1、第一讲 不等式和绝对值不等式1、不等式复习引入复习引入：1.1.作差作差(或作商或作商)2.2.变形变形3.3.二:不等式的性质1 1.a a b bb b b b,b b c ca a c cn nn n6 6.a a b b 0 0a a b b（传递性）（可加性）（可乘性）（乘方性）（开方性）（加法法则）（乘法法则）（对称性）c c 4 4.a a b b,a a0 0c c b b c cc c b b,a a c c b ba a+c c b b+c c2(n nN N,n n)新课讲解：基本不等式定理1（重要不等式）如果a,bR,那么 a2+b22ab.当且仅当a=b时等号成立。证
2、明：222222()0,2,ababababababab因 为当 且 仅 当时,等 号 成 立，所 以，当 且 仅 当时，等 号 成 立.探究：分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。课本课本P5页页aabbbAHIDKGBJCFE 如图把实数a，b作为线段长度，以ab为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b22ab.当且仅当a=b时
3、，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。22()()2=22abababababababab因 为，所 以，当 且 仅 当，即时，等 号 成 立。定理2（基本不等式）如果a，b0，那么当且仅当a=b时，等号成立。2abab证明：证明：称为称为a,b的算术的算术平均平均称为称为a，b的几何的几何平均平均 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO关于基本不等式的几何意义：课本关于基本不等式的几何意义：课本P6页页例1 求证：（1
4、）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：已知结论：已知x,y都是正数：都是正数：（1）如果积）如果积xy是定值是定值p，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有有 最小值最小值2 ；（2）如果和）如果和x+y是定值是定值s，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值ABENMFDCQPHG例2 某居民小区要建一座八边某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的平面图（右图）是由两个相同的矩形矩形ABCD和和EFGH构成的面积构成的面积为为200平方米的十字型地域，计平方
5、米的十字型地域，计划在正方形划在正方形MNPQ上建一座花坛，上建一座花坛，造价为每平方米造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。元。（1）设总造价为）设总造价为S元，元，AD长为长为x米，试建立米，试建立S关于关于x的函数关系式。的函数关系式。（2）当）当x为何值时为何值时S最小，并求出这个最小值。最小，并求出这个最小值。三个正数的算术-几何
6、平均不等式思考：以上定理如何证明呢？课本例5解：1x 01 x011x 11xx=112111)1(21111xxxx 当且仅当 111xx即 0 x时 11xx有最小值1例3若，则为何值时，11xx有最小值，并求出最小值？例 4已知302x,求函数(32)yxx的最大值.求函数22(3)3xyxx的最小值.解(基本不等式法)302x,0320 xx且,(32)xx=12(32)2xx123222xx=324当且仅当34x 时取等号.函数(32)yxx的最大值为324,当且仅当34x 取得.例 4已知302x,求函数(32)yxx的最大值.求函数22(3)3xyxx的最小值.1.yxx变 式
7、训 练：求 函 数的 值 域解:2121,0)1(xxxxx时当,1,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx).,22,(y小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等一正二定三相等”的条件。21(15)(0)5yxxx例 5求 函 数的 最 值。三个正数的算术几何平均不等式的应用例6235252(2)(2),2525120,20,552(2)545.236752242.515675yxxx xxxxxxxyxxxxmax解：当 且 仅 当，即时，y21(15)(0)5yxxx求 函 数的 最 值。构造三个数相 加等于定值.
8、练习：是锐角，求y=sincos2的最大值。课堂练习：课本P10第5题、第6题、第11题5、设a,bR+,且ab，求证：(1)(2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)8abc；（2）a+b+c2abba；2ababab.abbcca第第11题题1(3)821xxxx21、求函数y=的最小值；x-3、求函数y=的值域.作业二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。
9、联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab0和ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab0,b0，如下图可得：|a+b|a|+|b|Obaxa+b如果a0，如下图可得：|a+b|00，|x-a|x-a|,|y-b|,|y-b|，求证：，求证：|2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以所以|2x+3y-2a
10、-3b|5|2x+3y-2a-3b|0，则|x|a的解集是(-,-a)(a,+)Oa-axO-aax|x|a（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b,转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法：00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或例3 解不等式|3x-1|2例4 解不等式|2-3x|7补充例题：解不等式211(1)(3|1)|342(2)34|.xxxx|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c-ca
11、x+b-cx|ax+bcax+bcx|ax+bc,并 课堂练习：P20第6题型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2521 5 xx解解不不等等式式例例 ，。A，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，A，A，B，：2355511231211111111111式式的的解解集集是是故故原原不不等等的的距距离离之之和和都都大大于于的的任任何何点点到到点点的的右右边边的的左左边边或或点点点点的的距距离离之之和和都都小小于于之之间间的的任任何何点点到到点点与与从从数数轴轴上上可可以以看看到到点点这这时时也也有有右右移移动动一一个个单单位位到到点点向向将将点点同同理理这
12、这时时有有到到点点个个单单位位向向左左移移动动将将点点数数都都不不是是原原不不等等式式的的解解上上的的因因此此区区间间两两点点的的距距离离是是那那么么对对应应的的点点分分别别是是设设数数轴轴上上与与解解法法x12-2-3ABA1B1521 5 xx解解不不等等式式例例 ，xxxx，xxxxxx，x：23 ,2 ,2,5)2()1(,1 ,53,5)2()1(,123,3,5)2()1(,22的的解解集集为为综综上上所所述述可可知知原原不不等等式式此此时时不不等等式式的的解解集集为为解解得得原原不不等等式式可可以以化化为为时时当当此此时时不不等等式式的的解解集集为为矛矛盾盾即即原原不不等等式式可
13、可以以化化为为时时当当此此时时不不等等式式的的解解集集为为解解得得原原不不等等式式可可以以化化为为时时当当解解法法 521 5 xx解解不不等等式式例例 ,23,1x ,4-2x1x2-2,-2x ,6252105213解解集集为为由由图图象象可可知知原原不不等等式式的的作作出出函函数数图图象象即即构构造造函函数数将将原原不不等等式式转转化化为为解解法法，xy，xxyxx：yxO-32-2型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义零点分区间法零点分区间法构造函数法构造函数法作业：作业：P20第第7题、第题、第8题题(1)(3
14、)练习：练习：P20第第8题题(2)432)2.(8 xx解解不不等等式式补充练习：解不等式：（1）1|2x+1|3.（2）|x-1|-4|x+3.答案：（1）x|0 x1或-2x-1 （2）x|-5x-1或3x7 （3）作业作业6431)1(720 xP解不等式解不等式题第题第第第.32,135,3103213531032310351 6436143143643143:故原不等式的解集为故原不等式的解集为或或解得解得或或或或即即等式组等式组原不等式等价于下列不原不等式等价于下列不解解xxxxxxxxxx8.解不等式解不等式:.,).,24322,23,4)3()2(,2).2,3(43223
15、,45,4)3()2(,23.3,(4323,25,4)3()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原不不等等式式的的解解集集是是综综上上所所述述的的解解集集是是不不等等式式组组即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集为为所所以以不不等等式式组组显显然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集是是即即不不等等式式组组解解得得原原不不等等式式可可化化为为时时当当解解 .25,21,.25,22212,25,221,2).2,1(22121,21,2)2()1(,21.1,212211,21,2)2()1(,1:221)3(原原不不等等式式的的解解集集是是综综上上所所述述的的解解集集是是所所以以不不等等式式组组即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当解解集集是是的的所所以以不不等等式式组组显显然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集是是即即不不等等式式组组解解得得原原不不等等式式可可化化为为时时当当解解xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
