1、1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词1.4 全称量词与存在量词我们学校为了迎接我们学校为了迎接10月月28号的秋季田径运动会号的秋季田径运动会,正在排练由正在排练由1000名学生参加的开幕名学生参加的开幕式团体操表演式团体操表演.这这1000名学生符合下列条件：名学生符合下列条件：（1）所有学生都来自高二年级；）所有学生都来自高二年级；（2）至少有）至少有30名学生来自高二一班；名学生来自高二一班；（3）每一个学生都有固定表演路线）每一个学生都有固定表演路线.这里，这里，“所有所有”，“至少有至少有”，“每一个每一个”等短语，在逻辑上称为等短语，在逻辑上称为量词量词.预习教材，回答下列问
2、题预习教材，回答下列问题:问题1：新课导入的引例中出现了“所有”、“每一个”等词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做 量词，用符号“”表示，含有 量词的命题，叫做 命题.全称全称全称 问题2：引例中用到了“至少有30名”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 量词。并用符号“”表示.含有 量词的命题叫做 命题（或存在命题）.存在特称 存在目目标标全称量词与全称命题全称量词与全称命题 1存在量词与特称命题存在量词与特称命题2怎样判断怎样判断全称命题的真假全称命题的真假3怎样判断怎样判断特称命题的真假特称命题的真假4 4(1)3x；(2)21x 是 整 数；(3)
3、3xx对 所 有 的，；(4)21xx对 任 意 一 个，是 整 数 例如，命题例如，命题(1)(1)：对任意的：对任意的n nZ Z ,2n+1,2n+1是奇数；是奇数；(2):(2):所有的正方形都是矩形。所有的正方形都是矩形。都是全称命题都是全称命题全称命题的一般形式：全称命题的一般形式：用符号可以简记为：用符号可以简记为：成立有中任意一个对)(,xpxM)(,xpMx 全称命题的真假全称命题的真假问题问题 1试判断以下命题试判断以下命题的真假的真假：(1)xR，x220；(2)xN，x41.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合MM中中的每
4、个元素的每个元素x x验证验证p p(x x)成立；但要判定全称命题是假命成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合题，只要能举出集合MM中的一个中的一个x x0 0，使得，使得p p(x x0 0)不成立不成立即可即可问题2 怎样判定一个全称命题的真假？怎样判定一个全称命题的真假？(2)(3)(1)(1)所有的素数是奇数所有的素数是奇数 ；反例反例：是素数，但不是奇数是素数，但不是奇数xx，xx对 每 一 个 无 理 数，也 是 无 理 数反例：反例：是无理数，但是无理数，但 是有理数是有理数2()2真命题真命题假命题假命题假命题假命题典例展示典例展示判断下列全称命题的真假：判断下列全称
5、命题的真假：(2)任何实数都有算术平方根；任何实数都有算术平方根；(1)每个指数函数都是单调函数；每个指数函数都是单调函数；反例：反例：-2是实数，但是实数，但-2没有算术平方根没有算术平方根真命题真命题假命题假命题存在量词 (3)(3)在在(1)(1)的基础上的基础上,用短语用短语“存在一个存在一个”对变量对变量x x的取值进行限定的取值进行限定,使使(3)(3)变成了可以判断真假的语句变成了可以判断真假的语句;不是不是是是 (4)(4)在在(2)(2)的基础上的基础上,用用“至少有一个至少有一个”对变量对变量x x的取值进行限定的取值进行限定,从而从而使使(4)(4)变成了可以判断真假的语
6、句变成了可以判断真假的语句.关系关系:(3)(4)特称命题 下列语句是命题吗下列语句是命题吗?(1)与与(3),(2)与与(4)之间有什么关系之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被能被2和和3整除整除;(3)存在一个存在一个xR,使使2x+1=3;(4)至少有一个至少有一个xZ,x能被能被2和和3整除整除.存在存在量词量词与特与特称命题称命题 定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。表示：特称命题表示：特称命题“存在存在MM中的一个中的一个x0,使使 p(x0)成立成立”可用符号简可用符号简记为记为 x0M,p(x0)
