1、高中数学 三视图 知识点总结及解题技巧专题汇总1、 三视图的概念（1）正投影的概念：正投影是指投影线互相平行，并都垂直于投影面的投影。（2）三视图：物体向投影面投影所得到的图形，称为视图。将物体在三个相互垂直的平面内作垂直投影所得的三个图形，称为三视图。分别为主视图（正）、俯视图和侧（左）视图。2、识图技巧（1）试图位置一般三视图的放置方式是按下图所示的标准位置，如果题目中给出的不是，那么为了解题的需要，可以把它们摆放为标准位置，便于尺寸的对应；（2）侧面与试图的关系当几何体的侧面与投影面不平行的时候，这个角度的视图的形状就不是该侧面的形状，只有当侧面与投影面平行的时候，视图才能真实地反映几何
2、体侧面的形状。（3）看图要领：主、俯视图长对正；主、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等；（4）三视图考题中选取的几何体一般有三种（I）一些常见的几何体，如长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等等，熟悉这些几何体的三视图是个基础。（II）上述几何体被平面截取后得到的几何体，比如将正方体消去一个角后的几何体；（III）2个几何体的组合体，比如把一个球放在一个长方体上面；3、解题要领（1）先确定底面大多数试题中下，俯视图的图形都是几何体底面的真实形状；（2）找视图中有线线垂直的地方，这些关键线往往对应着几何体中线面垂直、面面垂直的地方，几何体的高很多情况就是视图平面图形的高，求几何体的体积时这一点显得尤为
3、重要；（3）注意三视图与几何体的摆放位置直接相关，同样一个几何体若摆放位置不同，那么三视图的形状也会有变化；4、典型例题讲解例题1：某几何体的三视图如下，确定它的形状；分析：（1）看俯视图，可知底面是直角三角形；（2）主视图中，SA那里是直角，而俯视图中，与SA对应的是点S，这样可以确定SA在几何体中是一条与底面垂直的棱，（3）结合以上画出直观图；主视图（1） 底面是直角三角形ACB,ACB是直角；（2） SA和底面垂直；这个问题如果设计成一个考题，可能是这样：一个几何体的三视图如图所示，它的体积是 .因为涉及到计算，因此我们最好把三视图重新画一下，放到标准位置，方便长度关系的计算，由对应关系
4、，可以算得底面三角形的高应为2，故底面的面积为； 而高为2，则体积为例题2(2007年山东8)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（） 图6分析：（1）看俯视图，确定底面为一个正方形；（2）看正视图和俯视图，最右边应该面面垂直，而且与底面垂直的是一个三角形的面，；（3）这样就可以确定了，这个几何体是一个四棱锥，底面是正方形，一个侧面是等腰三角形且与底面垂直；（4）可以得出棱锥的顶点在底面的投影是底面右边的中点，底面积为400，高为20，所以体积为。例题3 本例说明，一个几何体若摆放位置不同，三视图会变化；（1）一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直
5、于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（ ）侧视图俯视图主视图 A.24cm2 B.cm2 C.cm2 D. cm2直观图如图1所示底面正三角形的高是，可得正三角形的边长是4，侧棱为2，于是表面积为（2）一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的体积为为 。 注意，本题中三棱柱是放倒后的，底面是矩形，长为3，宽为，正三角形的边长为2， 显然，例1，例2都是正三棱柱的视图，摆放位置不同，造成视图的区别2013年高考湖南理8就是与此有关的一道题已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可
6、能等于（）A BCD 【答案】C 例题4 本例说明组合体的三视图 (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C类似题1.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18C1正视图侧视图俯视图2312222、如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（
7、）A. 6+ B. 18+C. 18+2+ D. 32+例5本例说明三视图问题如何设计成为解答题，这在某些高考题、模拟题中已有出现(07高考广东卷第17题)已知某几何体的俯视图是如图4所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的侧面积图5解: 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为的等腰三角形，如图5。(1) 几何体的体积为 (2) 该四棱锥有两个侧面VA
8、D、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为， 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为 故几何体的侧面面积为：5、练习1.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形,其俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为_ _.2一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 第1题题342俯视图主视图左视图（第2题）3一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3. 4如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果等腰直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 （第4题）（第
9、3题）5.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为_.44442第6题图6已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_ 7如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 ABCP6338已知一个正三棱锥P-ABC的主视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于_334（第8题）（第7题）1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是正视图侧视图俯视图答案: C10、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且
10、一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A. B.C . 4D. 811、一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_ 答案 212、（09辽理）设某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 解：三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于243413、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。 14、一个几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长为1，则该几何体的体积为 。本题的几何体是把正方体的一个角切掉后的几何体，如上图所示，体积应为六分之五 （2013年高考新课标1（
11、理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）ABCD【答案】A （2013高考广东理）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 正视图俯视图侧视图（）ABCD（2013重庆理）某几何体的三视图如题图所示,则该几何体的体积为（）ABCD【答案】C （2013新课标理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_.43233正视图侧视图俯视图（第12题图）【答案】24
