，b a sin A sin B，c a sin A sin C，故 bc a2 sin2A sin Bsin C8，由得 bc 33，故 abc3 33，即ABC 周长为 3 33 18(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且BAPCDP90 (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PAPDABDC，APD90 ，求二面角 APBC 的余弦值 【解析】(1)证明 因BAPCDP
18、90，故 PAAB，PDCD，又 因 ABCD，故 PDAB，又因 PDPAP，PD，PA平面 PAD，故 AB 平面 PAD，又 AB平面 PAB，故平面 PAB平面 PAD (2)解 在平面 PAD 内作 POAD，垂足为点 O由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPO，可得 PO平面 ABCD以 O 为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系 Oxyz，设 PA2，故 D( 2，0，0)，B( 2，2， 0)，P(0，0， 2)，C( 2，2，0)，故PD ( 2，0， 2)，PB ( 2， 2， 2)，BC (2 2，0，0)，设 n(x，y，z)为平面 PBC 的一个法向 量，由
19、n PB 0， n BC 0 得 2x2y 2z0， 2 2x0. 令 y1，则 z 2，x0，可得平面 PBC 的一个法向量 第 6 页 （共 8 页） n(0，1， 2)，因APD90，故 PDPA，又知 AB平面 PAD，PD平面 PAD，故 PDAB， 又 PAABA，PA，AB平面 PAB，故 PD平面 PAB，即PD 是平面 PAB 的一个法向量，PD ( 2，0， 2)，故 cosPD ，nPD n |PD | |n| 2 2 3 3 3 ，由图知二面角 APBC 为钝角，故它 的余弦值为 3 3 19(12 分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机
20、抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的 零件的尺寸服从正态分布 N(，2) (1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3，3)之外的零 件数，求 P(X1)及 X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这 一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 ()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995 1012 996 996 1001 992 998 1004 1026 991
21、1013 1002 922 1004 1005 995 经计算得 x 1 16 16 i1xi997，s 1 16 i1 16 xi x 2 1 16 i1 16 x2i16 x 20212，其中 x i为抽 取的第 i 个零件的尺寸，i1，2，16用样本平均数 x 作为 的估计值，用样本标准差 s 作 为 的估计值 ， 利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3， 3)之外的数 据，用剩下的数据估计 和 (精确到 001) 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0997 4，0997 4160959 2， 0.008009 【解】(1)由题可知尺寸落在(3
22、，3)之内的概率为 0997 4，落在 (3，3)之外的 概率为 0 002 6 由题可知 XB(16， 0 002 6)， P(X1)1P(X0)10 997 4160 040 8 故 E(X)160002 60041 6 (2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0002 6，一天内抽取 的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有 0040 8，发生的概率很小，故 一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天 的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 由 x997，s0212，得 的估计值为99
23、7， 的估计值为0212，由样本数据可以看 出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，故需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的 数据 922，剩下数据的平均数为 1 15(16997922)1002故 的估计值为 1002， 16 i1(xi) 216 0212216 99721591134，剔除(3，3)之外的数据 922，剩下数据 第 7 页 （共 8 页） 的样本方差为 1 15(1591134922 215 10022)0008，故 的估计值为 0.008009 20(12 分)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1， 3
24、2 )，P4(1， 3 2 )中恰有三点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1， 证明：l 过定点 【解析】(1)由于点 P3，P4关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2知，椭圆 C 不经过点 P1，故点 P2在椭圆 C 上故 1 b21， 1 a2 3 4b21， 解得 a24， b21. 故 C 的方程为x 2 4y 21 (2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2如果直线 l 的斜率不存在，l 垂直于 x
25、 轴设 l：x m，A(m，yA)，B(m，yA)，k1k2yA1 m yA1 m 2 m 1，得 m2，此时 l 过椭圆右顶点， 不存在两个交点， 故不满足 从而可设 l： ykxm(m1) 将 ykxm 代入x 2 4y 21 得(4k21)x2 8kmx4m240 由题设可知 16(4k2m21)0 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x2 8km 4k21， x1x24m 24 4k21 则 k1k2 y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 2kx1x2（m1）（x1x2） x1x2 由 题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x
26、2)0故(2k1) 4m24 4k21(m1) 8km 4k210解之 得 m2k1，此时 32(m1)0，方程有解，故当且仅当 m1 时，0，故直线 l 的方 程为 ykx2k1，即 y1k(x2)当 x2 时，y1，故 l 过定点(2，1) 21(12 分)已知函数 f(x)ae2x(a2)exx 讨论 f(x)的单调性； 若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 【解】f(x)的定义域为(，)，f(x)(2ex1)(aex1)， 若 a0，则 f(x)0，故 f(x)在(，)单调递减 若 a0，则由 f(x)0 得，xln a当 x(，ln a)时，f(x)0；当 x(ln a， )时
27、，f(x)0，故 f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增 I若 a0，由知，f(x)至多有一个零点 II若 a0，由知，当 xln a 时，f(x)取得最小值 f(ln a)11 aln a， 当 a1 时，由于 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点； 当 a(1，)时，由于 11 aln a0，即 f(ln a)0，故 f(x)无零点； 当 a(0，1)时，由于 11 aln a0，即 f(ln a)0，又 f(2)ae 4(a2)e22 2e 220，故 f(x)在(，ln a)有一个零点，设正整数 n 0满足 n0ln (3 a1)，则 f(n0)e n0(ae
28、n0 第 8 页 （共 8 页） a2)n0en0n02n0n00，由于 ln (3 a1) ln a，故 f(x)在(，ln a)上有一个零点 综上，a 的取值范围为(0，1) (二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分 22选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x3cos ， ysin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为 xa4t， y1t (t 为参数) (1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a 解析：(1)曲线 C
29、 的普通方程为x 2 9y 21当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30由 x4y30， x2 9y 21， 解得 x3， y0 或 x21 25. y24 25. 从而 C 与 l 的交点坐标为(3，0)，(21 25， 24 25) (2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为 d |3cos 4sin a4| 17 当 a4 时，d 的最大值为a9 17 由题设得a9 17 17，故 a8；当 a 4 时，d 的最大值为a1 17 由题设得a1 17 17，故 a16 综上，a8 或 a16 23选修 45：不等式选讲(10
30、分) 已知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1| (1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1，1，求 a 的取值范围 解析：(1)当 a1 时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40当 x1 时， 式化为 x23x40，无解；当1x1 时，式化为 x2x20，从而1x1；当 x1 时，式化为 x2x40，从而 1x1 17 2 故 f(x)g(x)的解集为x|1x1 17 2 (2)当 x1， 1时， g(x)2 故 f(x)g(x)的解集包含1， 1等价于当 x1， 1时， f(x)2 又 f(x)在1，1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，故 f(1)2 且 f(1)2，得1a1故 a 的取值 范围为1，1