7、一.特称命题1.1.存在量词及表示存在量词及表示:表示：用符号表示：用符号“”表示表示定义：含有存在量词的命题,叫做特称命题.2.2.特称命题及表示：特称命题及表示：读作读作:“:“存在存在MM中的一个中的一个x0,使使 p(x0)成立成立”.例如例如:命题（命题（1）有的平行四边形是菱形）有的平行四边形是菱形;（2）有一个素数不是奇数）有一个素数不是奇数.都是特称命题.例2.设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题“x0 R,q(x0)”解解:存在存在实数实数x0,使使x0 2 2=x0 成立成立.至少有一个至少有一个x0 R,R,使使x0 2 2=x0 成立成立.对有些对有些实
8、数实数x0,使使x0 2=x0 成立成立.有一个有一个x0 R,R,使使x0 2 2=x0 成立成立.对某个对某个 x0 R,R,使使x0 2 2=x0 成立成立.典例展示典例展示 例例3 3 下列语句是不是全称或特称命题下列语句是不是全称或特称命题:(1)有一个有一个实数实数a,a不能取对数不能取对数(2)所有所有不等式的解集不等式的解集A,都是都是AR(3)三角函数都是周期函数吗三角函数都是周期函数吗?(4)有的有的向量方向不定向量方向不定特称命题特称命题全称命题全称命题不是命题不是命题特称命题特称命题 要判断特称命题要判断特称命题“x0M,p(x0)”是是真命题真命题，只需在集合只需在集
9、合M中找到中找到一个元素一个元素x0，使，使p(x0)成立成立即可即可.二.如何判断特称命题的真假方法:如果在集合如果在集合M中中,使使p(x0)成立成立的元素的元素 x0不存在不存在,那么这个特那么这个特称命题是称命题是假命题假命题.例例4 判断下列命题的真假判断下列命题的真假:(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y),都对应一点都对应一点P;(2)存在一个函数存在一个函数,既是偶函数又是奇函数既是偶函数又是奇函数;(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示每一条线段的长度都能用正有理数表示;(4)存在一个实数存在一个实数,使等式使等式x2+x+8=
10、0成立成立.(1)真真(2)真真(3)假假(4)假假 判断下列命题的真假判断下列命题的真假(1)(1),R,R,使使sin(sin(+)=sin)=sin+sin+sin(2)(2)x,yx,yZ,Z,使使3x-2y=103x-2y=10如:=0时,成立真真如:x=y=10时,成立真真1.1.全称命题全称命题“对对M M中任意一个中任意一个x,x,有有p(x)p(x)成立成立”,符号简记为：符号简记为：xM,p(x),xM,p(x),读作：对任意读作：对任意x x属于属于MM，有，有p(x)p(x)成立成立,含有全称量词的命题，叫做含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题.2.2.特称命题特称
11、命题“存在存在M M中的一个中的一个x x0 0,使使p(xp(x0 0)成立成立”，符号简记为：符号简记为：x x0 0M,p(xM,p(x0 0),),读作：读作：“存在一个存在一个x x0 0属于属于MM，使，使p(xp(x0 0)成立成立”含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做特称命题。特称命题。命题全称命题特称命题所有的xM，p(x)成立对一切xM，p(x)成立对每一个xM，p(x)成立任选一个xM，p(x)成立凡xM，都有p(x)成立存在x0M，使p(x0)成立至少有一个x0M，使p(x0)成立对有些x0M，使p(x0)成立对某个x0M，使p(x0)成立有一个x0M，使p
