1、4.1.2圆的一般方程圆的一般方程222)()(rbyax圆心圆心C(a,b),),半径半径r圆的标准方程圆的标准方程 复习复习xyOC(a,b)Ar x2 y 2DxEyF0 把把圆的圆的 标准方程标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得 22222202 rbabyaxyx由于由于a,b,r均为常数均为常数FrbaEbDa 222,2,2令令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手动动手结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式 x2 y 2DxEyF0问：是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y
2、2DxEyF0 方程表示方程表示 的曲线是圆呢？的曲线是圆呢？结论结论配方可得：配方可得：把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0(1)当当D2+E2-4F0时时,表示以（表示以（）为圆心，以为圆心，以()为半径的圆为半径的圆.2,2ED FED42122 22224()()224DEDEFxy (2)当当D2+E2-4F=0时时,方程只有一组解方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（）.2,2ED 动动脑动动脑(3)当当D2+E2-4F0时时,方程无实数解方程无实数解,所以所以不表示任何不表示任何图形图形.圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0(D2
3、+E2-4F0)2 2.没有没有xy这样的二次项这样的二次项一般方程一般方程的特点：的特点：1 1.x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；3 3.D2+E2-4F0 判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径若能写出圆心与半径(3)x2+y2-2x+4y-4=0(5)2x2+2y2-12x+4y=0(1)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(2)x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心（1，-2）半径）半径3是是圆心（圆心（3，-1）半径）半径10不是不是不是不是不是不是 练习练习 例例1 1 求过点
4、的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.)2,4(),1,1(),0,0(NMO解解:设所求圆的方程为设所求圆的方程为220 xyD xE yF 其中其中D,E,FD,E,F待定待定.由题意得由题意得020,42200FDEFDEF 解得解得86.0DEF 于是所求圆的方程为于是所求圆的方程为22860.xyxy 将这个方程配方，得将这个方程配方，得.25)3()4(22yx故所求圆的圆心坐标是故所求圆的圆心坐标是 半径为半径为 ),3,4(.58,6,0,DEF 2214,3,45,222DEDEF 典例精析典例精析xyoMN (1)依题意选择标准方程或一般方程依题意选择标准方程或一般方程
5、 (2)根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程组的方程组 (3)解出解出a,b,r或或D,E,F，代入标准方程或一般方程，代入标准方程或一般方程求圆的方程常用求圆的方程常用“待定系数法待定系数法”，用，用“待定系数法待定系数法”求圆的方程的步骤是：求圆的方程的步骤是：例题小结：例题小结：变式训练变式训练1 求经过三点（0,0），（2，-2），（4,0）的圆的方程解解 设所求圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意得：02016408+2-,+FDEFDF解得400.DEF 于是所求圆的方程为:x2+y2-4x=0例例2 2、如下图，已知线段、如下图，已知线段AB
6、AB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.xy解解 设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点B的坐标是(4,3),且点M是AB的中点,所以000043,2224,23xyxyxxyy于 是 有因为点A在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4,=4,即即(x(x0 0+1)+1)2 2+y+y0 02 2=4=4把代入，得222
7、41234,xy2231,2y3整 理，得 线 段 AB的 中 点 M的 轨 迹 方 程 是x-2例例2动画动画如果轨迹动点如果轨迹动点M(x,y)依赖于另一依赖于另一动点动点A(x0,y0),而而A(x0,y0)又在某已又在某已知曲线上知曲线上,则可先列出关于则可先列出关于x,y,x0,y0的方程组的方程组,利用利用x,y表示出表示出x0,y0把把x0,y0代入已知曲线方程便代入已知曲线方程便得动点得动点M的轨迹方程的轨迹方程.这种求轨迹这种求轨迹方程的方法叫方程的方法叫“相关点法相关点法”。P M A xoy变式训练变式训练2 2动画演示动画演示答案答案:(x-6)2+y2=4 1.圆的一
8、般方程的定义及特点圆的一般方程的定义及特点3.用待定系数法，求圆的一般方程用待定系数法，求圆的一般方程 0402222FEDFEyDxyx 配配 方方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心圆心,半径半径)课堂小结课堂小结4.用相关点法，求点的轨迹方程用相关点法，求点的轨迹方程达标检测达标检测1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：（1）x2+y2-6x=0 (2)x2+y2+2by=0（3）x2+y2-2ax-2 ay+3a2=02.判断下列方程分别表示什么图形：（1）x2+y2=0 (2)x2+y2-2x+4y-6=0 (3)x2+y2+2ax-b2=03作业作业:课本课本P P124124 必做必做 A A组组1,21,2题题 选做选做 B B组组1 1题题
