1、精品文档例1：25（2015.重庆）如图1，在ABC中，ACB=90，BAC=60，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DHAC，垂足为H，连接EF，HF。 （1） 如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长。 （2） 如图1，求证：HF=EF。 （3） 如图2，连接CF，CE，猜想：CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。解：（1）ACB=90，BAC=60，ABC=30，AB=2AC=223=43， ADAB，CAB=60，DAC=30，AH=12AC=3，AD=AHcos30=233，BD=
2、AB2+AD2=213； （2）如图1，连接AF，AE是BAC角平分线，HAEBA）-60=30-FBA，EAF=FDH，在DHF与AEF中，DHAEHDFEAHDFAF， DHFAEF，HF=EF；（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在RtADE中，AD=2AE，DF=BF，AM=BM，AD=2FM，FM=AE， E=30，ADE=DAH=30，在DAE与ADH中，AHDDEA90ADEDAHADAD， DAEADH，DH=AE，点F是BD的中点，DF=AF，EAF=EAB-FAB=30-FABFDH=FDA-HDA=FDA-60=（90-FbrABC=30，AC=CM=12AB=
3、AM，CAE=12CAB=30CMF=AMF-AMC=30， 在ACE与MCF中，ACCMCAECMFAEMF， ACEMCF，CE=CF，ACE=MCF，ACM=60，ECF=60，CEF是等边三角形例2：27（2015.成都） 已知,ACEC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90。 （1） 如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF。 1) 求证：CAEDCBF；2) 若BE=1,AE=2，求CE的长。 （2） 如图，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC时，若BE=1,AE=2,CE=3，求k的值； （3） 如图，当
4、四边形ABCD和EFCG均为菱形，且DAB=GEF=45时，设,BE=m，AE=n，CE=p，试探究,m、n、p三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程） （1） （i）证明：四边形ABCD和EFCG均为正方形，ACBCCECF2， ACB=ECF=45，ACE=BCF，在CAE和CBF中，ACBCCECF2ACEBCF， CAECBF（ii）解：CAECBF，CAE=CBF，AEBFACBC， 又CAE+CBE=90，CBF+CBE=90，EBF=90，又AEBFACBC2，AE=22BF2，BF2，EF2=BE2+BF2=12+(2)2=3，EFF，CAE+CBE=90，C
5、BE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2+BF2=1+4k2+1，ECFCk2+1，CEEF=k2+1k，CE=3，EF=3kk2+1，1+4k2+1(3kk2+1)29k2k2+1，k258，解得k=104，ABBC=EFFC=k0，k=104 （3）DAB=45，ABC=180-45=135，在ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2-2ABBCF=3， CE2=2EF2=6，CE=6 （2）如图，连接BF，ABBC=EFFC=k， BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，AC=AB2+BC2k2a2+a2ak2+1，CE=EF2+FC2=k2b2+b2bk2+1，A
6、CBCECFCk2+1，ACE=BCF， 在ACE和BCF中，ACBCECFCk2+1ACEBCF， ACEBCF，AEBFACBCk2+1，CAE=CBF， 又AE=2，2BFk2+1，BF=2k2+1， CAE=CBcos135=2BC2-2BC2(-22)=BC2(2+2) 在ACE和BCF中，ACBCECFC2+2ACEBCF， ACEBCF，AEBFACBC2+2，CAE=CBF， 又AE=n，BF2AE22+2n22+2， CAE=CBF，CAE+CBE=90，CBE+CBF=90，EBF=90，EF2=BE2+BF2，p22+2m2+n22+2，（2+2）m2+n2=p2，即m，
7、n，p三者之间满足的等量关系是：（2+2）m2+n2=p2例3：23.(2015.安徽) 如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC (1)求证：ADBC；(2) 求证：AGDEGF；(3) 如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 AD/EF的值 考点：相似形综合题.分析：（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明AGDBGC，得出对应边相等即可；（2）先证出AGB=DGC，由，证出AGBDGC，得出比例式，再证出AGD=EGF，即可得出AGDEGF；
8、（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AHBH，由AGDBGC，得出GAD=GBC，再求出AGE=AHB=90，得出AGE=AGB=45，求出，由AGDEGF，即可得出的值解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，GA=GB，同理：GD=GC，在AGD和BGC中，AGDBGC（SAS），AD=BC；（2）证明：AGD=BGC，AGB=DGC，在AGB和DGC中，AGBDGC，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGDEGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AHBH，AGDBGC，GAD=GBC，在GAM和HBM中，GAD=GBC，GMA=HMB，A
