1、三 简单曲线的极坐标方程第一讲 坐标系 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点；自极点自极点O引一条射线引一条射线Ox，叫做，叫做极轴极轴；再；再选定一个长度单位、一个角度单位（通选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个方向），这样就建立了一个极坐标系极坐标系.复习回顾复习回顾1.极坐标系的概念极坐标系的概念),(M Ox 设设M是平面内一点，极点是平面内一点，极点O与点与点M的的距离距离|OM|叫做点叫做点M的的极径极径，记为，记为；以极以极轴轴Ox为始边，射线为始边，射线OM为终边的角
2、为终边的角xOM叫做点叫做点M的的极角极角，记为，记为.有序实数对有序实数对(,)叫做点叫做点M的极坐标，记作的极坐标，记作M(,).1.极坐标系的概念极坐标系的概念),(M Ox 一般地，不作特殊一般地，不作特殊说明时，我们认为说明时，我们认为 0，可取任意实数可取任意实数.复习回顾复习回顾.sin,cos yxNxxyMO y2.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化)0(tan,222 xxyyx 复习回顾复习回顾问题探究问题探究 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为C(a,0)(a0).你能用一个等式表示圆上你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标任意一点的极
3、坐标(,)满足的条件吗？满足的条件吗？M(,)C(a,0)xAxM(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为C(a,0)(a0).你能用一个等式表示圆上你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标任意一点的极坐标(,)满足的条件吗？满足的条件吗？圆经过极点圆经过极点O.设圆和极轴的另一个设圆和极轴的另一个交点是交点是A，那么，那么|OA|2a.设设M(,)为圆上为圆上除点除点O，A以外的任意一点，则以外的任意一点，则OMAM.Ax M(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程 圆经过极点圆经过极点O.设圆和极轴的另一个设
4、圆和极轴的另一个交点是交点是A，那么，那么|OA|2a.设设M(,)为圆上为圆上除点除点O，A以外的任意一点，则以外的任意一点，则OMAM.在在RtAMO中，中，Ax M(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程|OM|OA|cosMOA,2acos 即即 一般地，在极坐标系中，如果平面一般地，在极坐标系中，如果平面曲线曲线C上任意一点的极坐标中至少有一上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程个满足方程f(,)0，并且坐标适合方，并且坐标适合方程程f(,)0的点都在曲线的点都在曲线C上，那么方程上，那么方程f(,)0叫做曲线叫做曲线C的的极坐标方程极坐标方程.Ax M(,)C(a,0)
5、O1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程Ax M(,)C(a,0)O1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程 2acos 就是圆心在就是圆心在C(a,0)(a0)，半径为，半径为a的极坐标方程的极坐标方程.例例1.已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎样的，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？简单？r例例1.已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎样的，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？简单？rx OM问题探究问题探究 如图，直线如图，直线l经过极点，从极轴到经过极点，从极轴到直线直线l的角是的角是 ，求直线，求直线
6、l的极坐标的极坐标方程方程.4 MOx4 2.直线的极坐标方程直线的极坐标方程MOx4 45 M射线射线OM的极坐标方程是的极坐标方程是)0(4 射线射线OM的极坐标方程是的极坐标方程是)0(45 因此，直线因此，直线l的方程可以用的方程可以用)(454R 和和表示表示.2.直线的极坐标方程直线的极坐标方程MOx4 45 M 若若 0，则，则 0，我们规定，我们规定点点M(,)与点与点P(,)关于极点对称关于极点对称.例例2.求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴，且垂直于极轴的直线的直线l的极坐标方程的极坐标方程.课堂练习课堂练习1.说明下列极坐标方程表示什么曲线，说明下列极坐标方程
7、表示什么曲线，并画图并画图.sin2)3();(65)2(;5)1(R课堂练习课堂练习2.在坐标系中，求适合下列条件的直线在坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程或圆的极坐标方程.)23,()2(;)3(2,)1(的的圆圆，半半径径为为圆圆心心在在线线，并并且且和和极极轴轴垂垂直直的的直直过过点点aa 例例3.把下列极坐标方程化为直角坐标把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状方程，并判断图形的形状.5sin3cos2)4(;4)3();cos(sin9)2();0(cos2)1(aa课堂练习课堂练习1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程把下列直角坐标方程化为极坐标方程.16)2(;02)1(22 yxy课堂练习课堂练习2.把下列极坐标方程化为直角坐标方程把下列极坐标方程化为直角坐标方程.cos10 )2(;04)sin5(2cos )1(课后作业课后作业第第2题第题第(1)、(3)；第第3题第题第(1)、(3)；第第4题第题第(1)、(3).教材教材P.15习题习题1.3
