1、1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列的概念及简单排列问题主题排列的概念主题排列的概念问题问题1 1从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名演员中选出名演员中选出2 2名参加一项活动名参加一项活动,其中其中1 1名演员参加上午的活动名演员参加上午的活动,另另1 1名演员参加下午的活名演员参加下午的活动动,有多少种不同的安排方法有多少种不同的安排方法?(1)(1)该问题能用分步乘法计数原理求解吗该问题能用分步乘法计数原理求解吗?提示提示:能能,分两步分两步.第第1 1步步,确定参加上午活动的演员确定参加上午活动的演员,有有3 3种种;第第2 2步步,确定参加下午活动的演员确定参加下午活动的演员,有有
2、2 2种种.所以共有所以共有3 32=62=6种种.(2)(2)如果把上午甲下午乙表示为如果把上午甲下午乙表示为“甲乙甲乙”,你能列举出你能列举出所有的不同的安排方法吗所有的不同的安排方法吗?提示提示:问题问题2 2从从1,2,31,2,3这这3 3个数字中个数字中,每次取出每次取出3 3个排成一个三个排成一个三位数位数,共可得到多少个不同的三位数共可得到多少个不同的三位数?(1)(1)你能列出所有的三位数吗你能列出所有的三位数吗?提示提示:如图所示如图所示:所有的三位数有所有的三位数有:123,132,213,231,312,321.:123,132,213,231,312,321.(2)(
3、2)该问题用分步乘法计数原理如何求解该问题用分步乘法计数原理如何求解?提示提示:分分3 3步步,第第1 1步步,确定百位确定百位,有有3 3种方法种方法;第第2 2步步,确定十位确定十位,有有2 2种方法种方法;第第3 3步步,确定个位确定个位,有有1 1种方法种方法.共有共有3 32=62=6个个.结论结论:排列的概念排列的概念:一般地一般地,从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn)个元素个元素,按照按照一定的一定的_排成一列排成一列,叫做从叫做从_个不同元素中取出个不同元素中取出_个个元素的一个元素的一个_._.顺序顺序n nm m排列排列【微思考微思考】1.1.排列的
4、定义包含哪两项基本内容排列的定义包含哪两项基本内容?提示提示:一是一是“从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素”,二是二是“按照一定的顺序按照一定的顺序”.2.2.元素相同的两个排列是否相同元素相同的两个排列是否相同?两个排列相同的充要两个排列相同的充要条件是什么条件是什么?提示提示:元素相同的两个排列不一定相同元素相同的两个排列不一定相同.两个排列相同两个排列相同的充要条件是元素完全相同的充要条件是元素完全相同,且元素的排列顺序也相同且元素的排列顺序也相同.【预习自测预习自测】1.1.从从1,2,3,41,2,3,4这这4 4个数字中个数字中,每次取出每次取出2 2个排
5、成一个两位个排成一个两位数数,可以得到多少个不同的两位数可以得到多少个不同的两位数()A.12A.12B.24B.24C.8C.8D.16D.16【解析解析】选选A.A.树形图如图树形图如图.故共有故共有1212个不同的两位数个不同的两位数.2.2.下列问题中下列问题中:(1)10(1)10本不同的书分给本不同的书分给1010名同学名同学,每人一本每人一本.(2)10(2)10位同学每两位通一次电话位同学每两位通一次电话.(3)10(3)10位同学互通一封信位同学互通一封信.(4)10(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有属于排列的有()A.1
6、A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个【解析解析】选选B.B.根据排列的概念可知根据排列的概念可知(1)(3)(1)(3)属于排列问属于排列问题题.3.3.从从5 5本不同的书中选本不同的书中选2 2本送给本送给2 2个同学每人一本个同学每人一本,共有共有给法种数是给法种数是()A.5A.5B.10B.10C.20C.20D.60D.60【解析解析】选选C.C.分两步分两步,第第1 1步步,选选1 1本给其中一个同学有本给其中一个同学有5 5种方法种方法,第第2 2步步,从余下从余下4 4本中选本中选1 1本给另一同学有本给另一同学有4 4种方种方法法,共有共有5 54=2
7、04=20种种.4.4.从从5 5个人中选取个人中选取2 2个人去完成某项工作个人去完成某项工作,这这_排排列问题列问题.(.(填填“是是”或或“不是不是”)【解析解析】甲和乙去甲和乙去,与乙和甲去完成这项工作是同一种与乙和甲去完成这项工作是同一种选法选法.答案答案:不是不是5.5.从从5 5名教师中选派两人到两个中学去支教名教师中选派两人到两个中学去支教,问有多少问有多少种不同的选派方法种不同的选派方法?(?(仿照教材仿照教材P14P14问题问题1 1的解析过程的解析过程)【解析解析】记记5 5名教师为名教师为a,b,c,d,ea,b,c,d,e,从中取从中取2 2个个,不同的排不同的排法代
8、表不同的选派方法法代表不同的选派方法,故排法共有故排法共有:ab,ac,ad,ae,bcab,ac,ad,ae,bc,bd,bebd,be,cd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,edcd,ce,de,ba,ca,da,ea,cb,db,eb,dc,ec,ed,共共2020种种.类型一排列的概念类型一排列的概念【典例典例1 1】判断下列问题是否是排列问题判断下列问题是否是排列问题(1)(1)从从1 1到到1010十个自然数中任取两个数组成直角坐标平十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标面内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标可得多少个不同的点的坐标?
