1、 这一结论虽很简单这一结论虽很简单,却是我们推导或证明不等式的基础却是我们推导或证明不等式的基础.基本不等式基本不等式2 22 2如如 果果 a a，b b R R，那那 么么 a a+b b 2 2a ab b，当当 且且 仅仅 当当 a a=b b时时 等等定定 理理 1 1：号号 成成 立立。aabbb几何解释几何解释（基基 本本 不不 等等 式式）a a+b b 如如 果果 a a，b b0 0，那那 么么a ab b，2 2 当当 且且 仅仅 当当 a a=b b时时 等等定定 理理 2 2：号号 成成 立立。算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何解释几何解释OabDabACB
2、 可以用来求最值可以用来求最值(积定和小积定和小，和定积大和定积大)注意注意:利用算术平均数和集合平均利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件数定理时一定要注意定理的条件:一正一正;二定二定;三相等三相等.有一个条件达不有一个条件达不到就不能取得最值到就不能取得最值.1.1.已知：已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+
3、1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；00 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x）2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法配凑成和成定值配凑成和成定值2.2.已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中
4、取“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：解：解：2.2.已知正数已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值正解：正解：223 当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而222221yx即此时即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23“1”代换法代换法特别警示特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，
5、则要考虑多次最值，则要考虑多次“”（或者（或者“”）中取）中取“=”成立的诸条件是否相容。成立的诸条件是否相容。且 练习、已知练习、已知 Ryxba,1ybxa，求yx 的最小值解：yx yxbxaybaybxayxyx)(1)(2)(2bayxbxayba当且仅当 yxbxay即 bayx时 2()xyab取 最 小 值书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3,.,3abca bcRabcabc若那么当且仅当
6、时，等号成立。定理定理3语言表述语言表述：三个正数的算术平均不小于它三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。们的几何平均。推论推论:),(33Rcbaabccba33abccba.,等号成立时当且仅当cba为定值时abc)1(为定值时cba)2(3)3(cbaabc.,等号成立时当且仅当cba关于关于“平均数平均数”的概念：的概念：1如果*12,1naaaRnnN且 则：naaan21 叫做这叫做这n个正数的个正数的算术平均数。算术平均数。nnaaa21叫做这叫做这n个正数的个正数的几何平均数几何平均数。2.基本不等式：基本不等式：naaan21 nnaaa21niRaNni1,*语言表述语言
7、表述：n n个正数的算术平均数不小于它们个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当的几何平均数，当且仅当1 1a a2 2=a=an n时，等号成立时，等号成立推广推广27Rxyz+3例1、已知x，y，z，求证：（x+y+z）。33xyzxyz证明：因为，327xyz所以（x+y+z）例例:.)1(,10)1(2的最大值求函数时当xxyx解解:,10 x,01x.274,32,12maxyxxx时当274)3122(43xxx)1(224)1(2xxxxxy构造三个构造三个数相数相 加加等于定值等于定值.)1(,10)2(2的最大值求函数时当xxyx练习练习:解解:,10 x,012x
8、得由),1(2xxy2222)1(xxy)1)(1(221222xxx274)3112(213222xxx.392,274,33,12maxmax222yyxxx时当构造三个数构造三个数相相 加等于加等于定值定值.例将一块边长为例将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？大容积是多少？解解:设剪去的小正方形的边长为设剪去的小正方形的边长为xx)20(,)2(2axxaxV则其容积为则其容
