1、九年级数学上册第一章 反比例函数（一）反比例函数 1（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变 量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0， 且x应对称取点（关于原点对称）（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双
2、曲线的渐近线 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在 双曲线的另一支上4k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为
3、图1 图2 5说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2、反比例函数与一次函数的联系 3、充分利用数形结合的思想解决问题第二章 一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为（a、b、c为常 数， a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把（a、b、c为常数，a0）称为一元二次方程的一般
4、式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成(p0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成1；把常数项移到方程 的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成左边为一个完全平方式， 右边化为一个常数；两边开方求其根。 3、公式法 （注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式） 4、分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式” 和“十字相乘”）（三） 一元二次方程根
5、的判别式 判别式=b2-4ac与根的关系： 当b2-4ac0时，则方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，则方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac0时，则方程有两个实数根； 当b2-4acBC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点值得关注的近似数：假设 则AC0.618 BC=AD0.382） A C B 定义： ()（二）平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：如图，因为ADBECF， 所以AB：BC=DE：EF； AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF。 也可以说AB：DE=BC：EF；
6、AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。（三）相似图形 1、对应角相等，对应边的比相等的两个图形就叫相似图形。 2、相似多边形：（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫 做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质：相似多边形的对应角
7、相等，对应边成比例 相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方（四）相似三角形的判定和性质1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，相似三角形对 应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理 （1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC； （2）对称性：若ABCABC，则ABCABC （3）传递性：若ABCABC，并且ABCABC，则ABCABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法 定义法：对应角相等，对应边成比例的两
8、个三角形相似 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三 角形相似 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这 两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法 以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形
9、的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形相似 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 （2）相似三角形周长的比等于相似比 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。（五） 相似三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子 A物高：B物高=A影长：B影长（六） 位似图形1、 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中
10、心，此时的相似比叫做位似比。2、性质：（1）位似图形对应线段的比等于位似比。 （2）位似图形的对应角都相等。 （3）位似图形对应点连线的交点是位似中心。 （4）位似图形面积的比等于位似比的平方。 （5）位似图形高、周长的比都等于位似比。 （6）位似图形对应边互相平行或在同一直线上第四章 锐角三角函数（一） 正弦、余弦、正切1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下图，在RtABC中，C为直角，则A的锐角三角函数为(A可换成B)：定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) 对边邻边斜边ACB3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐
11、角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001- 5、正弦、余弦的增减性： 当090时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 6、正切的增减性： 当090时，tan随的增大而增大（二） 解直角三角形： 1、定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。2、依据：边的关系：；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义（三） 解直角三角形的应用：1、仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 2、 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成 的形式
12、，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方向 角分别是：45、135、2254、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、 OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向） ， 南偏东45（东南方向）， 南偏西60（西南方向）， 北偏西60（西北方向）。 第五章 用样本推断总体 (一）平均数的计算方法（1） 定义法：一般地，如果有n个数数据比较分散，那么，叫做 这n个数的平均数，读作“x拔”。（2） 加权平均数法：如果所给数据重复出现，即n个数中，出现
13、次，出现次，出现 次（这里）那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，（， 。是新数据的平均数（通常把叫做原数据， 叫做新数据）。（二）、统计学中的几个基本概念 1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、众数：在
14、一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 7、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 叫做这组数据的中位数。 （三）总体平均数和方差的估计1、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数； 统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。2、方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的 方差。通常用“”表示，即（1）简化计算公式（）：（此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方) 也可写成（2） 简化计算公式（）： 当一组数据中的数据较大时，可以依 照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据 ，那么， （此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）（3） 新数据法：原数据的方差与新数据，的方 差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。3、 标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即（方差或标准差越大，离散程度越大，稳定性越差，反之越稳定）
