1、第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用类型一组数问题类型一组数问题【典例典例1 1】(1)(2017(1)(2017衡水高二检测衡水高二检测)我们把个位数比我们把个位数比十位数小的两位数称为十位数小的两位数称为“和谐两位数和谐两位数”,则则1,2,3,41,2,3,4四四个数组成的两位数中个数组成的两位数中,“,“和谐两位数和谐两位数”有有_个个.(2)8(2)8张卡片上写着张卡片上写着0,1,2,0,1,2,7,7共共8 8个数字个数字,取其中的三取其中的三张卡片排放在一起张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数可组成多少个不同的三位数?【解题指南解题指南】(1)(1)要组成
2、一个要组成一个“和谐两位数和谐两位数”可按个位可按个位数进行分类数进行分类,然后先排个位数再排十位数然后先排个位数再排十位数.(2)(2)百位数字不能为百位数字不能为0,0,同时每位上的数字不能重复同时每位上的数字不能重复.【解析解析】(1)(1)当个位数为当个位数为1 1时时,十位数可以是十位数可以是2,3,42,3,4任意任意一个一个,有有3 3种选法种选法;当个位数为当个位数为2 2时时,十位数可以是十位数可以是3,43,4任任意一个意一个,有有2 2种选法种选法;当个位数为当个位数为3 3时时,十位数只能是十位数只能是4,4,有有1 1种选法种选法;由分类加由分类加法计数原理法计数原理
3、,满足条件的满足条件的“和谐两位数和谐两位数”有有3+2+1=6(3+2+1=6(个个).).答案答案:6 6(2)(2)先排放百位从先排放百位从1,2,1,2,7,7共共7 7个数中选一个个数中选一个,有有7 7种选种选法法;再排十位再排十位,从除去百位的数外从除去百位的数外,剩余的剩余的7 7个数个数(包括包括0)0)中中选一个选一个,有有7 7种选法种选法;最后排个位最后排个位,从除前两步选出的数从除前两步选出的数外外,剩余的剩余的6 6个数中选一个个数中选一个,有有6 6种选法种选法.由分步乘法计数由分步乘法计数原理原理,共可以组成共可以组成7 77 76=294(6=294(个个)不
4、同的三位数不同的三位数.【延伸探究延伸探究】1.1.典例典例1(2)1(2)条件不变条件不变,问可组成多少个无重复数字的三问可组成多少个无重复数字的三位密码位密码?【解题指南解题指南】明确明确“三位密码三位密码”各个数位上的数字可各个数位上的数字可以是以是0.0.【解析解析】完成完成“组成无重复数字的三位密码组成无重复数字的三位密码”这件事这件事,可以分为三步可以分为三步:第一步第一步,选取左边第一个位置上的数字选取左边第一个位置上的数字,有有8 8种方法种方法;第二步第二步,选取左边第二个位置上的数字选取左边第二个位置上的数字,有有7 7种方法种方法;第三步第三步,选取左边第三个位置上的数字
5、选取左边第三个位置上的数字,有有6 6种种方法方法.由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,可以组成无重复数字的可以组成无重复数字的三位密码共有三位密码共有8 87 76=336(6=336(个个).).2.2.典例典例1(2)1(2)中将条件中将条件“8 8张卡片上写着张卡片上写着0,1,2,0,1,2,7,7共共8 8个数字个数字”,改为改为“4 4张卡片的正、反面分别写有张卡片的正、反面分别写有0 0与与1,21,2与与3,43,4与与5,65,6与与7”.7”.问可组成多少个不同的三位数问可组成多少个不同的三位数?【解析解析】要组成三位数要组成三位数,根据百位、十位、个位应分三根据百
6、位、十位、个位应分三步步:第一步第一步:百位可放百位可放8-1=78-1=7个数个数;第二步第二步:十位可放十位可放6 6个数个数;第三步第三步:个位可放个位可放4 4个数个数.故由分步乘法计数原理故由分步乘法计数原理,得共得共可组成可组成7 76 64=168(4=168(个个)不同的三位数不同的三位数.【方法总结方法总结】数字问题的解决方法及注意事项数字问题的解决方法及注意事项方法方法:对于组数问题对于组数问题,可从数位入手可从数位入手,逐位探究可能的选逐位探究可能的选取方法取方法,再利用两个原理计算再利用两个原理计算.一般按特殊位置一般按特殊位置(末位或末位或首位首位)由谁占领分类由谁占
