1、第一章 章末总结/阶段复习课 及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理单元主干基础知识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高效理解，以达事半功倍之目的。一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理(1)定义:完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.(2)“分类”的含义：完成一件事可分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.(3)“加法”的含义:完成一件事的方法由各类中的各种方法数相加所得.(4)分类的原则:分类必须
2、有一个明确的标准，标准不同分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每类方法中的每种方法都应独立.(5)对“完成一件事”的理解：完成一件事，即完成既定的任务,如“三封信投四个信箱”，完成这件事即将三封信投完，应从“信”的角度分析，“五个人比赛，决出三个项目的冠军”,完成这件事即三项比赛结束,应从项目的角度分析.2.分步乘法计数原理(1)定义:完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.(2)“分步”的含义：完成一件事要分若干步，各个步骤相互依存，缺一不可，只有各个
3、步骤都完成后，才能完成这件事.(3)“乘法”的含义：完成一件事的方法由各步中各种方法数相乘所得.(4)分步原则:分步中必须有一个明确的标准，标准不同分步也不同.分步基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代.【辨析】分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系分类加法计数原理分类加法计数原理 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 关键词关键词 分类分类 分步分步 本本 质质 每类方案都能独立地完每类方案都能独立地完成这件事成这件事,它是独立的它是独立的,一次性的一次性的,每次得到的都每次得到的都是最后结果是最后结果 每一步得到
4、的只是中间每一步得到的只是中间结果结果,任何一步都不能独任何一步都不能独立完成这件事立完成这件事,缺少任何缺少任何一步也不能完成这件事一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,才能完成这件事才能完成这件事 各类各类(步步)的关系的关系 各类方案之间是互斥的、各类方案之间是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的 各步之间是关联的、相各步之间是关联的、相互依存的互依存的 二、排列1.排列与排列数排列排列,排列数排列数概念概念 排列排列 一般地一般地,从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素,按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列,叫做从叫
5、做从n n个不同元素个不同元素中取出中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列 排列数排列数 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有不个元素的所有不同排列的个数同排列的个数,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的排列数元素的排列数,用符号用符号 表示表示 mnA排列排列,排列数排列数公式公式 乘积形式乘积形式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)阶乘形式阶乘形式 性性 质质 备备 注注 n,mNn,mN*且且mnmn mnAmnn!Anm!n0nnAn!;A1;0!12.关于排列数公式的推
6、导排列问题是分步乘法计数原理的典型应用,排列数公式也是由分步乘法计数原理推导得到的.3.排列数公式的应用排列数公式有两类形式,乘积形式常用来计算具体的数字的排列数;阶乘形式常用来处理含字母的排列数的化简、证明等.【辨析】1.排列的概念排列问题是针对不同元素的排列,若问题中允许元素重复,则不是排列问题.2.排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念,一个排列是按一定顺序排列的一列数,排列数是所有不同排列的个数,是一个数.三、组合1.组合与组合数组合组合,组合数组合数 概念概念一般地一般地,从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素合成一组个元素合成一组,叫做从叫做从n n个不同元
7、素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个组合个元素的一个组合,所有不同组合的个数所有不同组合的个数,叫做从叫做从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m m个元素的组合数个元素的组合数.表示表示 mnC组合组合,组合数组合数 公式公式 乘积形式乘积形式 阶乘形式阶乘形式 性性 质质 备备 注注 m,nNm,nN*,且且mnmn mmnnmmn n1nm1ACAm!mnn!Cm!nm!mn mmmm 10nnn 1nnnCC;CCC;C1;0!12.组合的定义及其理解(1)定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“合成一组”，合成一组即表示与顺序无关.(2)当两个组合的元素完全相同，不管
8、它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时，就是不同的组合.3.的定义解释 是从n个不同元素中取出m个元素拼成一组，在从n个不同元素中取出m个元素的同时，n个元素中剩余的n-m个元素就自然形成了一组，所以 与 是相对应的，所以两数相等.mn mnnCCmnCmnCn mnC【辨析】1.组合与组合数的区别组合与组合数是两个不同的概念,一个组合是由不同元素合成的一组数,组合数是所有不同组合的个数,是一个数字.2.排列、组合的区别与联系(1)区别:排列与顺序有关,组合与顺序无关.(2)联系:由组合数公式 即 所以排列可看成两步,第一步取，第二步将取出的元素全排列,因此组合可以看成排