9、GE=AHB=90，AGE=AGB=45，又AGDEGF，=点评：本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果例4：23（2015潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE （1）求证：DEAG； （2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2 在旋
10、转过程中，当OAG是直角时，求的度数； 若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，AGO+DEO=90，AHE=90，即DEAG；（2）在旋转过程中，OAG成为直角有两种情况：（）由0增大到90过程中，当OAG=90时，OA=OD=OG=OG，在RtOAG中，sinAGO=，AGO=30，OAOD，OAAG，ODAG，DOG=AGO=30，即=30；（）由90
11、增大到180过程中，当OAG=90时，同理可求BOG=30，=18030=150综上所述，当OAG=90时，=30或150如图3，当旋转到A、O、F在一条直线上时，AF的长最大，正方形ABCD的边长为1，OA=OD=OC=OB=，OG=2OD，OG=OG=，OF=2，AF=AO+OF=+2，COE=45，此时=315例5：23 （2015.海南）如图 9-1，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，BCD = 60，射线 AP 交 BC 的延长线于点 E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点 （1） 求证：ADPECP； （2） 若 BP = nPK，试求出 n
12、的值； （3）作 BMAE 于点 M，作 KNAE 于点 N，连结 MO、NO，如图 9-2 所示 请证明MON 是等腰三角形，并直接写出MON 的度数 （1）证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，DAP=CEP，ADP=ECP，在ADP和ECP中，ADPECP；（2）如图1，作PICE交DE于I，则=，又点P是CD的中点，=，ADPECP， AD=CE，=， BP=3PK， n=3；（3）如图2，作OGAE于G，BM丄AE于，KN丄AE， BMOGKN，点O是线段BK的中点，MG=NG，又OGMN， OM=ON，即MON是等腰三角形，由题意得，BPC，AMB，ABP为直角三角形，设BC=2，
13、则CP=1，由勾股定理得，BP=，则AP=，根据三角形面积公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，OG=BM=，MG=MP=，tanMOG=，MOG=60，MON的度数为120 例6：25(2015.福州)如图.在锐角中，D，E分别为AB, BC中点, F为AC上一点，且AFE=A，DM/EF交AC于点M (1)求证: DM=DA (2)点G在BE上, 且BDG=C.如图,求证:DEGECF（3）在图中.取CE上一点H，使CFH=B. 若BG=1 求EH的长. （1） 证明：如图1所示，DMEF，AMD=AFE，AFE=A，AMD=A，DM=DA；（2）证明：如图2所示，D、E分别是AB、BC
14、的中点，DEAC，BDE=A，=B，BDGBED，BDBEBGBD， BD2=BGBE，AFE=A，CFH=B，C=180-A-B=180-AFE-CFH=EFH，又FEH=CEF，EFHEDEG=C，AFE=A，BDE=AFE，BDG+GDE=C+FEC，BDG=C，DGE=FEC，DEGECF；（3）解：如图3所示，BDG=C=DEB，BEHEFEFEC， EF2=EHEC，DEAC，DMEF，四边形DEFM是平行四边形，EF=DM=DA=BD，BGBE=EHEC，BE=EC，EH=BG=1例7：26（2015.河北) 平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图151摆放，分别延长DA和
15、QP交于点O，且DOQ=60，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为（060）. 发现：(1)当=0，即初始位置时，点P 直线AB上. (填“在”或“不在”)， 求当是多少时，OQ经过点B？ (2)在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值； (3)如图152，当点P恰好落在BC边上时，求及S阴影. 拓展：如图153，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x(x0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围. 探究：当半圆K与矩形ABCD
16、的边相切时，求sin的值. 例8：25. (2015.陕西) 如图，在每一个四边形ABCD中，均有ADBC，CDBC，ABC=60，AD=8，BC=12 (1)如图 1，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则BMC的面积为 ； (2)如图 2，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出BNC周长的最小值； (3)如图 3，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cosBPC的值最小？若存在，求出此时cosBPC的值；若不存在，请说明理由 解：（1）如图，过A作AEBC，四边形AECD为矩形，EC=AD=8，BE=BCEC=128=4，在RtABE中，ABE=60，BE=4，AB=