7、领分类,分类中再按特殊位置分类中再按特殊位置(或特殊元素或特殊元素)优先的策略分步完成优先的策略分步完成;如果正面分类较多如果正面分类较多,可采用间接可采用间接法求解法求解.注意事项注意事项:解决组数问题解决组数问题,应特别注意其限制条件应特别注意其限制条件,有些有些条件是隐藏的条件是隐藏的,要善于挖掘要善于挖掘,排数时要注意特殊位置、排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则特殊元素优先的原则.【补偿训练补偿训练】用用0,1,2,3,40,1,2,3,4这这5 5个数字可以组成多少个数字可以组成多少个按下列要求的无重复数字个按下列要求的无重复数字?(1)(1)四位密码四位密码.(2)(2)四位
8、数四位数.(3)(3)四位奇数四位奇数.【解析解析】(1)(1)完成完成“组成无重复数字的四位密码组成无重复数字的四位密码”这件这件事事,分为四个步骤分为四个步骤:第一步第一步,取左边第一位上的数字取左边第一位上的数字,有有5 5种选取方法种选取方法;第二步第二步,取左边第二位上的数字取左边第二位上的数字,有有4 4种选取方法种选取方法;第三步第三步,取左边第三位上的数字取左边第三位上的数字,有有3 3种选取方法种选取方法;第四步第四步,取左边第四位上的数字取左边第四位上的数字,有有2 2种选取方法种选取方法.由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密码共有可以组成不同的四
9、位密码共有N=5N=54 43 32=120(2=120(个个).).(2)(2)方法一方法一:完成完成“组成无重复数字的四位数组成无重复数字的四位数”这件事这件事分为四个步骤分为四个步骤:第一步第一步,从从1,2,3,41,2,3,4中选取一个数字作千位数字中选取一个数字作千位数字,有有4 4种种选取方法选取方法;第二步、第三步、第四步与第二步、第三步、第四步与(1)(1)类似类似,分别有分别有4,3,24,3,2种选种选取方法取方法.由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位数共有可以组成不同的四位数共有N=4N=44 43 32=96(2=96(个个).).方法二方法二
10、:与第与第(1)(1)问的区别在于问的区别在于:四位密码首位可以是四位密码首位可以是0,0,而四位数首位不可以为而四位数首位不可以为0.0.因此因此,只需求首位为只需求首位为0 0的四位的四位密码有多少个密码有多少个,由由(1)(1)的总数减去首位为的总数减去首位为0 0的个数即为所的个数即为所求求.当首位是当首位是0 0时时,第二位有第二位有4 4种选取方法种选取方法,第三位有第三位有3 3种选取种选取方法方法,第四位有第四位有2 2种选取方法种选取方法,由分步乘法计数原理知由分步乘法计数原理知,首位是首位是0 0的四位密码共有的四位密码共有1 14 43 32=24(2=24(个个).).
11、故无重复数字的四位数共有故无重复数字的四位数共有120-24=96(120-24=96(个个).).(3)(3)完成完成“组成无重复数字的四位奇数组成无重复数字的四位奇数”这件事这件事,分两分两类方案类方案.第一类第一类:这个四位奇数的个位数字是这个四位奇数的个位数字是1,1,分三个步骤要去分三个步骤要去完成完成.第一步第一步,选取千位上的数字选取千位上的数字,有有3 3种种(从从2,3,42,3,4中选中选)不同不同选法选法;第二步第二步,选取百位上的数字选取百位上的数字,有有3 3种不同选法种不同选法;第三步第三步,选取十位上的数字选取十位上的数字,有有2 2种不同选法种不同选法.由分步乘
12、法计数原理知由分步乘法计数原理知,该类中四位奇数共有该类中四位奇数共有1 13 33 32=18(2=18(个个).).第二类第二类:这个四位奇数的个位数字是这个四位奇数的个位数字是3,3,也是分三个步骤也是分三个步骤去完成去完成.具体求法与个位数字是具体求法与个位数字是1 1时完全一样时完全一样,因而这样的奇数因而这样的奇数也是也是1818个个,由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知,共可组成无重复数共可组成无重复数字的四位奇数字的四位奇数18+18=36(18+18=36(个个).).类型二涂色问题类型二涂色问题【典例典例2 2】(1)(2017(1)(2017临沂高二检测临沂高二检测)