9、积为:)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax时当且仅当.272,63aa积是合的最大容铁时长为小正方形边即当剪去的axa22 21 1例例 4 4 求求 函函 数数 y y=x x(1 1-5 5 x x)(0 0 x x)的的 最最 值值。5 52 23 3mm a a x x5 52 25 52 2解解：y y=x x(-2 2 x x)=x xx x(-2 2 x x),2 25 52 25 51 12 2 0 0 x x,-2 2 x x 0 0,5 55 52 2x x+x x+(-2 2 x x)5 54 45
10、 5 y y =.2 23 36 6 7 7 5 52 22 24 4当当 且且 仅仅 当当 x x=x x=-2 2 x x，即即 x x=时时，y y=.5 51 1 5 56 6 7 7 5 5232,(0).yxxx求 函 数的 最 小 值练习练习:3 33 32 22 22 24 43 3x x2 2x x1 12 2x x3 3x x2 2x x1 12 2x xx x3 32 2x xy y解解:3min43y(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)正解正解:3 33 33 32 22 22 23 36 62 23 32 29 93 32 2x x3 32 2x x3 32
11、 2x x3 32 2x x3 32 2x x3 32 2x xx x3 32 2x xy y.3 36 62 23 3y y时时,2 23 3x x,2 2x x3 3当当且且仅仅当当2 2x x3 3mmi in n2 2练习：练习：是锐角，求是锐角，求y=sincos2的最大值。的最大值。可以看到可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。几何背景在问题解决中有其独特的魅力。OAx关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离.1z2z12zz 2z2z12zz 推论推论练习练习a b ab a b ab
12、 由这个图，你还能发现什么结论？由这个图，你还能发现什么结论？ba ba ba 1、|a+b|-|a-b|2|a|a+b|+|a-b|a+b|-|a-b|2|b|a+b|+|a-b|2.已知已知|a-c|1,求证求证|a|c|+1提示：提示：|a|=|a-c+c|a-c|+|c|1+|c|,1.,36923xyzxyz求 证例已 知证明：证明：|x+2y3z|x|2y|3z|=|x|2|y|3|z|x|，|y|，|z|369|x|2|y|3|z|93623|x2y3z|求证求证.变变1 1 已知，已知，MyabyMax,0,20,2 abxy证明：byaaxyabyayaxyabxy.22aa
13、MMbyaaxy 求求 的最小值。的最小值。1xxy31解：解：法三：利用三角形不等式法三：利用三角形不等式34131131xxxxy34min y变变2:2:练习解决引例练习解决引例例例2:已知二次函数已知二次函数 ，若若 ，证明：，证明：Rcbacbxaxxf,2 11,30,11fff 1237,1xfx时当证明：因为证明：因为 cbafcfcbaf1,0,1 0,121121,0121121fcffbfffa 012112101211212fxffxfffxf 01112111212fxfxxfxx 0111211121|2fxfxxfxxxf331312112122xxxxxxx12
14、3712376132x所以所以例例4 设设 ，函数，函数1|a)11()(2xaxaxxf证明：证明：45|)(|xf证证：|)1(|)(|2xxaxf|)1(|2xxa|1|2xx|12xx 45)21|(|2x45所以所以45|)(|xf利用利用 在条件不等式证明中比较常用在条件不等式证明中比较常用|baba0-1不等式不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于1的点的集合的点的集合.1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1探索：不等式探索：不等式|x|1的解集的解集.方法一：方法一：利用绝对值的利用绝对值的几何意义几何意义观察观察当当x0时，
15、原不等式可化为时，原不等式可化为x1当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1，即，即x1 0 x1 1x0综合得，原不等式的解集为综合得，原不等式的解集为x|1x1方法二方法二:利用利用绝对值的定义绝对值的定义去掉绝对值符号去掉绝对值符号,需要需要分类讨论分类讨论探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x21即即 x210即即(x+1)(x1)0即即1x1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法三：方法三：两边同时两边同时平方去掉绝对值平方去掉绝对值符号符号.从函数观点看，不等式从函数观点看，不等式|x|1的解集表