17、2BE=8，AE=4，则SBMC=BCAE=24；故答案为：24；（2）如图，作点C关于直线AD的对称点C，连接CN，CD，CB交AD于点N，连接CN，则BN+NC=BN+NCBC=BN+CN，BNC周长的最小值为BNC的周长=BN+CN+BC=BC+BC，ADBC，AEBC，ABC=60，过点A作AEBC，则CE=AD=8，BE=4，AE=BEtan60=4，CC=2CD=2AE=8，BC=12，BC=4，BNC周长的最小值为4+12；（3）如图所示，存在点P，使得cosBPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，
18、则PB=PC，圆心O在PN上，ADBC，圆O与AD相切于点P，PQ=DC=46，PQBQ，BPC90，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P，连接PB，PC，PB交圆O于点M，连接MC，BPC=BMCBPC，BPC最大，cosBPC的值最小，连接OB，则BON=2BPN=BPC，OB=OP=4OQ，在RtBOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4OQ）2，解得：OQ=，OB=，cosBPC=cosBOQ=，则此时cosBPC的值为例9：25（2015.贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3 （1）求MP的
19、值；（4分） （2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合 当AF等于多少时，MEF的周长最小？（4分） （3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与 点A，B重合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时， 求最小周长值.（计算结果保留根号）（4分） 解：（1）四边形ABCD为矩形，CD=AB=4，D=90，矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，MP=5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M，连接ME交AB于点F，则点F即为所求，过点E作ENAD，垂足为N，AM=ADMPPD=1253=4，AM=AM=4，矩形ABCD折叠，
20、使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，CEP=MEP，而CEP=MPE，MEP=MPE，ME=MP=5，在RtENM中，MN=3，NM=11，AFME，AFMNEM，=，即=，解得AF=，即AF=时，MEF的周长最小；（3）如图2，由（2）知点M是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接MR交AB于点G，再过点E作EQRG，交AB于点Q，ER=GQ，ERGQ，四边形ERGQ是平行四边形，QE=GR，GM=GM，MG+QE=GM+GR=MR，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在RtMRN中，NR=42=2，MR=5，ME=5，GQ=2，四边形MEQG的最小周长值是7+5据介
21、绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种的方式，完全自助。上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到万元。成功秘诀：好市口个性经营（2）东西全可见“体验化消费” 广受大学生的欢迎、喜欢，这是我们创业项目是否成功的关键，必须引起足够的注意。中式饰品风格的饰品绝对不拒绝采用金属，而且珠子的种类也更加多样。 五光十色的水晶珠、仿古雅致的嵌丝珐琅珠、充满贵族气息的景泰蓝珠、粗糙前卫的金属字母珠片的材质也多种多样。送人 有实用价值 装饰3www。oh/ov。com/tea
22、ch/student/shougong/例10：25（2015.山东临沂）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE. （1）请判断：AF与BE的数量关系是 ，位置关系是 ； 据调查，大学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明； 2、消费者分析（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断. 解：（1）
23、AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AFBE答案是：相等，互相垂直；（2）结论仍然成立理由是：正方形ABCD中，AB=AD=CD，在ADE和DCF中，AEDFADCDDECF， ADEDCF，DAE=CDF，又正方形ABCD中，BAD=ADC=90，BAE=ADF，在ABE和ADFCDDECF， ADEDCF，DAE=CDF，又正方形ABCD中，BAD=ADC=90，BAE=ADF，在ABE和ADF中，ABDABAEADFAEDF， ABEADF，BE=AF，ABM=DAF，又DAF+BAM=90，ABM+BAM=90，在ABM中，AMB=180-（ABMF中，ABDABAEADFAEDF， ABEADF，BE=AF，ABM=DAF，又DAF+BAM=90，ABM+BAM=90，在ABM中，AMB=180-（ABM+BAM）=90，BEAF；（3）第（1）问中的结论都能成立理由是：正方形ABCD中，AB=AD=CD，在ADE和DCF中，AEDFADM）=90，BEAF精品文档
