1、第二章 有理数一、正数和负数正数和负数的概念负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8表示为：+8；零下8表示为：-83.0表示的意义 0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里
2、没有人；0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：二、有理数1. 有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数
3、0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数总结：正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、0统称为非正整数 正有理数、0统称为非负有理数 负有理数、0统称为非正有理数三、数轴数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴
4、上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是0，无最大的自然数；最小的正整数是1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数 a0表示a是正数；反之，a是正数，则a0；a0表示a是负数；反之，a是负数，则a0时，-a0（正数的相反数是负数）当a0（负数的相反数是正数）当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）6.
5、多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。五、绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.可用字母表示为：如果a0，那么|a|=a； 如果a0，那么|a|=-a； 如果a=0，那么|a|=0。可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其
6、相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|0。即0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为
7、0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5.绝对值的化简当a0时， |a|=a ； 当a0时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。六、有理数的加减法1.有理数的加法法则同号
8、两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和
9、比原数小；加0后的和等于原数。即：当b0时，a+ba 当b0时，a+b3）第八章 幂的运算幂（power）指乘方运算的结果。n指将自乘n次(n个相乘）。把n看作乘方的结果，叫做的n次幂。对于任意底数,b，当，为正整数时，有n=m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)n=m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)()n=mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(b)n=nn (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)0=1(0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)-n=1/n (0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于
10、1)的整数记为a10n的形式(其中1|a|10),这种记数法叫做科学记数法.第九章 从面积到乘法公式一、单项式、多项式、整式、 代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数或者字母也是代数式。、 单项式： 由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。） 分母含有未知数的式子不属于单项式。因为单项式属于整式，而分母含有未知数的式子是分式。例如，1/x不是单项式。 ） 单独的一个数字或字母也是单
11、项式。例如，1和x2y也是单项式。如果一个单项式，只含有字母因数，如果是正数的单项式系数为1，如果是负数的单项式系数为1. ） 单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数、 多项式：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。、 整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。、 同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别
12、相同的项叫做同类项。、 合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项，合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。、 去、添括号法则1) 括号前是+号,把括号和它前面的+号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。 2) 括号前是-号,把括号和它前面的-号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。（改成与原来相反的符号)3) 若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号 4) 遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数-的个数. 、 单项式乘单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
13、同它的指数作为积的一个因式。、 单项式乘多项式，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。、 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。二、 乘法公式、完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2 、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全立方公式： (ab)3 =a33a2b+3ab2b3、立方和公式：a3b3= (ab)(a2abb2) 立方差公式：a3b3= (ab)(a2abb2)三、 因式分解、 公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。、 因式分解（分解因式）Factorization：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。、 因式分解的方法：提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再