13、用五种不同的颜用五种不同的颜色给图中标有色给图中标有(1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4)的各个部分涂色的各个部分涂色,每部每部分涂一种颜色分涂一种颜色,相邻部分涂不同色相邻部分涂不同色,则涂色的方法共有则涂色的方法共有 ()A.96A.96种种B.320B.320种种 C.180C.180种种D.240D.240种种(2)(2)如图如图,一个地区分为一个地区分为5 5个行政区域个行政区域,现给地图着色现给地图着色,要要求相邻区域不得使用同一颜色求相邻区域不得使用同一颜色,现有现有4 4种颜色可供选择种颜色可供选择,则不同的着色方法共有则不同的着色方法共有_种种.(.(以
14、数字作答以数字作答)【解题指南解题指南】(1)(1)先涂区域先涂区域(3),(3),再涂其他再涂其他3 3个区域个区域.(2)(2)以同色与不同色分类讨论求解以同色与不同色分类讨论求解.【解析解析】(1)(1)选选B.B.分分4 4步步:第第1 1步先涂步先涂(3)(3)有有5 5种种,其余部分其余部分均有均有4 4种涂法种涂法,故总共有故总共有N=5N=54 44 44=320(4=320(种种).).(2)(2)第第1 1类类:当与同色时有当与同色时有4 43 32 22=482=48种不同的种不同的涂色方法涂色方法.第第2 2类类:当与不同色时当与不同色时,有有4 43 32 21 11
15、=241=24种不同种不同的涂色方法的涂色方法.故共有故共有48+24=7248+24=72种不同的涂色方法种不同的涂色方法.答案答案:7272【方法总结方法总结】涂色问题的三种求解方法涂色问题的三种求解方法(1)(1)按区域的不同以区域为主分步计数按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法并用分步乘法计数原理分析计数原理分析.(2)(2)以颜色为主分类讨论以颜色为主分类讨论,适用于适用于“区域、点、线段区域、点、线段”问题问题,用分类加法计数原理分析用分类加法计数原理分析.(3)(3)将空间问题平面化将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题转化为平面区域的涂色问题.【巩固训练巩固训练】如
16、图所示的如图所示的4 4块试验田块试验田,现有现有4 4种不同的作种不同的作物可供选择种植物可供选择种植,每块试验田种植一种作物每块试验田种植一种作物,相邻的试相邻的试验田验田(有公共边有公共边)不能种植同一种作物不能种植同一种作物,则不同的种植方则不同的种植方法有法有_种种.【解题指南解题指南】可分类完成此事件可分类完成此事件:A,D:A,D种相同作物种相同作物,A,D,A,D种不同作物两类种不同作物两类.【解析解析】依题意依题意,可分两类可分两类第一类第一类:若若A,DA,D种植同种作物种植同种作物,则则A,DA,D有有4 4种不同的种法种不同的种法,B,B有有3 3种种植方法种种植方法,
17、C,C也有也有3 3种种植方法种种植方法,由分步乘法计数原由分步乘法计数原理理,共有共有4 43 33=363=36种种植方法种种植方法.第二类第二类:若若A,DA,D种植不同作物种植不同作物,则则A A有有4 4种种植方法种种植方法,D,D有有3 3种种植方法种种植方法,B,B有有2 2种种植方法种种植方法,C,C有有2 2种种植方法种种植方法,由分步由分步乘法计数原理乘法计数原理,共有共有4 43 32 22=482=48种种植方法种种植方法.综上所综上所述述,由分类加法计数原理由分类加法计数原理,共有共有N=36+48=84N=36+48=84种种植方法种种植方法.答案答案:8484【补
18、偿训练补偿训练】如图所示如图所示,用用5 5种不同的颜料给种不同的颜料给4 4块图形块图形(A,B,C,D)(A,B,C,D)涂色涂色,要求共边两块颜色互异要求共边两块颜色互异,求有多少种不求有多少种不同的涂色方案同的涂色方案.【解析解析】方法一方法一:按按A,CA,C颜色相同或不同进行分类颜色相同或不同进行分类.若若A,CA,C颜色相同颜色相同,则则A A有有5 5种涂色方法种涂色方法,B,B有有4 4种涂色方法种涂色方法,D,D有有4 4种涂色方法种涂色方法,故共有故共有5 54 44=80(4=80(种种)涂法涂法.若若A,CA,C颜色不同颜色不同,则则A A有有5 5种涂色方法种涂色方
19、法,C,C有有4 4种涂色方法种涂色方法,B,B有有3 3种涂色方法种涂色方法,D,D有有3 3种涂色方法种涂色方法,故共有故共有5 54 43 33 3=180(=180(种种)涂法涂法.根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理,共有共有80+180=260(80+180=260(种种)不同的涂不同的涂色方案色方案.方法二方法二:按涂色种类进行分类按涂色种类进行分类.第一类第一类:涂涂4 4种颜色种颜色,分四步分四步,A,A有有5 5种涂法种涂法,B,B有有4 4种涂法种涂法,C,C有有3 3种涂法种涂法,D,D有有2 2种涂法种涂法.故共有故共有5 54 43 32=120(2=120(种
