1、 1 2020 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷 数数 学学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 20206 参考公式： 柱体的体积公式：V柱体Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高 锥体的体积公式：V锥体1 3Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为高 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知集合 A1，0，1，B0，2，则 AB_ 2. 设复数 z 满足(3i)z 10，其中 i 为虚数单位，则 z 的模是_ 3. 如图是一个算法流程图，则输出 k 的值是_ 4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 443.为了解学生对防震减灾知识的
2、 掌握情况， 现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测 若高一年级抽取了20名学生， 则 n 的值是_ 5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没“三 药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化 湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的 概率是_ 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y24x 的准线是双曲线x 2 a2 y2 2 1(a0)的左 准线，则实数 a 的值是_ 7. 已知 cos() 5 13，sin 3 5，均为锐角，则 sin 的值是_ 8.
3、公园里设置了一些石凳供游客休息， 这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样 2 的四面体得到的(如图)设石凳的体积为 V1，正方体的体积为 V2，则V1 V2的值是_ 9. 已知 x1，y1，xy10，则 1 lg x 4 lg y的最小值是_ 10. 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 4S2，S4，2S3成等差数列，且 a2a32，则 a6的值是_ 11. 海伦(Heron， 约公元 1 世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家， 以他的名字命名的 “海 伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 SABC p（pa）（pb）（pc），其
4、中 pabc 2 .若 a5，b6，c7，则借助“海 伦公式”可求得ABC 的内切圆的半径 r 的值是_ 12. 如图，ABC 为等边三角形，分别延长 BA，CB，AC 到点 D，E，F，使得 AD BECF.若BA 2AD ，且 DE 13，则AF CE的值是_ 13. 已知函数 f(x) k（12 x），x0， y1y2 4m m23， y1y2 2 m23， 所以 x1x2(my12)(my22)m2y1y22m(y1y2)4， x1x2m(y1y2)4.(12 分) 所以(m21)y1y2(2mtm)(y1y2)44tt20， 所以 m23t 212t10 t26 0，(14 分) 解
5、得 60，列表如下： x (0，e) e (e，) f(x) 0 f(x) 极大值 所以 f(x)极大值f(e)aln e e 1 e，所以 a1.(3 分) (2) 当 ae 时，f(x)eln x x ，则 f(x)e（1ln x） x2 ，g(x)x1 ex ，则 g(x)x ex . 曲线 yf(x)与 yg(x)在 xx0处的切线互相垂直， 所以 f(x0)g(x0)1，即e（1ln x0） x20 x0 ex0 1，(5 分) 整理得 x0ex0eln x0e0. 设 r(x)xexeln xe，则 r(x)(x1)exe x. 因为 x0，所以 r(x)0， 所以 r(x)xex
6、eln xe 在(0，)上单调递增(7 分) 因为 r(1)0，且 r(x0)0，所以 x01.(8 分) (3) h(x)xln a ex aln x x ，设 m(x)exex，则 m(x)exe.令 m(x)0，得 x1. 列表如下： x (，1) 1 (1，) m(x) 0 m(x) 极小值 所以 m(x)最小值m(1)0. 所以 exex，所以 ln exln ex，即 x1ln x，即 ln xx1.(10 分) 14 注：主要出现上面一行内容，就给 2 分 a1 e时，ln a1.因为 0 a ea0. 又 h(x)在(0，1)上图象不间断，所以存在 t(0，1)，使 h(t)0
7、，不合题意 综上，a 的取值范围是1 e，)(16 分) 15 2020 届高三模拟考试试卷(二十)(南通、扬州、泰州等七市) 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 解：设 1 1 是矩阵 M 1m 21 的一个特征向量， 所以存在非零实数 ，使得 M， 所以 1m 21 1 1 1 1 ，即 1m， 21， 解得 m2， 3，则 M 12 21 .(5 分) 设 M 1 ab cd ，则 MM 1E，即 12 21 ab cd 10 01 ，所以 a2c1， b2d0， 2ac0， 2bd1， 解得 a1 3，b 2 3，c 2 3，d 1 3，所以 M 1 1 3 2 3 2 3 1
8、 3 .(10 分) B. 解：将直线 l 的参数方程为 x 3t， y1 3t (t 为参数)化为普通方程为 3xy20.(3 分) 由 2rsin (r0)，得 22rsin ， 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2(yr)2r2.(6 分) 因为直线 l 与圆 C 恒有公共点，所以 |r2| （ 3）2（1）2 r，解得 r2. 所以实数 r 的取值范围是2，)(10 分) C. 证明：因为 x1，y1，且 xy4，由柯西不等式得 ( y2 x1 x2 y1)(x1)(y1)( y2 x1 x1 x2 y1 y1) 2(xy)216，(8 分) 即( y2 x1 x2 y1)216，所以
9、y2 x1 x2 y18.(10 分) 22. 解：(1) X 的可能取值为 1，2，3，4，P(X1)1 6， P(X2)5 6 1 5 1 6，P(X3) 5 6 4 5 1 4 1 6， P(X4)5 6 4 5 3 4 1 3 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2，(每个 1 分) 所以 X 的分布列为 16 X 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 6 1 2 所以随机变量 X 的数学期望 E(X)11 62 1 63 1 64 1 23.(5 分) (2) (解法 1)记成功打开 1 扇门的事件为 A， 则 P(A)1 6 1 6 1 6 5 6 4 5 3 4 1 3 2 3
10、.(8 分) 记恰好成功打开 4 扇门的事件为 B， 则 P(B)C45(2 3) 4(1 3) 80 243. 答：恰好成功打开 4 扇门的概率为 80 243.(10 分) (解法 2)记成功打开 1 扇门的事件为 A，则 P(A)15 6 4 5 3 4 2 3 2 3.(8 分) 记恰好成功打开 4 扇门的事件为 B，则 P(B)C45(2 3) 4(1 3) 80 243. 答：恰好成功打开 4 扇门的概率为 80 243.(答案不写扣 1 分)(10 分) 23. 解：(1) 当 ABx 轴时，AFp，EFp， 所以 EA 2p2，即 p 2，所以抛物线的方程为 y22 2x.(2
11、 分) (2) 设直线 AB 的方程为 xmy 2 2 ，由 y 22 2x， xmy 2 2 ， 得 y22 2my20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y1y22 2m，y1y22， 则直线 AE 的方程为 y y1 x1 2 2 (x 2 2 ) 令 x0，得 yM 2 2 y1 x1 2 2 2 2 y1 my1 2，同理 yN 2 2 y2 x2 2 2 2 2 y2 my2 2，(4 分) 所以|yMyN| 2 2 y1 my1 2 y2 my2 2 2 2 2（y1y2） （my1 2）（my2 2） ，(6 分) 其中 m2y1y2 2m(y1y2)2|2m24m22|2m22， 则 S1 S2 1 2EF|y1y2| 1 2EO|yMyN| 4m244，因此S1 S2的取值范围是4，)(10 分)
