1、选修选修4-1 4-1 几何证明选讲几何证明选讲第一节 相似三角形的判定 及有关性质22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为 边AB，AC的中点，直线DE 交的 外接圆于F，G两点，若证明1）2）ABCABCBCDGBD/CFABDGCABF FE E回忆性质性质:两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等;两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补.同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行;判定：判定：内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行;同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行.一一 平行线等分线段定理
2、平行线等分线段定理图1A1A3A2B3B1B2l3l1l2llA1A3A2B3B1B2l3l1l2ll图2l1/l2/l3,l/lA1A2=A2A3l1/l2/l3,l,l不平行A1A2=A2A3C2C3平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.ABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1B1C1推论1：lABCl1l2l3A1
3、B1C1推论1：lABCB1C1推论1：推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCA1B1C1ABCA1B1C1推论2：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线,必平分另一腰.平行线等分线段定理的应用(1)(1)把线段把线段n n等分等分EFGHDINMJKL已知：线段AB求作：线段AB的五等分点(2)证明在同一直线上的线段相等证明在同一直线上的线段相等1 1、已知：如图，、已知：如图，M M、N N分别为平行四边形分别为平行四边形ABCDABCD边边ABAB、CDCD的中点的中点,CM,CM、
4、ANAN分别交分别交BDBD于点于点E E、F.F.求证：求证：BE=EF=FDBE=EF=FDADCBMNEF？2、如图，已知ABCD中，AA1l,BB1l,CC1l,DD1l,是否有A1B1=C1D1.ABCDOlA1B1C1D1O13、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABCDEABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，F求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABCDEABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，F求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.证法1：O连结BE交AF于点O
5、，四边形ABDE是平行四边形，AFBC，EF=FC.BO=OE；ABCDEF证法2：H延长ED交BC于点H，四边形ABDE是平行四边形，AFBC，EF=FC.四边形ABHD是平行四边形，AB=DH，ED=DH；ABED，即ABDH，且AB=ED，3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.ABCDEF证法3：M3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.ABCDEF证法4：N3
6、、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其他直线上截得 相等的线段.证法5：ABCDEFP。AAS分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证法6：AASABCDEFQ。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证法7：ABCDEFS）AAS分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADB
7、C，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.）证法8：ABCDEFT）。AAS分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证法9：AASABCDEFP。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证法10：AASABCDEFQ。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证法11：
8、AASABCDEFS。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证法12：AASABCDEFT。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：3、已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.4、已知：ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，DF交BC于E，求证：DE=EF.证法1：ABCDEFH）（.证法2：ABCDEFH4、已知：ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，DF交BC于E，求证：
9、DE=EF.5、已知：ACAB，DBAB，O是CD的中点，求证：OA=OB.分析：需证明点O在AB的垂直平分线上.证明：作OEAB于E，ACAB，DBAB，CAB=90，DBA=90，CAB=OEA=DBA，ACOEDB；O是CD的中点，E是AB的中点，OE是AB的垂直平分线，OA=OB.则OEA=90；ABCDOE 第二讲 平行线分线段成 比例定理？那 么32若EFDE,BCAB32ABCDEFl1l2l3猜想：猜想：ABCDEFl1l2l332BCAB考察P1P2P3Q1Q2Q3a1a1a3.32EFDEBCABDFDEACABEFDFBCACDFEFACBCEFDEBCAB平行线分线段成
10、比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.EFDEBCABDFDEACABDFEFACBCl2l3l1l3推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1FEBACD已知:如图,DE/BC,DE分别交AB、AC于点D、EBCDEACAEABAD求证：DE/BCACAEABADEF/ABBCBFACAEDE=BFBCDEACAEABAD 如图,直线l1,l2被三个平行平面,所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2与它们的交点分别为D,E,F?相等吗与EFDEBCAB探究平行线分线段成比例定理的推广平行线分线段成比例定理
11、的推广探究探究:平行线改为平面后，应考虑两种情形：平行线改为平面后，应考虑两种情形：.EFDEBCAB1l2lABCDEFABCDEF2l1l共面与21ll异面与21lllGPQRG三角形内角平分线定理：三角形内角平分线定理：ABCDABCADBACABBDACCD在中，若为的 角平 分 线，则：应用应用1证明比例关系证明比例关系求证：三角形的内角平分线分对边成两条线段，这两条线段的比等于与他们相邻两边的比。三角形外角平分线定理：三角形外角平分线定理：ACDABCADACAE在中，为的外角的平分线，A BBDACC D则：B应用应用1证明比例关系证明比例关系求证：三角形的外角平分线外分对边成两
12、条线段，则这两条线段的比等于与它们相邻两边的比如图，如图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC=1 2，AD BD=3 2求：求：FB FC的值的值应用应用1求线段长度（比值）求线段长度（比值）FCABDEG3k2k3m2m4ma2a如图，如图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC=1 2，AD BD=3 2求求FB FC的值的值应用应用2求线段长度（比值）求线段长度（比值）FCABDE3k2k3m2m6maH3a如图，如图
13、，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC=1 2，AD BD=3 2求求FB FC的值的值应用应用2求线段长度（比值）求线段长度（比值）FCABDE3k2km2ma6k3aM如图，如图，ABC中，中，D是是AB上的点，上的点，E是是AC上的点，延长上的点，延长ED与射线与射线CB交于点交于点F若若AE EC=1 2，AD BD=3 2求求FB FC的值的值应用应用2求线段长度（比值）求线段长度（比值）FCABDE3k2km2ma2a4kN第三讲 相似三角形的判定及性质相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，