9、列的第一步.mmnnmmAC,AmmmnnmACA，四、二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理概念概念 公式公式 (nN(nN*,k=0,1,2,n),k=0,1,2,n)称为二项式定理称为二项式定理 特例特例 通项通项 二项式二项式系数系数 n0n1n 1kn kknnnabC aC abC abnnnC bn122kknnnnnn1x1C xC xC xC xnN*kn kkk 1nTC ab(nN*,k0,1,2,n)knC(nN*,k0,1,2,n)(2)二项式定理的特征二项展开式有n+1项，比二项式的次数大1.二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念.要注意逆用二项式定理来分析问
10、题、解决问题.(3)二项式定理的通项公式 是(a+b)n的第k+1项，而不是第k项.字母b的次数与组合数的上标相同.字母a,b是一种“符号”，它可以是数、式及其他值.a与b的次数之和是n.通项公式是对(a+b)n这个标准形式而言的，如(a-b)n的展开式的通项公式是kn kknC abkkn kkk 1nT1C ab.2.二项式系数的性质(1)性质对称性对称性 在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两的两个二项式系数相等，个二项式系数相等，增减性增减性 当当 时时 二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大 当当 时时 二项式系数逐渐减小二项式系数逐渐减小 最大值最大
11、值 当当n n为偶数时为偶数时 最大最大 当当n n为奇数时为奇数时 最大最大 各项的二项各项的二项式系数的和式系数的和 mn mnnCCn1k2n1k2n2nCn 1n 122nnCC012nnnnnn024135n 1nnnnnnCCCC2CCCCCC2(2)当n为偶数时，二项展开式有n+1项，有奇数个项，中间项为一项；当n为奇数时，二项展开式有n+1项，有偶数个项，中间项为两项.【辨析】二项式系数与二项展开式项的系数的区别二项式系数是指 (nN*,k=0,1,2,n),是一个组合数,为正值.二项展开式项的系数是指该项中变量的系数,是一个实数,二项展开式项的系数中含有二项式系数.knC 对
12、所学知识及时总结，将其构建成知识网络，既有助于整体把握知识结构，又利于加深对知识间内在联系的理解。下面是本阶段的知识结构图，请要求学生从后面的备选答案中选择准确内容，填在框图中的相应位置。两个计数原理【技法点拨】确定分类和分步的方法(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采
13、取什么方法.【典例1】如图所示，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.(1)从A地到C地共有多少种不同的走法？(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？(3)从A地到C地再回到A地，但返回时要走与去时不同的道路.有多少种不同的走法？【解析】(1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B地，第二类不经过B地.在第一类中分两步完成，第一步从A地到B地，第二步从B地到C地，所以从A地到C地的不同走法总数是34+214(种).(2)该事件发生的过程可以分为两大步：第一步去，第二步回.由(1)可知这两步的走法都是14种，所以去后又回来
14、的走法总数是1414196(种).(3)该事件发生的过程与(2)一样可分为两大步，但不同的是第二步即返回时的走法比去时的走法少一种，所以，走法总数为1413182(种).【想一想】本题(1)(2)(3)分别应用了怎样的计数原理？解(3)时的易错点是什么？提示：(1)本题(1)运用了分类加法计数原理，(2)(3)运用了分步乘法计数原理.(2)解本题(3)时易忽视条件“返回时要走与去时不同的道路”而错求成1414=196(种).排列、组合应用题【技法点拨】解排列、组合应用题的解题策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反
15、、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略.简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序.【典例2】(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？(2)现有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法种数共有多少？
16、(3)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【解析】(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 种方法，所以共有 种方法；若乙参加而甲不参加同理也有 种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两
17、个城市有 种，共有 种方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种.48A38A383A383A28A287A43328888A3A3A7A4 088(2)方法一：设计让3所学校依次挑选：先让学校甲挑选，有 种；再由学校乙挑选，有 种；余下到学校丙只有一种.于是不同的方法数共有 种.方法二：组成三个体检队：给甲医生配备2名护士，不同方法数为 ;接着给乙医生配备2名护士，有 种方法；剩下的2名护士配备给丙医生，只有一种方法.故组成三个体检队的方法共有 种.1236C C1224C C12123624C C C C54026C24C2264C C90将三个体检队派往三个学校，每校1队，不同的分派方法有