12、(x0)成立,()xMp x0,()0 xMp x表述方法3.3.同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：可能有不同的表述方法：1.4.3 含有一个量词的命题的否定1.4 全称量词与存在量词 通过复习和回顾否命题与命题的否定引入新课，由已知向未知过渡，本课系统地学习了与特称命题的否定，以及它们在求参数范围中的应用。以学生自主探究为主，学习与特称命题的否定，探究怎样利用含有一个量词的命题的否定求解参数范围问题。通过例1探讨全称命题的否定形式.通过例2探讨特称命题的否定形式，通过例3研究如何利用含有一个量词的命题的否定求解参数范
13、围问题。全称命题与特称命题的否定的本章的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。导入导入1:经过前几节课的学习，想想否命题与命题的否定的区经过前几节课的学习，想想否命题与命题的否定的区别？别？否命题否命题:是用否定条件也否定结论的方式构成新命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.命题的否定命题的否定:是逻辑联结词是逻辑联结词“非非”作用于判断作用于判断,只否定结论不否定条件只否定结论不否定条件.例如:命题“一个数的末位是0，则它可以被5整除”.否命题否命题:若一个数的末位不是若一个数的末位不是0 0，则它不可以被，则它不可以被
14、5 5整除；整除；命题的否定命题的否定:存在一个数的末位是存在一个数的末位是0 0，不可以被，不可以被5 5整除整除.导入导入2:判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；）每一个素数都是奇数；（3）xR,x22x10；（4）有些实数的绝对值是正数；）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；）某些平行四边形是菱形；（6）x0R,x0210.前三个命题都是全称命题，即具有前三个命题都是全称命题，即具有“xMxM，p p
15、（x x）”的形式；的形式；后三个命题都是特称命题，即后三个命题都是特称命题，即“x x0 0M M，p p（x x0 0）”的形式的形式.它们命题的否定又是怎么样的呢？它们命题的否定又是怎么样的呢？这就是我们这节课将要学习的内容这就是我们这节课将要学习的内容 .目目标标1特称命题的否定特称命题的否定2 含有一个量词的命题的否定的应用含有一个量词的命题的否定的应用3写出下列命题的否定：2(3)10 xxx，-2否定：并非所有的矩形都是平行四边形否定：并非所有的矩形都是平行四边形否定：并非每一个素数都是奇数，否定：并非每一个素数都是奇数，否定：并非任意的实数否定：并非任意的实数x x都使不等式都
16、使不等式 成立，成立，210 xx-2全称命题的否定全称命题的否定也就是说，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形存在一个矩形不是平行四边形.（1）所有的矩形都是平行四边形;(2)每一个素数都是奇数;也就是说，也就是说，存在一个素数不是奇数存在一个素数不是奇数.也就是说，也就是说，012,0200 xxRx(1)所 有 的 矩 形 都 是 平 行 四 边 形；(2)每 一 个 素 数 都 是 奇 数；存 在 一 个 矩 形 不 是 平 行 四 边 形 2(3)10 xxx，-2存 在 一 个 素 数 不 是 奇 数)(,xpMx 全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题012,0200
17、xxRx x0M,p(x0)例例1写出下列全称命题的否定：写出下列全称命题的否定：(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：的个位数字不等于：的个位数字不等于(1)p：所有能被整除的整数都是奇数；：所有能被整除的整数都是奇数；p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 p：存在一个能被整除的整数不是奇数：存在一个能被整除的整数不是奇数2xZx，典例展示典例展示 p：的个位数字等于：的个位数字等于200,xZx1.写出下列全称命题的否定：写出下列全称命题的否定：(2)任意素数都是奇数；任意素数都是奇数；(3)每个指数函数都是单调函
