1、一、比较法一、比较法2233,1abbabababa 求求证证且且都都是是实实数数已已知知例例)()()()(:32232233babbaaabbaba 证证明明)()()(2222babababbaa 2)(baba 0,0,baba0)(2 baba又又0)()(0)(22332 abbabababa即即故故2233abbaba (1)作差比较法作差比较法.,2并并给给出出证证明明问问题题将将这这个个事事实实抽抽象象为为数数学学增增加加到到此此时时溶溶液液的的浓浓度度白白糖糖若若在在上上述述溶溶液液中中再再添添加加则则其其浓浓度度为为糖糖溶溶液液白白糖糖制制出出如如果果用用例例mbmamk
2、gbabkgakg bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:下面给出证明下面给出证明)()(mbbabmbambma 0)(,0)(,0 mbbabmmbaabab都都是是正正数数又又 bambmabambmambbabm 0 0)()(即即.,3等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当求求证证是是正正数数已已知知例例babababaabba baabbaabbabab
3、ababa :证证明明.,1,0,1,0),(等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则不不妨妨设设不不等等式式不不变变的的位位置置交交换换点点根根据据要要证证的的不不等等式式的的特特bababababababa .,等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当bababaabba (2)作商比较法作商比较法3)(,:cbacbaabccbaRcba 则则若若求求证证变变式式引引申申aaaaa)1(log)1(log:,2:求求证证已已知知补补充充例例题题bnamnbmanmnmba 试试证证明明且且都都是是正正实实数数若若补补充充练练习习,1,:补充练习补充练习:dcDdbcaCdbcaBdcdbca
4、dbcabaadbcdcba.22.baA.)(,22,.1 中中最最大大的的是是则则且且都都是是正正数数已已知知D不不能能确确定定的的大大小小关关系系是是与与则则且且若若.1.1.qA.1)(1,1,0.2nmDqqqCqqqBqqqqqNnmqqnmnmnmnmnmnmnm A 不不能能确确定定的的大大小小关关系系为为与与则则中中和和等等差差数数列列在在等等比比数数列列D.baC,bB.a bA.a)(,0,0,.35555 5555313311 baaabababannAabDabCbaBbabbaabbaba2.2.A.a)(2,2,10.42222 中中最最大大的的值值是是则则设设B
5、_,42,5.5222满满足足的的条条件件为为则则实实数数若若设设baQPaaabQbaP 21 abab或或_,),(log),log(log21,2log,10.621212121的的大大小小关关系系是是则则若若MQPbaMbaQbaPba QPM二、综合法与分析法二、综合法与分析法(1)综合法综合法在不等式的证明中在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发出发,通过逻辑推理通过逻辑推理,推导出所要证明的结论推导出所要证明的结论.这种从已知条件出发这种从已知条件出发,利用定义、利用定义、公理、定理、性质等公理、定理、性
6、质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明这种证明方法叫做方法叫做综合法综合法.又叫又叫顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系)()(21结结论论必必要要条条件件逐逐步步推推演演不不等等式式成成立立的的已已知知BBBBAnabcbacacbcbacba6)()()(,0,1222222 求求证证且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb2)(,0,2 :2222 证证明明abcacbbacac2)(,0,2 2222 abcbaccabba2)(,0,2 2222 abcbac
7、acbcbacba6)()()(,222222 把把它它们们相相加加得得取取等等号号少少有有一一个个不不所所以以上上述述三三个个式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于nnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,a,221n21n21 求求证证且且已已知知例例.1,21,122)1()1)(1(,21,21,21,:21.21212122111时时取取等等号号所所以以原原式式在在取取等等号号时时得得由由不不等等式式的的性性质质同同理理证证明明 niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,2
8、222222 ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它它的的变变形形形形式式又又有有它它的的变变形形形形式式又又有有常常用用的的不不等等式式有有不不等等式式的的使使用用应应注注意意对对已已证证时时利利用用综综合合法法证证明明不不等等式式(2)分析法分析法从要证的结论出发从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出从而得出要证的命题成立要证的命题成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析法分
9、析法.这是一种这是一种执果索因执果索因的思考和证的思考和证明方法明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证明不等式的逻辑关系知知成成立立的的充充分分条条件件论论已已步步步步寻寻求求不不等等式式结结 )(21ABBBBn用分析法证用分析法证“若若A则则B”这个命题的模式是这个命题的模式是:为了证明命题为了证明命题B为真为真,只需证明命题只需证明命题B1为真为真,从而有从而有只需证明命题只需证明命题B2为真为真,从而有从而有 只需证明命题只需证明命题A为真为真.而已知而已知A为真为真,故故B必真必真.6372 3 求求证证例例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63(