18、种.由分步乘法计数原理，满足题意的不同分配方法数为906=540种.33A6(3)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 种方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有 种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5 04024=120 960种.第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有 种方法.77A5 04044A2466A720第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置)，这样相当于7个“”选4个来排，一共有 种.根据分步乘法计数原理，一共有720840=604 800种.若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 种排法，但原来的节
19、目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 种排法.47A7 6 5 4840 12212121010AA132A1212A【想一想】(1)(2)(3)题的求解类型及要注意的问题是什么？提示：题(1)是解有条件的排列问题，考虑到特殊元素优先考虑的原则，使问题的解决清晰明朗.题(2)主要考查利用分步乘法计数原理、组合、排列解决实际问题的能力；根据题意设计一个程序(方案)是解答排列组合应用题的常用方法.可以设计分为两个步骤完成分配工作，首先组成三个体检队，再将三个体检队派往三个学校.题(3)主要考查相邻问题和相隔问题及定序问题，分别采用捆绑法、插空法、定序法.在求解排列与组合应用问题时注意把具体
20、问题转化或归结为排列或组合问题，通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏.二项式定理的应用【技法点拨】二项式定理的问题类型及解答策略(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素.(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项.(3)求二项式展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数.(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.(5)确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系
21、数的性质.【典例3】(1)展开式中的常数项为()(A)1 (B)46 (C)4 245 (D)4 246(2)展开式的第7项与倒数第7项的比是1 6，求展开式中的第7项.【解析】(1)选D.先求 的展开式的通项.再求 的展开式的通项.两通项相乘得：6103411x(1)xn331(2)3631x1rrrr33r 166TC(x)C xr01 2 3 4 5 6.，1041(1)x1kkkk44k 11010TC(x)C xk01 2 3 410.，rrkkrkrk33 44610610C x C xC C x，令 ，得4r=3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0，0)，(3，4)，(6，8)
22、满足要求.故常数项为(2)第7项：倒数第7项：由 ，n=9，故rk03434686106101C CC C4 246.n 66637n31TC2()3，6n 6n 63n 7 2n 5n31TTC2()3 n 6663n36n 6n 63n31C2()1316C2()39 6663379931156TC2()C 2.933【归纳】题(1)和题(2)的解题关键解题(1)的关键是求出两个二项式的通项公式，然后相乘，整理合并后令x的幂指数为“0”，确定r与k之间的关系，确定常数项.题(2)是应用二项式定理通项公式的典型问题，解答本题的关键是利用方程思想列出方程，求出n.1.(2012宁波高二检测)六
23、件不同的奖品送给5个人，每人至少一件，不同的分法种数是()(A)(B)56 (C)(D)【解析】选D.从6件奖品中任取两件看作一件，再将“五件”奖品分给5个人，共有 种分法.45C5165A A2565C A2565C A2.由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是()(A)36 (B)32 (C)28 (D)24【解析】选A.将3,4两个数全排列，有 种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有 种方法，当1,2相邻且不与5相邻时有种方 法，故满足题意的数有 个.22A33A2223A A23222323A(AA A)363.在 的展开式中，x的幂指数是整数的项共有
24、()(A)3项 (B)4项 (C)5项 (D)6项【解析】选C.所求x的幂指数是整数的项必须满足 为整数且0r24，rN，故r=0，6，12，18，24，所求项共有5项.2431(x)x15112rr24 rrr362r 12424TC(x)(x)C x，5r64.把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张观看孔子的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得两张票必须是连号，那么不同的分法种数是_种.【解析】第一步，把六张票分成4组，分别是第二步，把这4组票分给甲、乙、丙、丁4个人，有 种.由分步乘法计数原理得，不同的分法有 144种.答案：14444A446A5.已知
25、的展开式中，x3项的系数为 常数a的值为_.【解析】的展开式的通项是 由已知得 解得答案：49ax()x294，9ax()x2rrr 9rr9 rrr9 r2299axC()()1 C 2axx2 ，rrr9 r29rr93291 C 2a4，r8a4.，6.(2012福州高二检测)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质再放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，观察反应结果，现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用，这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？【解析】第一步：放入甲类物质，共有 种方案；第二步：放入乙类物质，共有 种方案.根据分步乘法计数原理，共有 种方案.因此，共要进行120次实验，才能得到所有的实验结果.23A35A2335A A120