9、(2)(2)从从2020名同学中任抽两名同学去学校开座谈会名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多有多少种不同的抽取方法少种不同的抽取方法?(3)(3)某商场有四个大门某商场有四个大门,若从一个门进去若从一个门进去,购买物品后再购买物品后再从另一个门出来从另一个门出来,不同的出入方式共有多少种不同的出入方式共有多少种?【解题指南解题指南】判断是否为排列问题的关键判断是否为排列问题的关键:一是选出的一是选出的元素互不相同元素互不相同,二是选出的元素在安排时二是选出的元素在安排时,是否与顺序是否与顺序有关有关,若与顺序有关就是排列问题若与顺序有关就是排列问题,否则不是排列问题否则不是排列问题.【解
10、析解析】(1)(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标横坐标,哪一数作纵坐标的顺序有关哪一数作纵坐标的顺序有关,所以这是一个排所以这是一个排列问题列问题.(2)(2)因为任何一种从因为任何一种从2020名同学抽取两人去学校开座谈会名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序的方式不用考虑两人的顺序,所以这不是排列问题所以这不是排列问题.(3)(3)因为从一门进因为从一门进,从另一门出是有顺序的从另一门出是有顺序的,所以是排列所以是排列问题问题.所以所以(1)(3)(1)(3)是排列问题是排列问题,(2),(2)不是排列问题不是排列问题.【方法
11、总结方法总结】判断一个具体问题是否为排列问题的方判断一个具体问题是否为排列问题的方法法确认一个具体问题是否为排列问题确认一个具体问题是否为排列问题,一般从两个方面确一般从两个方面确认认.(1)(1)要保证元素的无重复性要保证元素的无重复性,否则不是排列问题否则不是排列问题.(2)(2)要保证选出的元素被安排的有序性要保证选出的元素被安排的有序性,否则不是排列否则不是排列问题问题,而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置元素的位置,看结果是否变化看结果是否变化,有变化就是有顺序有变化就是有顺序,无变无变化就是无顺序化就是无顺序.【巩固训练巩固
12、训练】下列问题是排列问题吗下列问题是排列问题吗?说明你的理由说明你的理由.(1)(1)从从1,2,31,2,3三个数字中三个数字中,任选两个做加法任选两个做加法,其结果有多其结果有多少种不同的可能少种不同的可能?(2)(2)从从1,2,31,2,3三三个数字中个数字中,任选两个做除法任选两个做除法,其结果有多其结果有多少种不同的可能少种不同的可能?(3)(3)会场有会场有5050个座位个座位,要求选出要求选出3 3个座位有多少种方法个座位有多少种方法?若选出若选出3 3个座位安排个座位安排3 3个客人个客人,又有多少种方法又有多少种方法?(4)(4)从集合从集合M=1,2,M=1,2,9,9中
13、中,任取相异的两个元素作为任取相异的两个元素作为a,ba,b,可以得到多少个焦点在可以得到多少个焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆 =1?=1?2222xyab【解析解析】(1)(1)不是不是.如如1+21+2与与2+12+1的结果是一样的的结果是一样的,即取出即取出的这两个元素相加结果一样的这两个元素相加结果一样,所取元素没有顺序性所取元素没有顺序性.(2)(2)是是.从从1,2,3,51,2,3,5四个数字中四个数字中,任选两个做除法任选两个做除法,有顺序有顺序,符合排列特点符合排列特点.(3)(3)第一问不是第一问不是,第二问是第二问是.选座位与顺序无关选座位与顺序无关,“,“入入座座”问
14、题问题,与顺序有关与顺序有关,故选故选3 3个座位安排三位客人是排个座位安排三位客人是排列问题列问题.(4)(4)不是不是.若方程若方程 表示焦点在表示焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆,则必则必有有aab,a,bb,a,b的大小一定的大小一定,因此这不是排列问题因此这不是排列问题.2222xy=1ab【补偿训练补偿训练】(2017(2017大连高二检测大连高二检测)(1)(1)在各国举行的在各国举行的足球联赛中足球联赛中,一般采取一般采取“主客场制主客场制”(即每两个球队之即每两个球队之间分别作为主队和客队各赛一场间分别作为主队和客队各赛一场).).若共有若共有1212支球队参支球队参赛赛,问
