1、第3章3.1弧度制与任意角3.1.1角的概念的推广 学习目标 1.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.2.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功1手表慢了5分钟,如何校准？手表快了半小时,又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30；可将时针逆时针方向旋转180.2在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角3初中所学角的范围是什么？答角的范围是0,360 知识链接 1角的
2、概念(1)角的定义：角可以看成平面内 绕着 从一个位置 到另一个位置所成的图形(2)角的表示方法：常用大写字母 等表示；也可以用希腊字母 ,等表示；特别是当角作为变量时,常用字母 表示 预习导引 一条射线端点旋转A,B,C x(3)角的分类：一条射线绕着端点以 的旋转为正向,所成的角称为 ,用 来表示；旋转所成的角称为 ,用负的角度来表示；不旋转所成的角称为 ,用 表示逆时针方向正角正的角度顺时针方向负角零角02象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限3终边相同的角设
3、AOB,则所有以OA为始边,OB为终边的角都是与_的和,组成集合 ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与 的和.第几象限角整数个周角整数个周角S|k360,kZ例1在下列说法中：090的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；钝角都是第二象限角；小于90的角都是锐角.其中错误说法的序号为_要点一任意角概念的辨析解析090的角是指090,0角不属于任何象限,所以不正确.120是第二象限角,390是第一象限角,显然390120,所以不正确.钝角的范围是90180,显然是第二象限角,所以正确.锐角的范围是090,小于90的角也可以是零角或负角,所以不正确.答案规律方法判断说法错误,只需举一个反
4、例即可.解决本题关键在于正确理解各类角的定义.随着角的概念的推广,对角的认识不能再停留在初中阶段,否则判断容易错误.跟踪演练1设A小于90的角,B锐角,C第一象限角,D小于90而不小于0的角,那么有()A.B C A B.B A CC.D (AC)D.CDB解析锐角、090的角、小于90的角及第一象限角的范围,如下表所示.角集合表示锐角B|090090的角D|090小于90的角A|90第一象限角C|k360k36090,kZ答案D要点二象限角的判定例2在0360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因为15036021
5、0,所以在0360范围内,与150角终边相同的角是210角,它是第三象限角.(2)因为650360290,所以在0360范围内,与650角终边相同的角是290角,它是第四象限角.(3)因为95015336012945,所以在0360范围内,与95015角终边相同的角是12945角,它是第二象限角.规律方法本题要求在0360范围内,找出与已知角终边相同的角,并判断其为第几象限角,这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.跟踪演练2给出下列四个说法：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315是第一象限角,其中正确的有()A.1个 B.2个 C.3个
6、D.4个解析对于：如图1所示,75角是第四象限角；对于：如图2所示,225角是第三象限角；对于：如图3所示,475角是第二象限角；对于：如图4所示,315角是第一象限角.答案D要点三终边相同的角的应用例3在与角10 030终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360720的角.解(1)与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ),由360k36010 0300,得10 390k36010 030,解得k28,故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360,得10 030k3609 670,解得k27,故所求的最小正角为
7、310.(3)由360k36010 030720,得9 670k3609 310,解得k26,故所求的角为670.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.跟踪演练3写出与1 910终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式720360的元素写出来.解由终边相同的角的表示知与角1 910终边相同的角的集合为：|k3601 910,kZ.720360,即720k3601 910360(kZ),k4时,43601 910470；k5时,53601 910110；k6时,63601 910250.要点四区域角的表示例4 写
8、出终边落在阴影部分的角的集合.解设终边落在阴影部分的角为,角的集合由两部分组成.|k36030k360105,kZ.|k360210k360285,kZ.角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105,kZ|k360210k360285,kZ|2k180302k180105,kZ|(2k1)18030(2k1)180105,kZ|2k180302k180105,或(2k1)18030(2k1)180105,kZ|n18030n180105,nZ.规律方法解答此类题目应先在0360上写出角的集合,再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实
9、线边界与虚线边界的差异.跟踪演练4已知集合A|k18030k18090,kZ,集合B|k36045k36045,kZ.求：(1)AB；(2)AB.解 在直角坐标系中,分别画出集合A,B所包含的区域,结合图形可知,AB|30k36045k360,kZ,AB|k36045k36090或k360210k360270,kZ.1.361的终边落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D2.集合A|k9036,kZ,B|180180,则AB等于()A.36,54 B.126,144C.126,36,54,144 D.126,54解析令180k9036180,则144k90216,当k1,
10、0,1,2时,不等式均成立,所对应的角分别为126,36,54,144,故选C.C3.若角满足180360,角5与有相同的始边,且又有相同的终边,那么角_.解析由于5与的始边和终边相同,所以这两角的差应是360的整数倍,即54k360.又180360,令k3,得270.2704.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1|k180,kZ；终边落在y轴上的角的集合：S2|k18090,kZ；终边落在坐标轴上的角的集合：SS1S2|k180,kZ|k18090,kZ|2k90,kZ|(2k1)90,kZ|n90,nZ.1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同角的认识一般地,若角始边与x轴非负半轴重合,则所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S|k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.课堂小结注意：(1)为任意角；(2)k360与之间是“”号,k360可理解为k360()；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360的整数倍；(4)kZ这一条件不能少.
