1、 图形图形 符号语言符号语言 文字语言文字语言(读法读法)?A?aAa?A?aAa?AA?AA?b?a?AabA点在直线上点在直线上点不在直线上点不在直线上点在平面内点在平面内 点不在平面内点不在平面内 点、线、面的基本位置关系点、线、面的基本位置关系（1 1）符号表示：）符号表示：（2 2）集合关系：）集合关系：A、Aa、a线线 、a点点 、A面面 直线直线 交于点交于点a、b 图形图形 符号语言符号语言文字语言文字语言(读法读法)?aa?aa?a?AaAl平面平面 与与 相交于直线相交于直线l直线直线 在平面在平面 内内a直线直线 与平面与平面 无公共点无公共点a直线与直线与 平面平面 交
2、于点交于点aA返回平面几何中的平面几何中的“”“”“”在空间中仍适用在空间中仍适用公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平那么这条直线在此平面内面内.,Al BlABl且公理公理2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面.“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面”公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线有一条过该点的公共直线.A AB BC CAB,PlPl且 P且P P 不同在不同在一个平面
3、内的两条直线叫做一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线。没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面异面直线的定义异面直线的定义异面直线的画法异面直线的画法说明说明:画异面直线时画异面直线时,为了为了体现体现 它们不共面的特点。它们不共面的特点。常借常借 助一个或两个平面来衬托助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)a a与与b b是是相交相交直线直线a a与与b b是是平行平行直线直线a a与与b b是是异面异面直线直线a ab bM M答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能
4、相交，也可能平行。：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？a ab ba ab b思考思考异面直线的判定方法：异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线面内不经过该点的直线是异面直线已知已知：aBBAa ,直线直线AB和和a是异面直线是异面直线 aAB 按是否在按是否在同一平面内分同一平面内分同在一个平面内同在一个平面内相
5、交直线平行直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点有一个公共点:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无公共点无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行./a/b:abcc/bac即、为 直 线，则注：注：1.直线直线a，b，c 两两平行，可记为两两平行，可记为a/b/c.2.公理公理4所表述的性质，叫做所表述的性质，叫做空间平行线的传递性空间平行线的传递性.3.证明空间两直线平行证明空间两直线平行 的方法：的方法：(1)定义法：一要证两直线在同一平
6、面内；二要证两直线没有公共点定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法反证法)(2)公理法公理法平行公理平行公理ABCA1B1C1等角定理等角定理1:如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行分别对应平行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补.DD1EE1推论推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等相同，那么这两个角相等.等角定理等角定理等角定理等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理：空间中如果两个角的两边分别对
7、应平行，那么这两个角相等或互补。问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？如图所示，如图所示，a，b是两条是两条异面直线，异面直线，在空间中任选一点在空间中任选一点O，过过O点分别作点分别作 a,b的平行线的平行线 a和和 b,abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），（或直角），称为称为异面直线异面直线a，b所成的角所成的角.？任选任选Oa若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为90,则称它们互相垂直则称它们互相垂直.异面直线异面直线a与与b垂直也记作垂直也记作ab.平移平移两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角注注1:异面
8、直线异面直线a、b所成角，只与所成角，只与a、b的相互位置有关，的相互位置有关，而与点而与点O位置无位置无关关.一般常把点一般常把点O取在直线取在直线a或或b上上.abOa注注2:异面直线所成角的取值范围：异面直线所成角的取值范围：900注注3:求异面直线所所成角的步骤：求异面直线所所成角的步骤：一作、二证、三求解一作、二证、三求解 aa1b1O分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（直角）叫做两异面直线所成的角锐角（直角）叫做两异面直线所成的角为了简便，在求作异面直线所成的角时为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点点 常选在其常选在其中的一
9、条直线上中的一条直线上 (如线段的如线段的端点端点,线段的线段的中点中点等等)b aOABDCA1B1D1C1例例1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所所成的角？成的角？A1B和和B1C所成的角所成的角为为60ABGFHEDC例例2 如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求 (1)BE与与CG所成的角？所成的角？(2)FO与与BD所成的角？所成的角？解解:(1)如图如图:BFCG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 BE与与CG所成的角，所成的角，又又 BEF中中EBF=45 ，所以所以BE与与CG所
10、成的角是所成的角是45ooO连接连接HA、AF，依题意知依题意知O为为AH中点中点,HFO=30o(2)连接连接FH，所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HFBDHFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线 FO与与BD所成的角所成的角HD EA，EA FB HD FB=则则AH=HF=FA AFH为等边为等边 例例3如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2 (1)求求BC 和和EG 所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE 和和BG 所成的角是多少度所成的角是多少度?3232解答：解
11、答：(1)GFBC EGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF=45o(2)BFAE FBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG=60oABGFHEDC32322例例4如图，在长方体中，已知如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,AB=a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.3CBADA1B1C1D1aaa3三点共线的证明三点共线的证明如图所示，平面ABD平面BCD直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形求证：三直线BD、MQ、NP共点共点、共线和共面问题 分析先证两直线交于一点，再证该点在第三条直线上 证明四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，直线MQ、NP必相交于某一点O.O直线MQ，直线MQ平面ABD，O平面ABD.同理，O平面BCD，又平面ABD平面BCD直线BD，O直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点 规律总结由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上由公理3，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两个平面的公共点即可“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题
