1、-函数的单调性一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？x1-11y-1-1画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1 1f(x)=x 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降_?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ _ 2 2f(x)=-2x+1 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下
2、降 _?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ _ 上升上升（-，+）增大增大下降下降（-，+）减小减小3 3f(x)=x2在区间在区间 _ _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ _ 在区间在区间 _ _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ _ x-4-3-2-101234f(x)16941014916(-,0减小减小（0，+）增大增大 y246810O-2x84121620246210141822D对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间D逐渐上
3、升逐渐上升？OxDy区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升对区间对区间D内内 x1，x2，当当x1x2时，时，有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于如果对于区间区间D上的上的任意任意当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，定义
4、定义MN任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，D 称为称为 f(x)的的单调单调增区间增区间.那么就说那么就说 f(x)在区间在区间D上上是单调是单调增函数增函数，区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升D 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I
5、.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I.如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，当当x1x2时，时，都有都有f(x1)f(x2)，单调区间单调区间注意：注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数
6、的局函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；部性质；必须是对于区间必须是对于区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2；函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。下列说法是否正确？请画图说明理由。（3）如果对于区间如果对于区间（0，+）上的任意上的任意x有有f(x)f(0),(0),则函数在区则函数在区间间（0，+）上单调递增。上单调递增。（1）对于区间）对于区间（a,b）上得某上得某3个自变量的个自变量的x1,x2,x3,当当a x1x2
7、x3b 时，有时，有f(a)f(x1)f(x2)f(x3)f(b),则函数则函数f(x)在区间在区间（a,b）上单调递增。上单调递增。（2）对于区间）对于区间（a,b）上有无数个自变量的上有无数个自变量的x1,x2,x3,xn,当当a x1x2xnb 时，有时，有f(a)f(x1)f(x2)f(xn)0bkxy),(k0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)yaxbxc a的对称轴为2bxa,2ba,2ba练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。2()2fxxxxxxxf2)(2 y21o单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：1 ,(),1 成果运用成果
8、运用,12()4fxxax 若若二次函数二次函数 在区间在区间 上单调递增，上单调递增，求求a的取值范围。的取值范围。oxy1xy1o解：解：二次函数二次函数 的对称轴为的对称轴为 ,由图象可知只要由图象可知只要 ，即，即 即可即可.2()4f xxax 2ax 12ax 2a ,12()4fxxax 若若二次函数二次函数 的单调增区间是的单调增区间是 ,则则a的的取值情况是取值情况是 （）变式变式1变式变式2请你说出一个单调减区间是请你说出一个单调减区间是 的二次函数的二次函数,1 变式变式3请你说出一个在请你说出一个在 上单调递减的函数上单调递减的函数,1 2222aaaa A.B.C.D
9、.讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单调性内的单调性.322 axxf(x)变式变式4解：解：f(x)的开头方向向上，对称轴是的开头方向向上，对称轴是x=a，（1）当当a-2时，时，f(x)在在(-2,2)单调递增；单调递增；（2）当当-2a2时，时，f(x)在在(-2,2)单调递减。单调递减。变式变式5讨论函数讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间在区间(a,a+3)上的单调性。上的单调性。例例3.指出下列函数的单调区间：指出下列函数的单调区间：1yx1(,0)(0,)yx能 不 能 说在 定 义 域上是 单 调 减 函 数?x1yxyO思考思考1：思考思考2：函数函数 的单
10、调区间是什么？的单调区间是什么？1yx1yx 的单调增区间是的单调增区间是),0(),0,(归纳：归纳：在在 和和 上的单调性上的单调性？0,(0)kykx,0 1yx的单调减区间是_(,0)(0,),解：没有单调增区间没有单调增区间 单调增区间单调增区间 单调减区间单调减区间 (0)kykx的单调区间xky 0k0k(,0)(0,)，(,0)(0,)，证明：证明：设设x1,x2是是上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),0因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减函数。上是减函数。取值定号变形作差下结论3 3
