1、方法技巧专题(一)数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.acbcB.|a-b|=a-bC.-a-b-b-c3.2017怀化 一次函数y=-2x
2、+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则AOB的面积是()A.B.C.4D.84.2018仙桃 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:乙车的速度是120 km/h;m=160;点H的坐标是(7,80);n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1x
3、3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.2018白银 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:ab0,a+bm(am+b)(m为常数),当-1x0,其中正确的是()图F1-3A.B.C.D.7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.2018白银 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4)
4、,则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.庄子天下篇中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+=.10.当x=m或x=n(mn)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|=.12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5
5、+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.14.2018北京 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B解析 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-280=80,解得x=120,故正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)(12
6、0-80)=160(km),故正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80(120+80)=0.4,所以n=7.4,故错误.综上所述,正确,错误,正确的有3个,故选B.5.B解析 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B
7、.6.A解析 抛物线的开口向下,a0,ab0,2a+b=0,正确.当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c0,错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,此时有a+b+cm(am+b)+c,即a+bm(am+b),正确.抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0
8、,0)之间,由图知,当2x3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y0,根据抛物线的对称性可知,当-1x0时,也有一部分图象位于x轴下方,说明此时y0,错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2x2解析 y=-x-2的图象过点P(n,-4),-n-2=-4,解得n=2.P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m-x-2的解集为x2.解不等式-x-2-2.不等式组的解集是-2x0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a4即可,可知a的取值范围是a.若a4,此时a-.若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=
9、a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a或a-或a=-1.方法技巧专题(二)分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等.1.点A,B,C在O上,AOB=100,点C不与A,B重合,则ACB的度数为()A.50B.80或50C.130D.50或1302.2018山西权威预测 已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.2018枣庄 如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方
10、形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连结PA,PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P有()图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4.2018鄂州 如图F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线CDA运动,速度为2 cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是()图F2-2图F2-35.2018聊城 如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,
11、那么这个多边形的内角和是.6.2018安徽 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为.7.如图F2-4,已知点A(1,2)是反比例函数y=图象上的一点,连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若PAB是等腰三角形,则点P的坐标是.图F2-48.2017齐齐哈尔 如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图F2-59.2017义乌 如图F2-6,AOB=45,
12、点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,则x的值是.图F2-6参考答案1.D2.A解析 解方程组得当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时,因为1+1=2,不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3.B解析 如下图,设每个小矩形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是长与宽为21的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个.故选B.4.A解析
13、由题意可知,0t4,当0t2时,如下图,S=BPCQ=t2t=t2;当t=2时,如下图,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=BPCQ=24=4;当2t6时,如下图,点Q在AD上运动,S=BPCD=t4=2t.故选A.5.180或360或540解析 如图,一个正方形被截掉一个角后,可能得到如下的多边形:这个多边形的内角和是180或360或540.6.3或解析 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PEBC,故PECD,故PE=DC=3.(2)如图,若DA=DP,则DP=8,在RtBCD中,BD=10,BP=BD-DP=2.P
14、BEDBC,=,PE=CD=.综上所述,PE的长为3或.7.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8.10或4或2解析 在ABC中,AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,ADB=ADC=90,BD=CD=BC=12=6,AD=8.用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=4.(3)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.9.x=0或x
15、=4-4或4x4解析 根据OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直平分线,该线与射线OB始终有一个公共点,分别以点M,N为圆心,4为半径画圆,观察两圆与射线OB的交点情况:(1)当N与射线OB没有公共点,M与射线OB有两个公共点时,满足题意,如图,此时4x0)的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为()图F4-2A.y=-B.y=-C.y=-D.y=3.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m0)的两根分别为,且,则,满足()A.12B.12C.12D.24.如图F4-3,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.图
16、F4-35.2018扬州 如图F4-4,已知O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,则AB=.图F4-46.2018滨州 若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于a,b的二元一次方程组的解是.7.2018扬州 问题呈现如图F4-5,在边长为1的正方形网格中,连结格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tanCPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M,N,可得MNEC,则DNM=CPN,连结DM,那么CPN就变换到RtDMN中.问题解决(1)直接
17、写出图中tanCPN的值为;(2)如图,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cosCPN的值.思维拓展(3)如图,ABBC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连结AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求CPN的度数.图F4-5参考答案1.D解析 如图,延长CO交O于点D,连结BD,A=60,D=A=60.CD是O的直径,CBD=90.在RtBCD中,sinD=sin 60=,BC=R.故选D.注:此题构造了直角三角形.2.C解析 如图,过点A作AMx轴于点M,过点B作BNx轴于点N.由三垂直模型,易得BNOOMA,相似比等于,在RtA
18、OB中,OAB=30,所以=tan 30=,所以=.因为点A在双曲线y=上,所以SOMA=3,所以SBNO=1,所以k=-2.即经过点B的反比例函数的解析式为y=-.故选C.注:此题构造了相似三角形.3.D解析 一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m0)的两根实质上是抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m两个交点的横坐标.如图,显然2.故选D.注:此题构造了二次函数.4.15解析 分别将线段AB,CD,EF向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为8,则EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形.5.2解析 如图,在优弧AB上取一点D,连结A
19、D,BD,OA,OB,O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,ADB=45,AOB=90.OA=OB=2,AB=2.故答案为2.注:此题构造了直角三角形.6.解析 根据题意,对比两个方程组得出方程组所以注:此题构造了一个二元一次方程组.7.解析 (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出MN和DM的值,即可求出tanCPN的值;(2)仿(1)的思路作图,即可求解;(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可.解:(1)由勾股定理得:DM=2,MN=,DN=.(2)2+()2=()2,DM2+MN2=DN2,DMN是直角三角形.MNEC,CPN=DNM.tanDNM=2,tanCPN=2.
20、(2)如图,取格点D,连结CD,DM.CDAN,CPN=DCM.易得DCM是等腰直角三角形,DCM=45,cosCPN=cosDCM=cos 45=.(3)构造如图网格,取格点Q,连结AQ,QN.易得PCQN,CPN=ANQ.AQ=QN,AQN=90,ANQ=QAN=45,CPN=45.方法技巧专题(五)转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.2018铜仁 计算+的值为()A.B.C.D.2
21、.2018嘉兴 欧几里得的原本记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画RtABC,使ACB=90,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是()图F5-1A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3.2018东营 如图F5-2,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()图F5-2A.3B.3C.D.34.2018白银 如图F5-3是一个运算程序的示意图,若开始输入的x的值为625,则第2018次输出的结果为.图F5-35.2018广东 如图F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径
22、的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为.(结果保留)图F5-46.2018淄博 如图F5-5,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则ABC的面积为.图F5-57.如图F5-6,点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.(1)求证:DEAG.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0AC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.图F6-12参考答案1.B解析 在RtABC中,ACB=90,A=30,B