15、共需进行多少场比赛问共需进行多少场比赛?(2)(2)在在“世界杯世界杯”足球赛中足球赛中,由于由东道主国家承办由于由东道主国家承办,故故无法实行无法实行“主客场制主客场制”,而采用而采用“分组循环淘汰制分组循环淘汰制”.若共有若共有3232支球队参加支球队参加,分为八组分为八组,每组每组4 4支球队进行小组支球队进行小组循环循环,问在小组循环中共需进行多少场比赛问在小组循环中共需进行多少场比赛?(3)(3)在乒乓球单打比赛中在乒乓球单打比赛中,由于参赛选手较多由于参赛选手较多,故常采取故常采取“抽签组对淘汰制抽签组对淘汰制”决出冠军决出冠军.若共有若共有100100名选手参赛名选手参赛,待冠待
16、冠军产生时军产生时,共需举行多少场比赛共需举行多少场比赛?在上述三个问题中在上述三个问题中,是排列问题的是是排列问题的是_._.【解析解析】对于对于(1),(1),由于甲、乙两队比赛由于甲、乙两队比赛,甲作为主队和甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛乙作为主队是两场不同的比赛,故与顺序有关故与顺序有关,是排列是排列问题问题;对于对于(2),(2),由于是组内循环由于是组内循环,故甲、乙两队之间只需进行故甲、乙两队之间只需进行一场比赛一场比赛,与顺序无关与顺序无关,不是排列问题不是排列问题;对于对于(3),(3),由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位,故故也
17、与顺序无关也与顺序无关,不是排列问题不是排列问题.答案答案:(1)(1)类型二写出简单排列问题的所有排列类型二写出简单排列问题的所有排列【典例典例2 2】北京、上海、广州三个民航站之间的直达航北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线线,需要准备多少种不同的飞机票需要准备多少种不同的飞机票?【解题指南解题指南】借助树形图列举出排列的所有情况借助树形图列举出排列的所有情况.【解析解析】需要准备如下需要准备如下6 6种不同的飞机票种不同的飞机票:【方法总结方法总结】“树形图树形图”法写出排列的步骤法写出排列的步骤(1)(1)确定分类的标准确定分类的标准.(2)(2)按要求写出每类中的首个元素按要求写
18、出每类中的首个元素.(3)(3)依次进行罗列依次进行罗列.【巩固训练巩固训练】有有5 5个不同的科研小课题个不同的科研小课题,从中选从中选3 3个由高个由高二二(6)(6)班的班的3 3个学习兴趣小组进行研究个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题每组一个课题,共有多少种不同的安排方法共有多少种不同的安排方法?【解析解析】记这记这5 5个不同的科研小课题为个不同的科研小课题为a,b,c,d,ea,b,c,d,e,从中从中选选3 3个分给个分给3 3个小组个小组,列出树形图如图列出树形图如图.故共有故共有6060种不同的安排方法种不同的安排方法.【补偿训练补偿训练】A A、B B、C C、D D四名
19、同学排成一行照相四名同学排成一行照相,要求要求自左向右自左向右,A,A不排第一不排第一,B,B不排第四不排第四,试写出所有排列方法试写出所有排列方法.【解析解析】因为因为A A不排第一不排第一,排第一位的情况有排第一位的情况有3 3类类(可从可从B B、C C、D D中任选一人排中任选一人排),),而此时兼顾分析而此时兼顾分析B B的排法的排法,列树形列树形图如图图如图.符合题意的所有排列是符合题意的所有排列是:BADC,BACD,BCAD,BCDA,:BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBDAC
20、,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA.BA.共共1414种不同的排法种不同的排法.类型三有限制条件的排列问题类型三有限制条件的排列问题【典例典例3 3】由由0,1,2,30,1,2,3四个数字共能组成多少个没有重四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数复数字的四位数?试全部列出试全部列出.【解题指南解题指南】可借助于树形图列举出排列的所有情况可借助于树形图列举出排列的所有情况,注意首位不能是注意首位不能是0.0.【解析解析】画出树形图如下画出树形图如下:由树形图可知由树形图可知,所有四位数为所有四位数为:1023,1032,1203,12