11、证明函数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性的上的单调性的一般步骤：一般步骤：任取任取x1，x2D，且，且x1x2；作差作差f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性）上的单调性）例4、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp 证明：证明：根
12、据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1，V2是定义域是定义域(0，+)上的任上的任意两个实数，且意两个实数，且V10,由由V10又又k0,于是于是0)()(21VpVp)()(21VpVp即 所以，函数所以，函数 是减函数是减函数.也就是说，当体也就是说，当体积积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论结论判断函数判断函数 在区间在区间(0,1)上的单调性上的单调性.2()1xf xx 解解:设设则则 f(x1 1)f(x2 2)12221211xxxx )1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x
13、 xxxxx 0 x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0.即即 f(x1)f(x2).故此函数在故此函数在(0,1)上是减函数上是减函数.1201,xx4.4.判断函数判断函数f(x)=x3+1在在(,+,+)上是增函数还是减函数，上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论并用定义证明你的结论.1212:(),解解在在，上上 任任 取取且且xxxx)()1()1()()(22221123231211xxxxxxxxxfxf 222211243)2()(xxxxx043)2(,02222112 xxxxx又又)()(,0)()(2121xfxfx
14、fxf 即即所以所以f(x)f(x)在在(,0),0)上是减函数上是减函数例：已知函数例：已知函数f(x)是定义在（是定义在（-，+）上的单调增函数，）上的单调增函数，解不解不等式等式 f(2x)f(1+x)的大小关系是则上是增函数，且在思考：若2121,),()(R)(xxxfxfxf例：已知函数例：已知函数f(x)是定义在（是定义在（-1，1）上的单调）上的单调增函数，增函数，解不等式解不等式 f(2x)f(1-3a)，求实数，求实数a的取值范围。的取值范围。的大小。与比较上是减函数，在已知函数)43()1()(0)(.22faafxf()fx 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函
15、数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式（2）求适合）求适合 的的 的取值范围的取值范围()fx(2)(1)fxfx()2()0fxfx或x思考与讨论思考与讨论f(x)和和g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么f(x)和和g(x)四则运算后在该区间四则运算后在该区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？1.1.若若f(x)为增函数，为增函数，g(x)为增函数，为增函数，则则F(x)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。2.2.若若f(x)为减函数，为减函数
16、，g(x)为减函数，为减函数，则则F(x)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)为增函数，为增函数，g(x)为减函数，为减函数，则则F(x)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)为减函数，为减函数，g(x)为增函数，为增函数，则则F(x)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。1.已知函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为R，且对任意，且对任意 ，都有都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当，且当 x0时，时，f(x)0 恒成立，恒成立，证明：证明：函数函数 f(x)是是 R上的减函数；上的减函数；,a bR证明抽象函数的单调性证明抽象函数的单调
17、性上是增函数。在区间证明：，时，有，当都有，且对一切的定义域为已知)(0,)(0)(1)(-)()(00,)(0,)(.2xfxfxyfxfyxfyxxf三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号
18、下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。)(.1xf设函数)0()0(122xxxx，则f(x)的单调递增区间是 的单调区间。求函数|42|1-|.2xxy的取值范围。求实数上单调递减，在已知函数k)0,132-(x).32xkxfD.(1,4)C.2,4),4)(-.).(1,-1)(1-1)-(1)(-)-(4)(.4BAaxaxaxaxaxf）的取值范围是（）上的增函数，则，是（已知函数上的单调性是在则函数上都是减函数，在若函数)(0,y)(0-,.52bxaxxbyaxy-函数的最大（小）值下列两个函数的图象：下列两个函数的图象：图图1ox0 xMy
19、yxox0图图2M观观 察察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？纵坐标叫什么呢？设函数设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？f(x)M2fx=-x+1 xR数数例例 如如 函函(0)=1O122、存在、存在0，使得，使得(0)=1.1、对任意的、对任意的 都有都有(x)1.Rx1是此函数的最大值是此函数的最大值M是函数是函数y=f(x)的最大值（的最大值（maximum value