14、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相相似三角形对应边的比值叫做相似比似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数或相似的系数).复习回顾BACA C B 判定两个三角形相似的简单方法判定两个三角形相似的简单方法(1)(1)两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似;(2)(2)两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似;(3)(3)三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.BACACB如何证明？1.3 1.3 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质判定定理1 对于任意两个三角形对
15、于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.简述简述:两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似CBA已知已知,如图如图,在在ABC和和A B C 中中,A=A,B=B,求证求证:ABCA B C ABCDE预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边或两边的延长线的延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角形相所构成的三角形与原三角形相似似.判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角如果一个
16、三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例形的两边对应成比例,并且夹角相等并且夹角相等,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.简述简述:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在ABC和ABC中,A=A,ACCAABBA求证:ABCABCADE ABCACCAABBAACAEABADDE/BCABCADECBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且ACAEABAD求证：DE/BCE证明:作 DE/BC,交AC于EACAEABADACAEABADACAEACAEAE=AE因此因此E与点与点E 重合即重合即DE 与与
17、DE重合重合,所以所以 DE/BC采用了“同一法”的间接证明引理引理 如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的延或两边的延长线长线)所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例,那么这条直线平行那么这条直线平行于三角形的第三边于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法 用同一法解题一般有三个步骤先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等
18、的或重根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；合的；从而说明已知图形符合结论从而说明已知图形符合结论 判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似ABCCBA已知:如图,在ABC和ABC中CAACBCCBABBA求证:ABCABC证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.DECAEABCDEABADADEABC AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,ADE ABCABCAB
19、C例 如图,在ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=ACCD分析:遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似证明:ABC是等腰三角形A=180-2CBCD是等腰三角形DBC=180-2CDBC=A又C为公共角ABCBDCCDBCBCAC 即 BC2=ACCDBCDA 如图,圆内接ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.CBDBECEB:求证分析:遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似根据线段所在三角形考虑证EBDECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得证明：由已知条件，可得ACE=BCE。ACE与与ABE是同弧上的圆周角，是同弧上的圆周角，ACE=ABE BCE=ABE
20、。又又 BED=CEB。EBDECBCBDBECEB例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证:DBEABC.BACDE分析:好容易得出ABC=DBE只需要再证明 即证ABBDBCBE只要证明ABDCBEABBCBDBE直角三角形相似的判定定理(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.性质定理：性质定理：1相似三角形对应高的比、对应中线相似三角形对应
21、高的比、对应中线 的比和对的比和对应角平分线的比都等于相似比；应角平分线的比都等于相似比；2相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形面积的比等于相似比的平方；问题问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？比有什么关系？OABCD2相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形面积的比等于相似比的平方；1相似三角形对应高的比、对应中线相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线
22、的比都等于相似比；的比和对应角平分线的比都等于相似比；/D/O/B/C/A结论：结论：1相似三角形外接圆的直径比相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方外接圆的面积比等于相似比的平方2相似三角形内切圆的直径比、周长相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，比等于相似比，内切圆的面积比等于内切圆的面积比等于 相似比的平方相似比的平方1相似三角形对应高的比、对应中线相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；的比和对应角平分线的比都等于相似比；2相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面
23、积的比等于相似比的平方；相似三角形面积的比等于相似比的平方；问题问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？比有什么关系？结论：结论：两个相似三角形的内切圆的两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比直径比，周长比等于等于相似比；面积比相似比；面积比等于等于相似比的平方。相似比的平方。RrABCADBCD1.射影射影点在直线上的正射影点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影一条线段在直线上的
24、正射影 线段的两个端点在这条直线上的正线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。射影间的线段。A ANMNMABA B 点和线段的正射影简称点和线段的正射影简称射影射影探究：探究：ABC是直角三角形，是直角三角形，CD为斜边为斜边AB上的高。你能从射影的角度上的高。你能从射影的角度来考察来考察AC与与AD，BC与与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？系吗？ABDC.90,9000BCDBBCDACD2CDAD BDBACDCBDACDBDCDCDAD)1(2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCAC
25、DA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有BCABDC射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。2B CB DA B 2A CA DA B ABDC用勾股定理能证明吗用勾股定理能证明吗?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD=ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可证得同理可证得BC=BDAB3.如图，已知线段如图，已知线段a,b.求作线段求作线段a和和b的比例中项。的比例中项。ab习题习题1.4LADBOCL
