1、第九章第九章立体几何立体几何 93直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1BC在如图所示的长方体中，直线和直线AD是异面直线，度量1CBC1DAD和，发现它们是相等的 1BC如果在直线AB上任选点P，那么过点P分别作直线与直线AD1CBC相等？的平行线，它们所成的角是否与动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角 经过空间任意一点
2、分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角nmnOnmOmn如图所示，mm、nn，则与的夹角就是异面直线m与n所成的角为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O如下图巩固知识巩固知识典型例题典型例题9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角ABCD1A1D1C1B例例1如图所示的长方体中，130BAB，求下列异面直线所成的角：1AB1AB1CC
3、(1)与DC；(2)与1BAB1AB解解 （1）因为DCAB，所以为异面直线与DC所成的角30即所求角为1CC1BB1ABB1AB1CC（2）因为，所以为异面直线与所成的角 在直角1ABB中，119030ABBBAB，所以 1903060AB B，即所求的角为60运用知识运用知识强化练习强化练习9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角在如图所示的正方体中，求下列各直线所成的角的度数：11DDBC与 112AABC 与创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成
4、的角1111ABCDABC D1BB正方体中，直线与直线 AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？可以发现，这些个角都是直角 动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线直线l与与的交点叫做垂足垂足 l垂直垂直，记作直线l叫做平面平面的垂线的垂线，垂线l与平面平面平面画表示直线l和平面垂直的图形时，要把直线l画成与平行四边形的横边垂直（如图所示），其中点A垂足 创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直
5、线、直线与平面、平面与平面所成的角将一根木棍PA直立在地面上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（如图），发现PA最短 动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线PB与平面相交但不垂直，则称直线PB与平面斜交斜交，直线PB叫做的斜线，的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足斜足点P与斜足B之间的线段叫做点点P平面平面到这个平面的斜线段到这个平面的斜线段 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影 如图所示，直线AB是斜线PB在平面内的射影 从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂
6、线段最短因此，将从平面外一点P到平面的的距离的距离 垂线段的长叫做点点P到平面到平面PA如图所示，线段PA叫做垂线段垂线段，垂足A叫做点点P在平面在平面内的射影内的射影 创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角如图所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度 动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角就是直线PB与平面PBA如图所示，所成的角 l斜线l与它在平面内的射影 的夹角，叫做直线直线l与平面与平
7、面所成的角所成的角规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角显然，直线与平面所成角的取值范围是 090，动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？巩固知识巩固知识典型例题典型例题9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角例例2 如图所示，等腰ABC的顶点A在平面外，底边BC在平面内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面的垂线段AD=
8、10求（1）等腰ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面所成的角的大小（精确到1）AEBC解解 (1)在等腰 ABC中，故由BC=16可得BE=8.在RtAEB中，AEB=90，因此 222217815.AEABBE巩固知识巩固知识典型例题典型例题9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角例例2 如图所示，等腰ABC的顶点A在平面外，底边BC在平面内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面的垂线段AD=10求（1）等腰ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面所成的角的大小（精确到1）（2）联结DE.因为AD是平面的垂线，AE是
9、的斜线，内的射影.所以DE是AE在AED是AE和平面所成的角.因此RtADE中，在102sin153ADAEDAE，所以 42AED42即斜线AE和平面所成的角约为运用知识运用知识强化练习强化练习9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角长方体ABCD 1111A B C D中，高DD1=4cm，底面是边长为3cm的正方形，求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小（精确到1）.创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的
10、方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图（1）；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图（2）（2）（1）动脑思考动脑思考探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角这条直线叫做二面角的棱二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面二面角的面以直线l（或CD）为棱，两个半平面分别为、l CD的二面角，记作二面角（或）（如图）图940CD图941loNMCD动脑思考动脑思考