20、种)涂法涂法.第二类第二类:涂涂3 3种颜色种颜色,则则A,CA,C颜色相同或颜色相同或B,DB,D颜色相同颜色相同.当当A,CA,C颜色相同时颜色相同时,A,C,A,C有有5 5种涂法种涂法,B,B有有4 4种涂法种涂法,D,D有有3 3种种涂法涂法.故共有故共有5 54 43=60(3=60(种种)涂法涂法.当当B,DB,D颜色相同时颜色相同时,同理也有同理也有6060种不同的涂法种不同的涂法.故共有故共有60+60=120(60+60=120(种种)涂法涂法.第三类第三类:涂涂2 2种颜色种颜色,则则A,CA,C颜色相同颜色相同,B,D,B,D颜色相同颜色相同,A,C,A,C有有5 5种
21、涂法种涂法,B,D,B,D有有4 4种涂法种涂法.故共有故共有5 54=20(4=20(种种)涂法涂法.根据分类加法计数原理根据分类加法计数原理,共有共有120+120+20=260(120+120+20=260(种种)不同不同的涂色方案的涂色方案.类型三简单的选类型三简单的选(抽抽)取问题取问题【典例典例3 3】(1)(2017(1)(2017郑州高二检测郑州高二检测)某地政府召集某地政府召集5 5家家企业的负责人开会企业的负责人开会,其中甲企业有其中甲企业有2 2人到会人到会,其余其余4 4家企家企业各有业各有1 1人到会人到会,会上有会上有3 3人发言人发言,则这则这3 3人来自人来自3
22、 3家不同家不同企业的可能情况的种数为企业的可能情况的种数为()A.14A.14B.16B.16C.20C.20D.48D.48(2)(2017(2)(2017南昌高二检测南昌高二检测)现准备将现准备将6 6台型号相同的电台型号相同的电脑分配给脑分配给5 5所小学所小学,其中其中A,BA,B两所希望小学每个学校至少两所希望小学每个学校至少2 2台台,其他小学允许其他小学允许1 1台也没有台也没有,则不同的分配方案共有则不同的分配方案共有多少种多少种?【解题指南解题指南】(1)(1)可以分成两类可以分成两类,一类是甲企业有一类是甲企业有1 1人发人发言另两个发言人出自其余言另两个发言人出自其余4
23、 4家企业家企业;一类是一类是3 3人全来自人全来自4 4家企业家企业.(2)(2)以以A,BA,B两所希望小学所得电脑数为标准分类求解两所希望小学所得电脑数为标准分类求解.【解析解析】(1)(1)选选B.B.分两类分两类,第一类第一类:甲企业有甲企业有1 1人发言人发言,有有2 2种情况种情况,另两个发言人出自其余另两个发言人出自其余4 4家企业家企业,有有6 6种情况种情况,由分步乘由分步乘法计数原理法计数原理N N1 1=2=26=12;6=12;第二类第二类:3:3人全来自人全来自4 4家企业家企业,有有4 4种情况种情况.综上可知综上可知,有有N=NN=N1 1+N+N2 2=12+
24、4=16(=12+4=16(种种)情况情况.(2)(2)根据题意根据题意,先给先给A,BA,B两所希望小学分配电脑两所希望小学分配电脑,若每若每个学校个学校2 2台台,由于电脑型号相同由于电脑型号相同,故只有故只有1 1种情况种情况,其次将其次将剩余的剩余的2 2台电脑分给其他台电脑分给其他3 3所小学所小学,若一所小学若一所小学2 2台台,其他其他的没有的没有,有有3 3种情况种情况,若若2 2所小学各所小学各1 1台台,其他的一所小学没有其他的一所小学没有,有有3 3种情况种情况,共共1 1(3+3)=6(3+3)=6种情况种情况.若若A,BA,B两所希望小学其中一所得两所希望小学其中一所
25、得3 3台台,另一所另一所2 2台台,有有2 2种情况种情况,其次将剩余的其次将剩余的1 1台电脑分给其他台电脑分给其他3 3所小学所小学,有有3 3种种情况情况,共共3 32=62=6种情况种情况,若给若给A,BA,B两所希望小学各分配两所希望小学各分配3 3台电脑台电脑,有有1 1种情况种情况,若若A,BA,B两所希望小学其中一所得两所希望小学其中一所得4 4台台,另一所另一所2 2台台,有有2 2种情况种情况,综上可得综上可得,共共6+6+1+2=156+6+1+2=15种不同的分配方案种不同的分配方案.【方法总结方法总结】选选(抽抽)取问题的解答策略取问题的解答策略对于选对于选(抽抽)
