1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节调节 合适的观看比例合适的观看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 40 40 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 一、解答题 1.(2019全国卷理科T19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线 l与C的交点为A,B,与x轴 的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程. (2)若=3,求|AB|. 【命题意图】 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问
2、题,涉及平面向量、弦长公式的应用. 关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过根与系数的关系构造等量关系. 【解析】设直线l:y= x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得F( ),故|AF|+|BF|=x1+x2+ , 由题设可得x1+x2= . 由 可得 9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则x1+x2=- - . 从而- - = ,得 t=- . 所以l的方程为y= x- . (2)由=3可得y1=-3y2. 由 可得y2-2y+2t=0. 所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2= . 故|AB|= .
3、2.(2019全国卷理科T21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- . 记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程,并说明C是什么曲线. (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G. ()证明:PQG是直角三角形; ()求PQG面积的最大值. 【命题意图】 考查曲线与方程的关系、 轨迹方程的求解、 直线与曲线的关系,弦长公式的运用和最值的求解, 较难题. 【解析】(1)由题设得 - =- ,化简得 + =1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆, 不含左右顶点. (2)()
4、设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0). 由 得 x= .记 u= , 则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为 ,方程为 y= (x-u).由 - 得 (2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. 设G(xG,yG),则-u和xG是方程的解,故xG= ,由此得yG= .从而直线 PG的斜率为 - - =- . 所以PQPG,即PQG是直角三角形. ()由()得|PQ|=2u ,|PG|= , 所以PQG的面积S= |PQPG|= = ( ) ( ) . 设t=k+ ,则由 k0 得t2,当且仅当k=1 时取等号. 因为S= 在2,+)单调递减,所
5、以当 t=2,即k=1 时,S取得最大值,最大值为 . 因此,PQG面积的最大值为 . 3.(2019天津高考理科T18)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为 4,离 心率为 . (1)求椭圆的方程. (2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若 |ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率. 【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,
6、2b=4, = ,又a2=b2+c2,可得a= ,b=2,c=1. 所以,椭圆的方程为 + =1. (2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为 y=kx+2,与椭圆方程联立 整理得(4+5k 2)x2+20kx=0,可得xP=- ,代入 y=kx+2 得 yP= - ,进而直线 OP的斜率 = - - .在y=kx+2中,令y=0,得xM=- .由题意得 N(0,-1),所以直线MN 的斜率为- .由 OPMN,得 - - (- )=-1,化简得 k2= ,从而k= . 所以直线PB的斜率为 或- . 4.(20
7、19天津高考文科T19)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,左顶点为A,上顶点为B.已知 |OA|=2|OB|(O为原点). (1)求椭圆的离心率. (2)设经过点F且斜率为 的直线 l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在 直线x=4 上,且OCAP,求椭圆的方程. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识,考查用代数方法研究 圆锥曲线的性质,考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得 a=2b, 又因为a2=b2+c2,消去b得a2=( ) +c2,解得 = , 所以椭圆的离心率为 . (2)由(1)知,a=2c,b= c,故椭圆方程为 + =1, 由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y= (x+c), 点P的坐标满足 消去y并化简,得到 7x2+6cx-13c2=0, 解得x1=c,x2=- ,代入到l的方程,解得y1= c,y2=- c, 因为点P在x轴的上方,所以P( ), 由圆心在直线x=4 上,可设C(4,t),因为OCAP, 且由(1)知A(-2c,0),故 = ,解得 t=2, 因为圆C与x轴相切,所以圆的半径为 2, 又由圆C与l相切,得 | - | ( ) =2,解得c=2, 所以椭圆的方程为 + =1.