11、探索新知探索新知9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角图940CD图941loNMCD过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以l 的棱l上任意选取一点O，以点O为垂足，在面与面 内分别作OMlONl、MON，则就是这个二面角的平面角 这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角二面角的平面角如图所示，在二面角动脑思考动脑思考探索新知探索新知二面角的平面角的大小由、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定因此，二面角的大小用它的平面角来度量 当二面角的两个半平面重合时，规定二面角
12、为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角因此二面角取值范 0180，围是9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直两个平面垂直平面与平面垂直记作巩固知识巩固知识典型例题典型例题9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1111ABCDA B C D1DADB例例3在正方体中（如图），求二面角的大小 1AAAB解解AD为二面角的棱，与是分别在二面角的两个面内并且与棱AD垂直的射
13、线，1A AB1DADB为二面角的平面角 所以1111ABCDA B C D因为在正方体中，1DADB所以二面角为90.1A AB是直角运用知识运用知识强化练习强化练习459 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1111ABCDA B C D1ADDB在正方体中，求二面角的大小.过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角二面角的平面角.二面角的平面角的概念二面角的平面角的概念？理论升华理论升华整体建构整体建构9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面
14、、平面与平面所成的角自我反思自我反思目标检测目标检测9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角1AC11ABC DABCD在正方体中，求平面与平面所成的二面角的大小 45作作 业业读书部分：读书部分：阅读教材相关章节阅读教材相关章节 实践调查：实践调查：寻找生活中的二寻找生活中的二书面作业：书面作业：教材习题教材习题9.2 A9.2 A组（必做）组（必做）教材习题教材习题9.2 B9.2 B组（选做）组（选做）面角的平面角面角的平面角 继续探索继续探索活动探究活动探究9 93 3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角直线与直线、直线与平
15、面、平面与平面所成的角9.3.2直线和平面 所成的角回顾知识：回顾知识：空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？空间中一条直线与平面有哪几种位置关系？（1）直线在平面内，）直线在平面内，（2）直线与平面平行，）直线与平面平行，（3）直线与平面相交）直线与平面相交知识探究（一）：知识探究（一）：直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念(垂直垂直)大漠孤烟直大漠孤烟直ABABABABABABABABCC1B1AB地面内地面内任意一条任意一条直线直线AB所在直线所在直线CC1B1AB内过点内过点B的直线的直线AB所在直线所在直线内不过点内不过点B的直线的直线AB所在直线所在直线内内任意一条任意一条直线
16、直线AB所在直线所在直线直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的定义：图形表示：图形表示：Pl文字表示：文字表示：如果一条直线如果一条直线l与与平面平面内的内的任意一条任意一条直线都垂直，直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直则称这条直线与这个平面垂直.记作记作 l垂足垂足平面平面的垂线的垂线直线直线l的垂面的垂面画直线与平面平行时，通常把直线画成与画直线与平面平行时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的表示平面的平行四边形的一边垂直一边垂直。深入理解深入理解“线面垂直定义线面垂直定义”判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）1.1.如果一条直线与一
17、个平面垂直，那么它与平面如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直内所有的直线都垂直.（）2.2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直么它与平面垂直.（)baPAO l垂足垂足斜足斜足复习旧知复习旧知 过斜线上过斜线上斜足斜足A A以外的一点以外的一点P P向平面向平面 引引垂线，垂足为点垂线，垂足为点O O，过垂足，过垂足O O和斜足和斜足A A的直线叫做的直线叫做斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影射影射影斜足斜足垂足垂足射影射影斜线斜线垂垂线线他与地面所成的角是他与地面所成的角是哪个角哪个角？平面的一条平面的一条斜
18、线斜线和它在平面上的和它在平面上的射影射影所成所成的的锐角锐角，叫做，叫做这条斜线和这个平面所成的角这条斜线和这个平面所成的角.斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角概念提出概念提出一、斜线和平面所成的角一、斜线和平面所成的角PAOl射影射影例题讲解例题讲解例例1 1ADCBD1A1B1C1斜足斜足垂足垂足垂垂线线射影射影分别指出正方体的体对角线分别指出正方体的体对角线A A1 1C C与平面与平面 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1、A A1 1ABBABB1 1、BCCBCC1 1B B1 1所成的角所成的角.C CA A1 1C C1 1分别指出正方体的体对角线分别指出正方体
19、的体对角线A A1 1C C与平面与平面 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1、A A1 1ABBABB1 1、BCCBCC1 1B B1 1所成的角所成的角.例例1 1A1B1ACDCBD11例题讲解例题讲解C CA A1 1B B 分别指出正方体的体对角线分别指出正方体的体对角线A A1 1C C与平面与平面 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1、A A1 1ABBABB1 1、BCCBCC1 1B B1 1所成的角所成的角.例例1 1A1B1ACDCBD11例题讲解例题讲解B B1 1C CA A1 1ll2、一条直线和平面平行或在平面内，它们、一条直线和平面平行