18、数每个指数函数都是单调函数存在一个素数，它不是奇数存在一个素数，它不是奇数存在一个指数函数，它不是单调函数存在一个指数函数，它不是单调函数nZnQ，；QnZn00,写出下列命题的否定：写出下列命题的否定：2(3)10 xx，否定：不存在绝对值是正数的实数，否定：不存在绝对值是正数的实数，否定：没有一个平行四边形是菱形，否定：没有一个平行四边形是菱形，否定：不存在实数否定：不存在实数x使不等式使不等式 成立，成立，210，也 就 是 说，xRx210 x特称命题的否定特称命题的否定(1)(1)有些实数的绝对值是正数；有些实数的绝对值是正数；（2 2）某些平行四边形是菱形；）某些平行四边形是菱形；
19、也就是说，也就是说，任意一个平行四边形都不是菱形。任意一个平行四边形都不是菱形。也就是说，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数。所有实数的绝对值都不是正数。(2)某 些 平 行 四 边 形 是 菱 形；所 有 实 数 的 绝 对 值 都 不 是 正 数 任 意 一 个 平 行 四 边 形 都 不 是 菱 形(1)有 些 实 数 的 绝 对 值 是 正 数；,()xMp x,()xMp x特称命题的否定是全称命题特称命题的否定是全称命题2(3)10 xx，210 xRx，(2)p：有一个素数含三个正因数；：有一个素数含三个正因数；(3)p：(1)p：有的三角形是等边三角形：有的三角形是等边三角形
20、；p：每一个素数都不含三个正因数：每一个素数都不含三个正因数p：p：所有的三角形都不是等边三角形：所有的三角形都不是等边三角形2220 xRxx，2220 xRxx，所有梯形都不是等腰梯形所有梯形都不是等腰梯形所有实数的绝对值都是正数所有实数的绝对值都是正数2.写出下列特称命题的否定：写出下列特称命题的否定：(2)有些梯形是等腰梯形；有些梯形是等腰梯形；(3)存在一个实数，它的绝对值不是正数存在一个实数，它的绝对值不是正数所有三角形都不是直角三角形所有三角形都不是直角三角形例3.已知命题p(x):sinx+cosxm,q(x):x2+mx+10.如果对于xR,p(x)为假命题且q(x)为真命题
21、,求实数m的取值范围.【解题探究】题中p(x)为假命题,一般应如何转化?探究提示:1.特称命题是假命题,其否定是真命题.2.当含有一个量词的命题是假命题时,一般利用它与其否定命题的真假相反,即利用其否定为真命题转化解决.含有一个量词的命题的否定的应用含有一个量词的命题的否定的应用 解：由于命题p(x):对xR,sinx+cosxm是假命题,则p(x):x0R,sinx0+cosx0m是真命题,sinx+cosx=sin(x+)-,m-即可.由于q(x):xR,x2+mx+10为真命题,即对于xR,x2+mx+10恒成立,有=m2-40,-2m2.依题意,得-m2.所以实数m的取值范围是m|-m
22、f(xM,af(x0 0)()(或或af(xaf(x)af(x)minmin(或或af(x)af(x)(xM,af(x)(或或af(x)”af(x)af(x)maxmax(或或af(x)af(x)minmin).).(3)(3)若全称命题为假命题若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题通常转化为其否定命题特称命题为真命题解决特称命题为真命题解决,同理同理,若特称命题为假命题若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题通常转化为其否定命题全称命题为真命题解决全称命题为真命题解决.答案：答案：B B例4.已知命题p:xR,2x0,+2x+20,p p为真命题为真命题.(2)q:(2)q:xR,xxR,
23、x3 3+10.+10.当当x=-1x=-1时时,有有x x3 3+1=0 +1=0 q q是假命题是假命题.(3)r:(3)r:所有的三角形不是锐角三角形所有的三角形不是锐角三角形.r r为假命题为假命题.2.写出下列特称命题的否定,并判断其真假.(1)p:xR,x2+2x+20;(2)q:至少有一个实数x,使x3+1=0;(3)r:有些三角形是锐角三角形.”。”的否定为“”的否定为“一般地，我们有：)(,)(,)(,)(,xpMxxpMxxpMxxpMx含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题全称量词全称量词否定否定特称命题特称命题 特称命题特称命题存在量词存在量词 全称命题全称命题 全称命题全称命题课后练习课后习题