21、30,1302,1320,1023,1032,1203,1230,1302,1320,2013,2031,2103,2130,2301,2310,2013,2031,2103,2130,2301,2310,3012,3021,3102,3120,3201,3210.3012,3021,3102,3120,3201,3210.共有共有1818个个.【延伸探究延伸探究】1.1.问能组成多少个没有重复数字的四位偶数问能组成多少个没有重复数字的四位偶数?【解析解析】画出树形图如下画出树形图如下:第第1 1类类0 0在个位在个位:第第2 2类类2 2在个位在个位:所以所有四位偶数为所以所有四位偶数为:1
22、230,1320,3210,3120,2130,2310,1302,1032,3102,1230,1320,3210,3120,2130,2310,1302,1032,3102,3012.3012.共有共有1010个个.2.2.问能组成多少个四位偶数问能组成多少个四位偶数(数字可以重复数字可以重复)?)?【解析解析】所有的偶数可分为两类所有的偶数可分为两类:第第1 1类类,个位数为个位数为0,0,可分为可分为3 3步步:第第1 1步步,排千位有排千位有3 3种方法种方法;第第2 2步步,排百位有排百位有4 4种方法种方法;第第3 3步步,排十位有排十位有4 4种方法种方法.共有共有3 34 4
23、4=484=48种方法种方法.第第2 2类类,个位数为个位数为2,2,可分为可分为3 3步步:第第1 1步步,排千位排千位,从从1,2,31,2,3中选有中选有3 3种方法种方法;第第2 2步步,排百位排百位,从从0,1,2,30,1,2,3中选有中选有4 4种方法种方法;第第3 3步步,排十位排十位,从从0,1,2,30,1,2,3中选有中选有4 4种方法种方法.共有共有3 34 44=484=48种方法种方法.故共有故共有48+48=9648+48=96个个.【方法总结方法总结】用树形图法解有限制条件问题的策略用树形图法解有限制条件问题的策略(1)(1)有限制条件的排列问题一般表现为有限制
24、条件的排列问题一般表现为:某些元素不能某些元素不能在某个在某个(或某些或某些)位置、某个位置、某个(或某些或某些)位置只能放某些位置只能放某些元素元素.(2)(2)解有限制条件的排列问题时解有限制条件的排列问题时,要优先处理特殊元素要优先处理特殊元素或先处理特殊位置或先处理特殊位置,做到做到“想透、排够、不重不漏想透、排够、不重不漏”.(3)(3)根据题意合理构造树形图根据题意合理构造树形图,再根据树形图写出所求再根据树形图写出所求内容内容.【补偿训练补偿训练】A,B,C,DA,B,C,D四名同学重新换位四名同学重新换位(每个同学都每个同学都不能坐其原来的位子不能坐其原来的位子),),试列出所
25、有可能的换位方法试列出所有可能的换位方法.【解题指南解题指南】本题是一个有限制条件的排列问题本题是一个有限制条件的排列问题;假设假设A,B,C,DA,B,C,D四名同学原位子分别为四名同学原位子分别为1,2,3,41,2,3,4号号,则有如下限则有如下限制条件制条件:解答本题可以按位置排法的可能性分类解答本题可以按位置排法的可能性分类,列树形图解决列树形图解决【解析解析】假设假设A,B,C,DA,B,C,D四名同学原来的位子分别为四名同学原来的位子分别为1,2,3,41,2,3,4号号,列出树形图如下列出树形图如下:位置编号位置编号换位后换位后,原来原来1,2,3,41,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排号座位上坐的同学的所有可能排法有法有:BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,:BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA,DCBA,共共9 9种种.【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结树形图法树形图法将第一、二将第一、二元素依次作为树干、树枝元素依次作为树干、树枝从而写从而写出所有排列的方法出所有排列的方法.