26、取问题取问题,一般带有某些限制条件一般带有某些限制条件,其解答方其解答方法是法是:(1)(1)当数目不大时当数目不大时,可用枚举法可用枚举法.为保证不重不漏为保证不重不漏,可用可用树形图法、框图法及表格法进行枚举树形图法、框图法及表格法进行枚举.(2)(2)当数目较大时当数目较大时,符合条件的情况较多时符合条件的情况较多时,可用间接法可用间接法计数计数.但一般还是根据选但一般还是根据选(抽抽)顺序分步顺序分步,根据选根据选(抽抽)元元素特点分类素特点分类,利用两个计数原理进行解决利用两个计数原理进行解决.【巩固训练巩固训练】(1)(1)设某班有男生设某班有男生2525名名,女生女生3030名名
27、.现要从现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种共有多少种不同的选法不同的选法?(2)(2)用三只口袋装小球用三只口袋装小球,一只装有一只装有5 5个白色小球个白色小球,一只装一只装有有6 6个黑色小球个黑色小球,另一只装有另一只装有7 7个红色小球个红色小球,若每次从中若每次从中取两个不同颜色的小球取两个不同颜色的小球,共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法?【解析解析】(1)(1)第第1 1步步,从从2525名男生中选出名男生中选出1 1人人,有有2525种不同种不同的选法的选法;第第2 2步步,从从3030名女生中选出名女生中选出1 1
28、人人,有有3030种不同的选种不同的选法法.根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理,共有共有N=30N=3025=75025=750种不同种不同的选法的选法.(2)(2)第一类办法第一类办法:取白球、黑球取白球、黑球,共有共有N N1 1=5=56=306=30种取法种取法;第二类办法第二类办法:取黑球、红球取黑球、红球,共有共有N N2 2=6=67=427=42种取法种取法;第三类办法第三类办法:取红球、白球取红球、白球,共有共有N N3 3=7=75=355=35种取法种取法.由分类加法计数原理由分类加法计数原理,共有共有N=30+42+35=107N=30+42+35=107种不同的
29、取种不同的取法法.【补偿训练补偿训练】为举行某活动招募了为举行某活动招募了2020名志愿者名志愿者,他们他们的编号分别是的编号分别是1 1号、号、2 2号、号、1919号、号、2020号号.若要从中任若要从中任意选取意选取4 4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作作,其中两个编号较小的人在一组其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在两个编号较大的在另一组另一组.那么确保那么确保5 5号与号与1414号入选并被分配到同一组的号入选并被分配到同一组的选取种数有多少选取种数有多少?【解题指南解题指南】解决问题的关键是分析出解决问题的关键是分析出5 5
30、号与号与1414号分到号分到一组对所选号码的限制一组对所选号码的限制,再选取需要的号码即可再选取需要的号码即可.【解析解析】要要“确保确保5 5号与号与1414号入选并被分配到同一组号入选并被分配到同一组”,则另外两人的编号或都小于则另外两人的编号或都小于5 5或都大于或都大于14.14.第一类第一类:从从1 14 4号中选取两人号中选取两人,有有(1,2),(1,3),(1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)(2,3),(2,4),(3,4)共共6 6种选取方法种选取方法;第二类第二类:从从15152020号中选取两人号中选取两人,有有(15,16)
31、,(15,17),(15,16),(15,17),(15,18),(15,19),(15,20),(16,17),(16,18),(15,18),(15,19),(15,20),(16,17),(16,18),(16,19),(16,20),(17,18),(17,19),(17,20),(16,19),(16,20),(17,18),(17,19),(17,20),(18,19),(18,20),(19,20)(18,19),(18,20),(19,20)共共1515种选取方法种选取方法.由分类加法计数原理由分类加法计数原理,共有不同的选取方法共有不同的选取方法6+15=21(6+15=21(种种).).
