1、 第 二 章空间向量与立体几何空间向量与立体几何本章高效整合本章高效整合知能整合提升知能整合提升1空间向量的概念与运算空间向量的概念与运算(1)空间向量的有关定理空间向量的有关定理共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0，ab的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数，使得，使得ab.共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么不共线，那么向量向量p与向量与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有共面的充要条件是存在唯一的有序实数对序实数对(x，y)，使，使pxayb.空间向量基本定理：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量a，b，
2、c不共面不共面，那么对空间任一向量，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得pxaybzc.其中，其中，a，b，c叫做空间叫做空间的一个基底的一个基底两向量的数量积两向量的数量积两个非零向量两个非零向量a，b的数量积的数量积ab|a|b|cosa，b向量的数量积的性质向量的数量积的性质(e是单位向量是单位向量)ae|a|cosa，e；)abab0；)|a|2aaa2；)|ab|a|b|.向量的数量积满足如下运算律：向量的数量积满足如下运算律：)(ab(ab)；)abba(交换律交换律)；)a(bc)abac(分配律分配律)2平行与垂直关系的证明平行与垂直关系的
3、证明(1)利用向量处理平行问题利用向量处理平行问题空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可以用向量方法来研究具体情况如下：以用向量方法来研究具体情况如下：设设a，b是两条不重合的直线，它们的方向向量是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为分别为a，b，那么，那么abab.根据实数与向量积根据实数与向量积的定义：的定义：abakb(kR，k0)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面平行：设两个不重合的平面
4、，的法向量分别为的法向量分别为a，b，那么，那么ab.(2)利用向量处理垂直问题利用向量处理垂直问题空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量垂直的问题来解决为空间两个向量垂直的问题来解决设设a，b分别为直线分别为直线a，b的一个方向向量，那么的一个方向向量，那么ababab0；设设a，b分别为平面分别为平面，的一个法向量，那么的一个法向量，那么abab0；设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为b，那么那么lab.此外，也可证明此外，也可证明l的方向向量与平的方向向量与平面面内两条相交直线所对应的方向向量
5、垂直内两条相交直线所对应的方向向量垂直热点考点例析热点考点例析答案：答案：(1)A思维点击思维点击证明平行问题，除了应用传统的线线证明平行问题，除了应用传统的线线平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的平行的判定定理外，还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明法向量进行证明证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效理外，还可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法的方法利用空间向量解立体几何问题，优点是思维量小，利用空间向量解立体几何问题，优点是思维量小，缺点是计算量大缺点是计算量大思维点击思维点击建
6、立坐标系，通过向量坐标运算、数量建立坐标系，通过向量坐标运算、数量积为零证明积为零证明D1EA1D；求出平面；求出平面ACD1的法向量，代的法向量，代入公式求解入公式求解答案：答案：A2若两个不同平面若两个不同平面，的法向量分别为的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则，则()A BC，相交但不垂直相交但不垂直 D以上均不正确以上均不正确解析：解析：v3u，vu.故故.答案：答案：A答案：答案：C答案：答案：D答案：答案：216平面平面的法向量为的法向量为(1,0，1)，平面，平面的法向量为的法向量为(0，1,1)，则平面，则平面与平面与平面的夹角的大小为的夹角的大小为_(3)设设u是平面是平面的法向量，的法向量，a是直线是直线l的方向向量，的方向向量，判断直线判断直线l与平面与平面的位置关系：的位置关系：u(2,2，1)，a(3,4,2)u(0,2，3)，a(0，8,12)