10、)72(,6372,6372 :22成成立立所所以以成成立立只只需需证证只只需需证证展展开开得得只只需需证证所所以以要要证证都都是是正正数数和和证证明明 abccbaaccbbacba 222222,0,4求求证证已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(:可可以以考考虑虑用用右右边边各各项项涉涉及及三三个个字字母母平平方方之之积积左左边边各各项项是是两两个个字字母母的的观观察察上上式式要要证证的的不不等等式式可可化化为为分分析析abccbaaccbbacba 222222,0,4求求证证已已知知例例abccbaaccbbacbacbacbacbaabca
11、ccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb 222222222222222222222222222222222222222222,01,0,0,)(222)(22)(,0,22)(,0,22)(,0,2 :故故又又证证明明三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条件结合已知条件,应用公理应用公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得到和命题的条件得到和命题的条件(或已证明的定理或已证明的定理,性质性质,明显成
12、立的事实等明显成立的事实等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明明.21,1,2,0,1中中至至少少有有一一个个小小于于试试证证且且已已知知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中中至至少少有有一一个个小小于于与与矛矛盾盾这这与与已已知知条条件件且且即即都都不不小小于于假假设设证证明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 0.c0,b0,a:0,a
13、bc0,cabcab0,cba,2 求求证证为为实实数数已已知知例例cba.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,:所所以以原原命命题题成成立立同同理理可可证证综综上上所所述述也也不不可可能能相相矛矛盾盾这这和和已已知知于于是是又又可可得得那那么么由由如如果果不不可可能能矛矛盾盾与与则则如如果果两两种种情情况况讨讨论论和和下下面面分分不不妨妨先先设设正正数数即即其其中中至至少少有有一一个个不不是是不不全全是是正正数数假假设设证证明明 cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba反证法主要适用于以下
14、两种情形反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索直接由条件推出结论的线索不够清晰不够清晰;(2)如果从正面证明如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明明,只研究一种或很少的几种情形只研究一种或很少的几种情形.(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式
15、中的项得到简化而有利于代数变形于代数变形,从而达到证明的目的从而达到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性因而放缩法具有较在原灵活性;另外另外,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当关键是放、缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放因此放缩法是技巧性较强的一种证法缩法是技巧性较强的一种证法.21,3 caddbdccacbbdbaaRdcba求求证证已已知知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba ,0,:证证明
16、明baa bab dcc dcd 21 .caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把把以以上上四四个个不不等等式式相相加加.111,4bbaabababa 求求证证是是实实数数已已知知例例.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 证证明明补充例题补充例题:mccmbbmaamcbaABC :,.1求求证证为为正正数数且且的的三三边边长长是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(
17、.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函数数在在易易知知设设函函数数证证明明)(23,.2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求证证不不全全为为零零已已知知实实数数22 )2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx：证证明明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所所以以三三式式相相加加得得式式取取不不到到等等号号故故上上述述三三式式中中至至少少有有一一不不全全为为零零由由于于)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 NkkkkkkkkkkkkkkaaBCCACA且且以以上上如如缩缩应应用用基基本本不不等等式式进进行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或缩缩小小分分一一些些项项或或加加进进舍舍掉掉放放缩缩技技巧巧有有常常用用的的后后证证即即放放大大成成如如将将中中间间量量寻寻找找一一个个一一边边放放大大或或缩缩小小放放缩缩法法就就是是将将不不等等式式的的
