1、2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和一二三一、数列的前n项和【问题思考】1.填空:数列的前n项和对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an.2.做一做:已知数列an的通项公式an=n2+1,若其前n项和为Sn,则S3=.解析an=n2+1,a1=2,a2=5,a3=10,S3=a1+a2+a3=17.答案17一二三二、等差数列的前n项和【问题思考】1.高斯求和的故事我们一定耳熟能详,高斯是怎样求出1+2+3+100的结果的呢?2.如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多1根
2、,最下面的一层有9根.问题(1):一共有几层?图形的横截面是什么形状?问题(2):假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样一共有多少根钢管?问题(3):原来有多少根钢管?问题(4):能否利用这种方法推导等差数列an的前n项和公式Sn=a1+a2+an?一二三三、数列中an与Sn的关系【问题思考】1.若已知数列an的前n项和为Sn,则Sn-1表示什么?an与Sn,Sn-1之间的关系是什么?提示Sn-1表示数列an前(n-1)项的和;an=Sn-Sn-1(n2).判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若等差数列an的前n项和为Sn,则S10+S20=
3、S30.()(2)公式an=Sn-Sn-1成立的条件是nN*.()(3)若数列an的前n项和Sn=4,则an不是等差数列.()(4)若数列an的前n项和Sn=kn(kR),则an为常数列.()(5)等差数列an的前n项和Sn一定是关于n的二次函数.()答案(1)(2)(3)(4)(5)12【例1】(1)设Sn是等差数列an的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9=.(2)设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=.(3)在等差数列an中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=.思路分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.12反思感悟利用an与Sn的关系求数列an的通项公式.已知an与Sn的关系式求an时可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列an是等差数列或其他数列,求出其通项公式.
