1、第二节第二节 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算一、一、n n维向量的概念维向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算2 n维向量及其线性运算一、n维向量的概念 对于向量大家已有所了解，如在中学物理中，力是一个有方向的量，如果让所有的力都从原点发出，决定其性质的便只有方向和大小两个要素了，这种量称为向量，可以用点的坐标来表示.还有位移、速度、加速度等等.向量概念、向量运算和向量理论具有广泛的应用.例 在解析几何中，二元有序数组(,)x y既可以表示平面上一个点，也可表示从原点到点(,)x y的一个平面向量.三元有序数组),(zyx，既可以表示空间上一个点，也可表示从原点到点),(zyx
2、的一个空间向量.(,)x yxyO),(zyxxyzO例 在计算机成像技术中，像的区域被分为许多小区域，这些小区域被称为象素，每个象素的位置用有序数组,x y表示，该位置的颜色用红、绿、兰三种基本颜色的强度,r g b表示，因此，每个象素 对 应 五 元 有 序 数 组(,)x y r g b，也即象素向量为(,)x y r g b.定义 1 由n个数12,na aaL组成的n元有序数组，称为一个n维向量，其中的第i个数ia称为这个向量的第i个分量.n维向量写成行的形式12(,)na aaL就称为n维行向量；n维向量写成列的形式12(,)Tna aaL就称为n维列向量.向量常用希腊字母,等来表
3、示，有时也可用英文小写黑体字母cba,表示，而向量的分量则用英文小写字母加下标表示,ija b.如果n维向量的n个分量都是实数，称其为n维实向量，在此所讨论的向量均指实向量.如果n维向量的所有分量都是零，则称其为零向量，记为 0 0.n维行向量也可以看作1 n行矩阵，n维列向量也可以看作1n列矩阵，反之亦然.例 矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaaaaALLMMML的每一行可视为一个行向量，共有m个n维行向量 12(,)(1,2,)iiiinaaaimLL称这m个n维行向量12,m L为A的行向量组.同样，矩阵A的每一列可视为一个列向量，共有n个m维列向量 12(,)(1,
4、2,)TjjjmjaaajnLL称这n个m维列向量12,n L为A的列向量组.例 在线性方程组 11 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbLLL L L L L L L L L L L LL中.方程组的常数项可组成m维列向量 12(,)Tmb bbbL方程组的未知量可组成n维列向量 12(,)Tnx xxxL方程组的一个解1122,nnxc xcxcL可以表示成n维列向量12(,)Tnc ccL称其为方程组的解向量.二、向量的线性运算负向量：向量12(,)na aa L的负向量为 12(,)naaa L 向量相等
5、：若向量12(,)na aa L与向量 12(,)nb bb L的 对 应 分 量 相 等，即iiab，(1,2,)inL则称向量 与 相等，记作 向量加法：12(,)na aa L与12(,)nb bb L的加法为1122(,)nnab ababL 向量减法：12(,)na aa L与12(,)nb bb L的减法为1122()(,)nnab abab L 数与向量的乘积：数k与向量12(,)na aa L的乘积为12(,)nkka kaka L.向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算.向量的线性运算满足下述八条运算律：（1）；（2）)()(；（3）0（4）0)(（5）kkk)(（6）l
6、klk)(（7）)()(kllk （8）1 其中,是n维向量，,k l为任意常数.解 由)(5)(2)(3321 合并同类项，得)24,18,12,6(5236321 所以)4,3,2,1(.例 设)3,1,5,2(1,)10,5,1,10(2,)1,1,1,4(3 而向量 满足方程)(5)(2)(3321 ，求向量.例 线性方程组的向量表达式 11 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbLLL L L L L L L L L L L LL取m维列向量 设线性方程组 1112112122221212,nnnmmmn
7、maaabaaabaaabLMMMM由于111212122211221212nnnnnmmmnaaaaaaxxxxxxaaaLLMMM111212122211221212nnnnnmmmnaaaaaaxxxxxxaaaLLMMM11 1122121 122221 122nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLMMM11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbLLMML即有向量表达式 1122nnxxxL 反之，由向量表达式也可得线性方程组，称1122nnxxxL为线性方程组对应的向量方程.相应地，齐次线性方程组11 1122121 122221 1220 00nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL L L L L L L L L L LL对应的向量方程为1122nnxxx0L
