1、13.2奇偶性奇偶性第第1课时函数奇偶性的概念课时函数奇偶性的概念1.结合具体函数，了解函数奇偶结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；掌握判断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系性之间的关系.1.对函数奇偶性概念的理对函数奇偶性概念的理解解(难点难点)2.函数奇偶性的判定方函数奇偶性的判定方法法(重点重点)1轴对称图形：如果一个图形上的任意一点轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条关于某一条_的对称点仍是这个图形上的点，的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该直线成轴对称图形，这条直就称该图形关
2、于该直线成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的线称作该轴对称图形的_2中心对称图形：如果一个图形上的任意一中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点称作该中心对称图形的称作该中心对称图形的_直线直线对称轴对称轴对称中心对称中心3点点P(x，f(x)关于原点的对称点关于原点的对称点P1的坐标为的坐标为_，关于，关于y轴对称点的点轴对称点的点P2的坐标的坐标为为_(x，f(x)(x，f(x)原点原点y轴轴函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性奇偶性项项
3、目目偶函数偶函数奇函数奇函数定义定义一般地，如果一般地，如果对对于于函数函数f(x)的的定定义义域内任意一域内任意一个个x，都都_，那么函那么函数数f(x)就叫做偶就叫做偶函函数数.一般地，如一般地，如果果对对于函数于函数f(x)的的定定义域内任义域内任意意一一个个x，都，都有有_，那那么函数么函数f(x)就就叫叫做奇函数做奇函数.有有f(x)f(x)f(x)f(x)定义域定义域关于原点对称关于原点对称 图象特图象特征征关于关于y轴对称轴对称 关于原点对关于原点对称称与单调与单调性关系性关系在对称区间上，单调性在对称区间上，单调性相反相反在对称区间上，单调性在对称区间上，单调性相同相同1函数函
4、数f(x)x2，x0，)的奇偶性是的奇偶性是()A奇函数奇函数B偶函数偶函数C非奇非偶函数非奇非偶函数 D既是奇函数，又是偶函数既是奇函数，又是偶函数解析：解析：函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数数答案：答案：C答案：答案：D3设函数设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则为偶函数，则a_.答案：答案：1解析：解析：(1)f(x)的定义域为的定义域为R，且满足且满足f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，从而可知从而可知f(x)为偶函数；为偶函数；由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：,函数函数f(x)的解析
5、式均已知；的解析式均已知；,判断奇偶性问题判断奇偶性问题.,解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证点对称，然后再验证f(x)与与f(x)之间的关系来确定奇偶性之间的关系来确定奇偶性.题后感悟题后感悟(1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：必须首先判断必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对称；的定义域是否关于原点对称；有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误如本例断或判断错误如本例(4)中，若不化简可能会判断为偶
6、函数中，若不化简可能会判断为偶函数注意下面变式训练中的第注意下面变式训练中的第(4)小题小题若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等是否等于于f(x)，或判断，或判断f(x)f(x)是否等于是否等于0，从而确定奇偶性，从而确定奇偶性图象法：若函数图象关
7、于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于图象关于y轴对称，则函数为偶函数轴对称，则函数为偶函数另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商偶函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇、差仍为奇函数，奇(偶偶)数个奇函数的积、商数个奇函数的积、商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用以注：利用以上结论时要注意各函数的定义域上结论时要注意各
8、函数的定义域)解析：解析：(1)函数定义域为函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(2)函数的定义域为函数的定义域为x|x1不关于原点对称，不关于原点对称，函数函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数(3)f(x)的定义域是的定义域是R，又又f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数是偶函数策略点睛策略点睛(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：判断分段函数奇偶性的注意事项：根据根据x所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写了先写x的所属区间；的所属区间；f(x
9、)与与f(x)需用不同分段上的解析式，因为需用不同分段上的解析式，因为x与与x所属区间所属区间不同；不同；定义域内的定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏值应讨论全面，不能遗漏解析：解析：当当x0时，时，x0，f(x)x1(x1)f(x)，另一方面，当另一方面，当x0时，时，x0，f(x)x1(x1)f(x)，而而f(0)0，f(x)是奇函数是奇函数解析：解析：当当x0时，时，x0f(x)x2f(x)当当x0f(x)(x)2x2f(x)当当x0时，时，f(x)0f(x)f(x)是偶函数是偶函数解题过程解题过程函数定义域为函数定义域为R，其定义域关于原点对称，其定义域关于原点对称f(xy)f(x)f
10、(y)，令令yx，则则f(0)f(x)f(x)，再令再令xy0，则则f(0)f(0)f(0)，得，得f(0)0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数题后感悟题后感悟如何判断抽象函数的奇偶性？如何判断抽象函数的奇偶性？明确目标：判断明确目标：判断f(x)与与f(x)的关系；的关系；用赋值法在已知抽象关系中凑出用赋值法在已知抽象关系中凑出f(x)与与f(x),如本例中令如本例中令yx；用赋值法求特殊函数值，如本例中令用赋值法求特殊函数值，如本例中令xy0,求求f(0)证明：证明：令令x0，yx，则则f(x)f(x)2f(0)f(x)又令又令xx，y0得得f(x)f(x)2f(x)f(0)得得
11、f(x)f(x)f(x)是偶函数是偶函数1准确理解函数奇偶性定义准确理解函数奇偶性定义(1)偶函数偶函数(奇函数奇函数)的定义中的定义中“对对D内任意一个内任意一个x，都有，都有xD，且，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明，这表明f(x)与与f(x)都有意义，即都有意义，即x、x同时属于定义域因此偶同时属于定义域因此偶(奇奇)函数函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件存在既是奇函数又是偶函数的函数，即存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)0，xD，这，这里定义域里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集是关于坐标原点对称的非空数集(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数【错因错因】没有考察函数定义域的对称性没有考察函数定义域的对称性【正解正解】因为函数因为函数f(x)的定义域的定义域1x1不关于原点对称，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数故此函数为非奇非偶函数.练规范、练技能、练速度练规范、练技能、练速度