20、）：）：0 xI 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的x I，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 .0f(x)=M 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果实数，如果实数M满足：满足：（1）对于任意的的）对于任意的的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在 ，使得，使得 ，那么我们称那么我们称M是函数是函数y=f(x)的最小值（的最小值（minimun value）.0 xI0f(x)=M 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数能否仿照函数的最大值的定
21、义，给出函数y=f(x)的最小值的的最小值的定义呢？定义呢？2.2.函数最大（小）值应该是所有函数值中函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的最大（小）的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）注注 意：意：1.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在即存在x0I，使得，使得f(x0)=M；3.3.最大值和最小值统称为最值。最大值和最小值统称为最值。.)(1,1)(,),()(12的最大值为函数则都有任意、函数xfxfRxRxxxf判断以下说法是否正确。判断以下说法是否正确。.)(,)(,)(,)(,),(,)
22、(3003020132100yxfyxfyxfyxfxxxyxPbaxf的最小值为则函数有自变量对于），已知点的定义域为（、函数2.设函数f(x)=1-x2，则f(x)2成立吗?f(x)的最 大值是2吗？为什么？如果函数如果函数f(x)的最大值是的最大值是b，最小值是，最小值是a，那么函数，那么函数f(x)的值域是的值域是a，b吗？吗？函数函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值在定义域中既有最大值又有最小值.如果在函数如果在函数f(x)定义域内存在定义域内存在x1和和 x2，使对定义域内任意，使对定义域内任意x都有都有 成立，由此你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？12()()(
23、)fxfxfx探究探究:函数单调性与函数的最值的关系函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数）若函数y=f(x)在区间在区间m，n(mn)上单调递增，则函数上单调递增，则函数y=f(x)的最的最值是什么？值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当当x=m时，时，f(x)有最小值有最小值f(m)，当当x=n时时,f(x)有最大值有最大值f(n).(2)若函数若函数y=f(x)在区间在区间m，n上单调递减，则函数上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？的最值是什么？mnf(m)Oxyf(n)当当x=m时，时，f(x)有最大值有最大值f(m)，当当x=n时，时，f(x)有最小值有最小值f(n).(3
24、)若函数若函数 则函数则函数y=f(x)在区间在区间m,n上的最值是什么？上的最值是什么？2()=(-l)+h(0,m l n)fxaxamnf(m)Oxyf(n)lf(l)最大值最大值f(l)=h，有最小值，有最小值f(m),f(n)中较小者中较小者.例3 “菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂时爆裂.如果在距地面高度如果在距地面高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最
25、佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m1m）解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:29)9.4(47.1418)9.4(45.1)9.4(27.142ht 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.例3 求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,
26、则)1)(1()(2)1)(1()1()1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy（二）（二）判断函数的判断函数的最大最大(小小)值值的方法的方法 1.利用二次函数二次函数的性质（配方法配方法）求函数的最大(小)值 2.利用图象图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性函
27、数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；例例3 写出函数写出函数 的单调区间，并求出最的单调区间，并求出最值。值。2321yxx2()23fxxx2,0 x 例例4 已知二次函数已知二次函数 （1）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。()fx()fx2,3x
28、 （2）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。例例5 已知函数已知函数 f(x)=x2-2ax-1(1)当当a=1时，求时，求f(x)在区间在区间2,4上的最值。上的最值。(2)求求f(x)在区间在区间0,2上的最小值。上的最小值。(3)求求f(x)在区间在区间0,2上的最大值。上的最大值。例例6 6 求下列函数的最小值求下列函数的最小值22221(1)()(0)4(2)()221,1xxfxxxfxxaxx 提示：提示：（1 1）将将f(x)变形变形用定义法证明用定义法证明f(x)的单调性的单调性求求f(x)的的最小值最小值（2 2）f(x)求求f(x)的的对称轴对称轴讨论对称轴讨论对称轴与所给区间与所给区间的位置关系的位置关系结论结论 设f(x)是定义在R上的函数，对m,nR恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)0(3)求证：f(x)在R上是减函数。
