1、章末整合提升章末整合提升1.1.直线的倾斜角直线的倾斜角倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是0，)(1)直线的倾斜角为不是直线的倾斜角为不是90o时的正切值，叫做该直线的时的正切值，叫做该直线的斜率斜率，记作，记作ktan(90)1212xxyyk 2.2.直线的斜率及斜率公式直线的斜率及斜率公式(2)经过两点经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1 x2)的直线的斜的直线的斜率公式率公式形式形式条件条件方程方程应用范围应用范围点斜式点斜式过点过点(x0,y0),斜率为斜率为k斜截式斜截式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,斜率斜率为为k两点式两点式过过P1（x1,y1),),P2（
2、x2,y2)截距式截距式在在y轴上的截距为轴上的截距为b,在在x轴轴上的截距为上的截距为a121121xxxxyyyy.1byax)(00 xxkyybkxy存在k存在k0kk且存在且不过原点存在且0k3.3.直线方程的直线方程的5 5种形种形一般式一般式Ax+By+C=0！直线的！直线的横截距横截距是直线与是直线与x轴交点的横坐标，轴交点的横坐标，直线的直线的纵截距纵截距是直线与是直线与 y 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标.（1）若）若l1：A1x+B1y+C1=0 (A1、B1不同时为不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0 (A2，B2不同时为不同时为0),则则 当当 时，时，l1与与
3、l2相交，相交，当当 时，时，l1l2；当当 时，时，l1与与l2重合，重合，以上结论是针对以上结论是针对l2的系数不为零时适用的系数不为零时适用.212121CCBBAA212121CCBBAA4.两条直线的位置关系的判定两条直线的位置关系的判定2121BBAA 两条直线有斜率且不重合，则两条直线有斜率且不重合，则l1l2k1=k2 两条直线都有斜率，两条直线都有斜率，l1l2k1k2=-1 若直线若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则，则 l1l2 A1A2+B1B2=0 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式
4、用起来更方便以此公式用起来更方便.（2）两条平行线两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离的距离为：为：2221BACCd5.点到直线的距离公式点到直线的距离公式为：为：2200BACByAxd例例1.直线直线 的倾斜角的取值范的倾斜角的取值范围是围是_ 023cosyx解解:直线的斜率直线的斜率 3333cos33kk,656,0练习练习:直线直线ax+y+1=0与连接与连接A(2,3)、B(-3,2)的线的线段相交段相交,则则 a 的取值范围是的取值范围是 （）A.-1,2 B.2,+（-,-1）C.-2,1 D.1,+（-,-2）选选D 解题回顾解题回顾:要
5、注重结合图形要注重结合图形例例2.一条直线经过点一条直线经过点P(3,2)，并且分别满足下列，并且分别满足下列条件，求直线方程：条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的的倾斜角的2倍；倍；（2）与）与x、y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A、B两点，且两点，且AOB的面积最小的面积最小(O为坐标原点为坐标原点).化为一般式为化为一般式为8x-15-15y+6+6=02x+3+3y-12-12=0练习：练习：过点过点(2,1)作直线作直线 l 分别交分别交x,y轴正半轴于轴正半轴于A，B两点。两点。(1)当当AOB面积最小时，求直线面积最小时，求直线 l 的方程的
6、方程.(2)当当|PA|PB|取最小值时，求直线取最小值时，求直线 l 的方程的方程.解：解：(1)设所求直线设所求直线 l 的方程为的方程为)0,0(1babyax由已知由已知 112ba于是于是 221212baba41SAOB=ab214当且仅当当且仅当 2112ba即即a=4,b=2时取等号时取等号,此时直线此时直线l 的方程为的方程为124yx即即x+2y-4=0 练习练习：过点：过点(2,1)作直线作直线 l 分别交分别交x,y轴正半轴于轴正半轴于A，B两点。两点。(1)当当AOB面积最小时，求直线面积最小时，求直线 l 的方程的方程.(2)当当|PA|PB|取最小值时，求直线取最
7、小值时，求直线 l 的方程的方程.解：解：(2)解法解法1：设直线：设直线 l 的方程为的方程为 y-1=k(x-2)分别令分别令y=0，x=0得得当且仅当当且仅当k2=1，即，即k=1时取取最小值，时取取最小值，),0,12(kA此时直线此时直线 l 的方程是的方程是 x+y-3-3=0),21,0(kB则则|PA|PB|=)11)(44(22kk)1(4822kk 4又又k0,k=-1,:2解法)2,0(,BAO设设03yxl 的方程为的方程为直线直线xyOAB，、垂足分别为垂足分别为轴的垂线，轴的垂线，、作作过过FEyxP.PEFcos|sin|PFPEPBPA则则2sin44”号”号时
8、，取“时，取“当当4)2(1xkyl的的方方程程为为设设直直线线1k斜率斜率练习练习：过点：过点(2,1)作直线作直线 l 分别交分别交x,y轴正半轴于轴正半轴于A，B两点。两点。(2)当当|PA|PB|取最小值时，求直线取最小值时，求直线 l 的方程的方程.例例 3 3：直线方程为直线方程为(2)x(12)y930.(1)求证不论求证不论取何实数值，此直线必过定点；取何实数值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程线段被这点平分，求这条直线方程.练习：练习：已知二直线已知二直线l1：mx+8y+n=0和