20、或在平面内，它们所成的角是所成的角是0 ；3、一条直线垂直于平面，它们、一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角 90 。1、斜线斜线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围是：的取值范围是：直线与平面所成的角直线与平面所成的角的取值范围是：的取值范围是：900900二、直线和平面所成的角二、直线和平面所成的角 概括归纳概括归纳l练习练习1 1.如图：正方体如图：正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，（1 1）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面ABCDABCD所成的角的度数；所成的角的度数；（2 2）求出）求出A A1 1B B1 1
21、与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（3 3）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（4 4）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BBBB1 1D D1 1D D所成的角的度数；所成的角的度数；A1D1C1B1ADCB0o小试牛刀小试牛刀练习练习1 1.如图：正方体如图：正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，（1 1）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面ABCDABCD所成的角的度数；所成的角的度数；（2 2）求出）求出A A1 1B B1
22、1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（3 3）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（4 4）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BBBB1 1D D1 1D D所成的角的度数；所成的角的度数；A1D1C1B1ADCB0o90o小试牛刀小试牛刀练习练习1 1.如图：正方体如图：正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，（1 1）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面ABCDABCD所成的角的度数；所成的角的度数；（2 2）求出）求出A A1 1B
23、 B1 1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（3 3）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（4 4）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BBBB1 1D D1 1D D所成的角的度数；所成的角的度数；A1D1C1B1ADCB0o90o45o小试牛刀小试牛刀练习练习1 1.如图：正方体如图：正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，（1 1）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面ABCDABCD所成的角的度数；所成的角的度数；（2 2）求出）求出
24、A A1 1B B1 1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（3 3）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BCCBCC1 1B B1 1所成的角的度数；所成的角的度数；（4 4）求出）求出A A1 1C C1 1与面与面BBBB1 1D D1 1D D所成的角的度数；所成的角的度数；0o90o45oA1D1C1B1ADCB90o小试牛刀小试牛刀例例2 2：正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。求角求角 找角找角 找射影找射
25、影A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1M M典例精讲典例精讲例例2 2：正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。设正方体设正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1棱长为棱长为a a.如图所示，连接如图所示，连接BCBC1 1交交B B1 1C C于于M M点，连接点，连接A A1 1M M.DC DC 平面平面BCBCB B1 1C C1 1 DC DC BC BC1 1 BCBC1 1 B B1
26、 1C,DC C,DC B B1 1C=CC=C BCBC1 1 平面平面A A1 1B B1 1CDCD BMBM 平面平面A A1 1B B1 1CDCDA A1 1M M 为为A A1 1B B在平面在平面A A1 1B B1 1CDCD上的射影上的射影BABA1 1M M 为为A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角在在RtRtA A1 1BM BM 中，中，A A1 1B B ，BMBM sinsinBABA1 1M M ，BABA1 1M M3030.即即A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角为所成的角为3030
27、.a2a22BABM121解：解：A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1M Ma2a22典例精讲典例精讲通常在垂线和斜线段、射影组成的直角三角形直角三角形 中计算。（3）计算）计算:证明某平面角就是斜线和平面所成的角（2）证明）证明:过斜线上一点作平面的垂线，再连结垂足和斜足。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。A AlOB B一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”关键：关键：确定斜线在平面内的确定斜线在平面内的射影射影.求直线和平面所成角的方法步骤求直线和平面所成角的方法步骤（1）作图）作图:斜线和射影所成的角就是斜线和平面所成的角。归纳总结归纳总结射影斜线段斜线段垂垂线线2.求直线和平面所成角的方法求直线和平面所成角的方法1.直线和平面所成角直线和平面所成角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”oo90,0oo90,0课堂小结课堂小结一、过关训练一、过关训练作业布置作业布置BB星星星星你你谢谢