16、示函数的解集表示函数y=|x|的图象位于函数的图象位于函数y=1的的图象下方的部分对应的图象下方的部分对应的x的取值范围的取值范围.oxy111y=1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法四：方法四：利用利用函数图象函数图象观察观察一般地，可得解集规律一般地，可得解集规律:形如形如|x|a 的含绝对值的不等式的解集的含绝对值的不等式的解集:不等式不等式|x|a的解集为的解集为x|-axa的解集为的解集为x|xa 0-aa0-aa(1)|32|7x 2(2)|3|4xx 1.试解下列不等式：试解下列不等式：课堂练习：课堂练习：2.2.解不等式：解不等式：392xx解：解
17、：原不等式原不等式 或或 390922xxx390922xxx4333xxx或或或2333xxx或433xx或或或32 x原不等式的解集是原不等式的解集是 342xxx或另解：另解：39)3(3922xxxxx0601222xxxx2343xxx或原不等式的解集是原不等式的解集是 342xxx或342xx或3.3.解不等式解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5解：解：当当x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于x2 2x-211-(-(x-1)+(-1)+(x+2)+2)5 5x-2 21 1x-3-3x 综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为23x xx或或3 3当当x
18、-21)1)-(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 (-2+2)-5 (-2x1)1)-(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 (+2)-5 (x-2)1)1)-2 (-2-2 (-2x1)1)-2-2x-6 (-6 (x-2)-2)令令f(x)=|)=|x-1|+|-1|+|x+2|-5,+2|-5,则则-3-31 12 2-2-2-2-2xy由图象知不等式的解集为由图象知不等式的解集为23x xx或或f(x)=)=方法二：方法二：通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想思想方法小结方法小结3.3.试解不等式试解不等式|x-1
19、|+|-1|+|x+2|5+2|5方法三：方法三：利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想-2-21 12 2-3-3解解:|:|x-1|+|-1|+|x+2|=5+2|=5的解为的解为x=-3=-3或或x=2=2所以原所以原不等式不等式的解为的解为 23x xx 或或方法小结方法小结1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|22时，原不等式可化为时，原不等式可化为x223 3当当x-3-3时，原不等式可化为时，原不等式可化为2 2当当-3-3x2 2时，原不等式可化为时，原不等式可化为x-3-3-(2-(2x-4)+
20、(3-4)+(3x+9)1+9)1(2(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)22-(2-(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)1x-3 32 2x-13-13x6 62 25 5综上所述综上所述,原不等式的解集为原不等式的解集为6135x xx 或或3.3.不等式不等式 有解的条件是有解的条件是()()1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|143xxa()1B a ()1D a 1()10Ca 1()010AaB B4|2|12|)2(xx解（解（2）原不等式等价于：原不等式等价于：421221xxx4212221xxx或或42122xxx或
21、或解之得解之得 或或 或或 1x21 x2x所以原不等式的解：所以原不等式的解：11|xxx或)2(13)221(3)21(13|2|12|)(xxxxxxxxxf35YX0y=41-12.5221练习练习:（2003年全国）已知年全国）已知0c，设，设P：函数：函数xcy 在在R上递减，上递减，Q：不等式：不等式 的解集为的解集为R，如果如果P与与Q有且仅有一个正确，求有且仅有一个正确，求 c 范围。范围。1|2|cxxxcy 解：函数解：函数 在在R上递减，则上递减，则 10 c|2|)(cxxxf记记)2(2)2(22cxccxcxc2c20 xyy=1由于由于 的最小值为的最小值为 2
22、c)(xf不等式不等式 的解集为的解集为R 1|2|cxx12c所以所以P正确时：正确时：21c；Q正确时：正确时：10 coo01o0.5满足条件的满足条件的 c 取值范围是：取值范围是：,15.0,0例例2已知函数已知函数)(|)(Raaxxxf（1）判断）判断 的奇偶性；的奇偶性；)(xf（2）解关于）解关于x 的不等式的不等式22)(axf解（解（1）当）当a=0 时，时，),(|)(xfxxxxxf)(xf是奇函数是奇函数 当当 时，时，0a,0|2)(,0)(aaafaf)(xf是非奇非偶函数是非奇非偶函数（2）02022|22222aaxxaxaaxxaxaaxx或0)(2(axaxaxx或当当a=0 时时，0 x当当 时，时，0aax2当当 时，时，0aax综上所述：综上所述：axxaxfaaxxaxfa|:2)(,0;2|:2)(,022的解集为时的解集为时