9、和l2：2x+my-1=0.试确定试确定m、n的值，使的值，使l1与与l2相交于点相交于点P(m,-1)；l1l2；l1l2，且，且l1在在 y 轴上的截距为轴上的截距为-1.7,1nm21/2,42,4llnmnm时，时，时，或时，或即即。轴上的截距为轴上的截距为且在且在时，时，即即1,8,021yllnm练习练习：已知直线方程为：已知直线方程为 AxByC0，直线，直线在在 x 轴上的截距为轴上的截距为 a，在，在 y 轴上的截距为轴上的截距为 b，直线，直线的斜率为的斜率为 k，坐标原点到直线的距离为，坐标原点到直线的距离为 p，则有，则有(）AkbaCakbDb2p2(1k2)例例 4
10、：已知直线：已知直线L L:y=3x+3,试求：试求：(1)点点P（4，5)关于关于L L的对称点的坐标为的对称点的坐标为_(2)直线直线y=x-2关于关于L L对称的直线方程为对称的直线方程为_(3)直线直线 L关于点关于点 A(3，2)对称的直线方程为对称的直线方程为_练习：练习：如图，已知如图，已知A(4,0),B(0,4)，从点，从点P(2,0)射射出的光线经直线出的光线经直线AB反射后射到直线反射后射到直线OB上，最上，最后经直线后经直线OB反射后回到反射后回到P点，则光线所经过点，则光线所经过的路程为的路程为 _ xyOABP例例5 5：k04k4ykx2L08k2y2kx:L,4
11、k022:21个个四四边边形形面面积积最最小小的的成成一一个个四四边边形形，求求使使这这与与两两坐坐标标轴轴围围：直直线线和和直直线线已已知知 最大，并求出最大值。最大，并求出最大值。，使，使上求一点上求一点试在试在及点及点练习：已知直线练习：已知直线|BC|-|AC|CL),4,0(B),1,4(A01yx3:L 1、直线、直线l过点过点A(1,2),其其x轴截距轴截距a(-3,3),求斜求斜率率k的取值范围的取值范围.2、倾斜角、倾斜角为为 的直线的直线l与两坐标轴围成的与两坐标轴围成的 三角形面积不大于三角形面积不大于 ,求求l的纵截距的纵截距b的取的取值范围值范围.323;2 21 1
12、1或k1或kk k1 1 6 6,6 6 b b2 2下图中的哪一个？下图中的哪一个？1的图象可能是1的图象可能是mmy yn nx x1与1与n ny ymmx x两直线两直线 .3xyOxyOxyOxyO4.直线直线l 被两条直线被两条直线 l1:4x+y+3=0和和 l2:3x-5y-5=0截得截得的线段中点为的线段中点为P(-1,2),求直线求直线 l 的方程的方程.解：设点解：设点A(a,b)在在 l1 上，则点上，则点A(a,b)关于点关于点P(-1,2)的对称的对称点点A1(m,n)在在 l2 上上,由中点坐标公式得由中点坐标公式得,2221bnam,42bnam05)4(5)2
13、(3034baba解之得：解之得：52ba因为点因为点(-2,5)和点和点(0,-1)都在都在l上上,A(-2,5),A1(0,-1),把把A(a,b)代入代入 l1,A1(-2-a,4-b)代入代入 l2 得得 ,由两点式得直线由两点式得直线 l 的方程为的方程为:3x+y+1=0 5 5：已知点已知点 P(2，1)，求：，求：(1)过过 P 点与原点距离为点与原点距离为 2 的直线的直线 l 的方程；的方程；(2)过过 P 点与原点距离最长的直线点与原点距离最长的直线 l 的方程并求出最大距离；的方程并求出最大距离；(3)是否存在过是否存在过 P 点且与原点距离为点且与原点距离为 6 的直
14、线？若存在，求的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由出方程；若不存在，请说明理由例例5.已知两点已知两点 A(-1,2)、B(m,3),（1）求直线）求直线AB的斜率的斜率k与倾斜角与倾斜角；（2）求直线）求直线AB的方程；的方程；（3）已知实数）已知实数m 求直线求直线AB的倾斜角的倾斜角 的取值范围的取值范围,13,133解解:（1）当）当m=-1时时,直线直线AB的斜率不存在的斜率不存在,倾斜角倾斜角 2当当m-1时，时，,11mk当当m-1时，时，,11arctanm当当m-1时，时，,11arctanm例例5.已知两点已知两点 A(-1,2)、B(m,3),（1）求直线）求直
15、线AB的斜率的斜率k与倾斜角与倾斜角；（2）求直线）求直线AB的方程；的方程；（3）已知实数）已知实数m 求直线求直线AB的倾斜角的倾斜角 的取值范围的取值范围,13,133解解:（2）当）当m=-1时，时，AB：x=-1，当当m-1时，时，AB:),1(112xmy5.已知两点已知两点 A(-1,2)、B(m,3),（1）求直线）求直线AB的斜率的斜率k与倾斜角与倾斜角；（2）求直线）求直线AB的方程；的方程；（3）已知实数）已知实数m 求直线求直线AB的倾斜角的倾斜角 的取值范围的取值范围,13,133（3）当）当m=-1时，时，2当当m-1时，时，),333,(11mk32,2()2,6
16、故综合、得，直线故综合、得，直线AB的倾斜角的倾斜角 32,6(1)在在y轴上的截距为轴上的截距为-5,倾斜角的正弦为倾斜角的正弦为3/5;6求适合下列条件的直线求适合下列条件的直线的方程的方程:(2)在在x轴上的截距比在轴上的截距比在y轴上的截距大轴上的截距大1,且且过点过点A(6,-2);(3)经过点经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线倾斜角等于直线y=3x的倾的倾角的角的2倍倍.5 5x x4 43 3y y1 1 0 06 63y3y0;2x0;2x2 2y yx x2 22 0 015154y4y3x3x3 3目的目的:要善于根据题目的条件要善于根据题目的条件,选取恰当的方选取恰当的方程形式程形式.
