1、数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式选修选修 4-5*21111(2,)2322nnnnN ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到得到一般结论的推理方一般结论的推理方法法考察考察部分部分对象对象,得到一得到一般结论的推理方法般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法归纳法归纳法2.3数学归纳法数学归纳法(1)多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 “多米诺骨牌多米诺骨牌”全部倒下的原理全部倒下的原理 使使“多米
2、诺骨牌多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：全部倒下的两个条件：第一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下 两个条件的作用：两个条件的作用：条件：奠基；条件：递推关系条件：奠基；条件：递推关系 利用利用“多米诺骨牌多米诺骨牌”原理证明这个数学猜想原理证明这个数学猜想 （经历利用合情推理提出猜想（经历利用合情推理提出猜想 逻辑推理进行证明）逻辑推理进行证明）二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证明某些与自然数有关的数学命题证明某些与自然数有关的数学命题,可用下列方法来证明它们的正可用下列方法来证明它们的正确性确性
3、:(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N*，k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立。都成立。这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命题成时命题成立立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+
4、1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所有正整开始的所有正整数数n n都成立。都成立。数学归纳法的原理：数学归纳法的原理：（归纳奠基（归纳奠基）：命题对）：命题对n=n0成立成立(n0为使猜想成立的最小的为使猜想成立的最小的正整数正整数)；（归纳递推）：命题若对（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对成立，则对k1也成立也成立（kn0）普遍存在的问题：普遍存在的问题：为什么第二步能在假设下进行证明？为什么第二步能在假设下进行证明？第二步实际上是证明一个命题：第二步实际上是证明一个命题：“假设假设n=kn=k（knkn0 0）时命）时命题成立，证明当题成立，证明当n
5、=kn=k1 1时命题也成立时命题也成立”其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递.0nn验 证时命 题 成 立01nkknnk若时 命 题 成 立证 明时 命 题 也 成 立 归 纳 奠 基：归 纳 递 推0nn命 题 对 从开 始 所 有的 正 整 数都 成 立框图表示框图表示如下证明对吗？如下证明对吗？第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明.证明证明:当当n=1时时,左边左边1，右边，右边121 n=1时时,命题成立命题成立.设设n=k时时,有有即即n=k+1时，命题
6、成立时，命题成立.2(1).k 根据问可知，对根据问可知，对nN*，等式成立，等式成立.证明证明:1+3+5+(2n 1)=n2.1：用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2 证明证明:(1)当当n=1时时 左左1，右，右121 n=1时，等式成立时，等式成立(2)假设假设n=k(kN(kN*,k1),k1)时，等式成立，时，等式成立，即即 1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时 左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1 =k2+2k+1=(k+1)2=右右 即即n=k+1时命题成立时命题成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N
7、*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据2.2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明【分析分析】(1)第一步应做什么第一步应做什么?本题的本题的n0应取多少应取多少?n0=1,（2）在证传递性时，假设什么？求证什么）在证传递性时，假设什么？求证什么?假设假设1+3+5+.+（2k-1）=k2求证求证1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)2（3）怎样将假设）怎样将假设1+3+5+.+（2k-1）=k2推理变形为推理变形为1+3+5十十.十十(2k-1)十十(2k+1)=(k+1)2课堂练习课堂练习CB用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题？用数学归纳法证明整除问
8、题用数学归纳法证明整除问题数学归纳法证题的关键是数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论一凑假设，二凑结论”，在证题的过，在证题的过程中，归纳假设一定要起到条件的作用，即证明程中，归纳假设一定要起到条件的作用，即证明n=k+1成立时必须成立时必须用到归纳假设这一条件用到归纳假设这一条件.1*5231()8.nnnAnN 练练 习习：用用 数数 学学 归归 纳纳 法法 证证 明明：能能 被被整整 除除特别提示特别提示:1*5231()8.nnnAnN 练练 习习：用用 数数 学学 归归 纳纳 法法 证证 明明：能能 被被整整 除除用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题特别提示特别提示
9、:用数学归纳法证几何问题，应特别注意语言叙述正确，清楚，一用数学归纳法证几何问题，应特别注意语言叙述正确，清楚，一定要讲清从定要讲清从n=k到到n=k+1时，新增加量是多少时，新增加量是多少.一般地，证明第二一般地，证明第二步常用的方法是加一法，即在原来的基础上，再增加一个，也可步常用的方法是加一法，即在原来的基础上，再增加一个，也可以从以从k+1个中分出一个来，剩下的个中分出一个来，剩下的k个利用假设个利用假设.平面内有n(n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：它们的交点的个数为f(n).证明：(1)当n2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)2(21)1，因此，当n2
10、时，命题成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)k(k1)现在来考虑平面内有k1条直线的情况任取其中的一条直线，记为l(如下图所示)由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个数为f(k)k(k1)另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的 k(k1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是 k(k1)k k(k1)2 (k1)(k1)1这就是说，当nk1时，k1条直线的交点个数为f(k1)(k1)
11、(k1)1根据(1)、(2)可知命题对任何大于2的正整数都成立22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk222222(1)(1)12(1)11234(1)6kkkkk目标：证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边,等式显然成立。等式显然成立。2 2 证明：证明：递推基础递推基础递推依据递推依据假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+
12、1时时,等式也成立。等式也成立。根据和，可知对任何根据和，可知对任何n n N N*等式都成立。等式都成立。4用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：当当n为正奇数时，为正奇数时，xnyn能被能被xy整除整除证明：证明：(1)当当n1时，时，xy能被能被xy整除整除(2)假设假设n2k1时，时，x2k1y2k1能被能被xy整除，当整除，当n2k1时，时，x2k1y2k1x2k1y2k1x2y2k1x2y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(xy)(xy)，根据归纳假设根据归纳假设x2k1y2k1能被能被xy整除，另一项有因式整除，另一项有因式xy，因此也能被因此也能被xy整除，整除，所以，当所以
13、，当n2k1时，命题仍然成立时，命题仍然成立根据根据(1)(2)可知当可知当n为正奇数时，为正奇数时，xnyn能被能被xy整除整除.通一类通一类4求证：求证：n3(n1)3(n2)3能被能被9整除整除证明：证明：(1)当当n1时，时，13(11)3(12)336，能被，能被9整除，命题成立整除，命题成立(2)假设假设nk时，命题成立，即时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被能被9整除整除当当nk1时，时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由归纳假设，上式中由归纳假设，上式中k3(k1)3(k2)3能被能被9整
14、除，又整除，又9(k23k3)也能被也能被9整除整除故故nk1时命题也成立时命题也成立由由(1)(2)可知，对任意可知，对任意nN*命题成立命题成立.补充练习补充练习 1数学归纳法的概念数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数的所有正整数n都成立时，可以用都成立时，可以用以下两个步骤：以下两个步骤：(1)证明当证明当 时命题成立；时命题成立；(2)假设当假设当 时命题成立，证明时命题成立，证明 时命题也成立时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法这种证明方法称为数学归纳法nn0nk1nk(kN，且，且kn0)2数学归纳法的基本过程数学归纳法的基本过程
