1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II卷） 理科数学理科数学 一、选择题 1. 设集合065| 2 xxxA，01|xxB，则BA( ) A. ) 1 ,( B. ) 1 , 2( C. ) 1, 3( D. ), 3( 答案： A 解答： 2|xxA或3x，1|xxB，）（1 ,BA. 2. 设iz23,则在复平面内z对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案： C 解析： i 23z，对应的点坐标为），（2-3-,故选 C. 3已知(2,3)AB ，(3, )ACt ，| 1BC ，则AB BC（ ） A.3 B.2 C.2 D.3 答
2、案： C 解答： (1,3)BCACABt， 22 |1(3)1BCt，解得3t ，(1,0)BC ， 2AB BC. 42019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业 取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通 讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥” ，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日 点的轨道运行， 点是平衡点， 位于地月连线的延长线上。 设地球的质量为， 月球质量为， 地月距离为R， 2 L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程 121 223 () () MMM Rr R
3、rrR 。 设= r R 。 由 于的 值 很 小 ， 因 此 在 近 似 计 算 中 345 3 2 3+ 3 3 1 （） ，则r的近似值为（ ） A 2 1 M R M B 2 1 2 M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3 M R M 答案： D 解答： 121121 2232222 ()(1) ()(1) MMMMMM Rr RrrRRrR 所以有 23 211 22222 133 (1) (1)(1) MMM rRR 化简可得 223 33 12 21 22 1 33 3 (1)3 M rM MM RM ，可得 2 3 1 3 M rR M 。 5. 演讲比赛
4、共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始 评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比， 不变的数字特征是（ ） A 中位数 B 平均数 C 方差 D极差 答案： A 解答： 由于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第 5 个，假设为a，去掉一头一尾 的最低和最高分后，中位数还是a，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改 变。 6. 若ab，则（ ） A.ln()0ab B.33 ab C. 33 0ab D.| |ab 答案： C 解答： 由函数 3 yx在R上是增函数，且
5、ab，可得 33 ab，即 33 0ab. 7. 设, 为两个平面，则/ /的充要条件是( ) A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. , 平行于同一条直线 D. , 垂直于同一平面 答案： B 解析： 根据面面平行的判定定理易得答案.选 B. 8. 若抛物线)0(2 2 ppxy的焦点是椭圆1 3 22 p y p x 的一个焦点，则p（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案： D 解答： 抛物线)0(2 2 ppxy的焦点是)0 , 2 ( p ，椭圆1 3 22 p y p x 的焦点是)0 ,2(p， p p 2 2 ，8p. 9. 下列函数中，以 2 为周
6、期且在区间, 42 单调递增的是（ ） A. |2cos|)(xxf B. |2sin|)(xxf C. |cos)(xxf D. |sin)(xxf 答案： A 解答： 对于 A,函数|2cos|)(xxf的周期 2 T ,在区间, 42 单调递增,符合题意； 对于 B,函数|2sin|)(xxf的周期 2 T ,在区间, 42 单调递减,不符合题意； 对于 C，函数xxxfcos|cos)(，周期2T,不符合题意； 对于 D,函数|sin)(xxf的周期T,不符合题意. 10. 已知(0,) 2 ，2sin2cos21，则sin（ ） A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5
7、 5 答案： B 解析： (0,) 2 ， 2 2sin2cos214sincos2cos ， 则 1 2sincostan 2 ，所以 2 12 5 cos 1 tan5 ， 所以 2 5 sin1 cos 5 . 11. 设F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆 与圆 222 xya交于,P Q 两点，若| |PQOF ，则C的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案: A 解答： | |PQOFc，90POQ, 又| |OPOQa， 222 aac 解得2 c a ，即2e . 12. 已知函数的定义域为xR，(1
8、)2 ( )f xf x，且当(0,1x时，( )(1)f xx x，若 对任意的(,xm ，都有 8 ( ) 9 f x ，则m的取值范围是（ ） A 9 (, 4 B 7 (, 3 C 5 (, 2 D 2 (, 3 答案： B 解答： 由当xR，(1)2 ( )f xf x，且当(0,1x时，( )(1)f xx x可知当(1, 2x时， 2 31 ( )2() 22 f xx，当(2,3x时， 2 5 ( )4()1 2 f xx，当( ,1,xn nnZ时， 22 1 ( )2 ()2 2 nn f xxn ，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的(,xm ， 都有 8 ( ) 9
9、 f x 有 2 385 4()1() 292 mm 解得的取值范围是 7 3 m 。 二、填空题 13. 我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点 率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为 . 答案： 0.98 解答： 经 停 该 站 的 列 出 共 有40个 车 次 ， 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为 10 0.9720 0.98 10 0.99 0.98 40 P 。 14. 已知( )f x是奇函数，且当0x时,(
10、) ax f xe .若(ln2)8f，则a _. 答案： 3 解答： ln2ln2 (ln2)( ln2)()()28 aaa ffee ， 3a. 15. ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，若, 3 ,2, 6 Bcab则ABC的面积为 _. 答案： 36 解析： 2 1 4 364 23 coscos 2 22222 c cc ac bca B , 36 2 3 3234 2 1 sin 2 1 , 34, 32BacSac 16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或 圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1
11、）.半正多面体是由两 种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正 多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空 2 分，第二空 3 分.) 答案： 26 2-1 解析： 由图 2 结合空间想象即可得到该正多面体有 26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对 称性列方程求解. 三、解答题 17. 如图，长方体 1111 DCBAABCD的底面ABCD是正方形，点E在棱 1 AA上， 1 ECBE （1）证明：BE平面 11C EB; （2）若EAAE 1 ，求二面角
12、 1 CECB的正弦值. 答案： （1）见解析 （2） 2 3 解析： （1）证明： 11C B平面 1 ABB，BE平面 1 ABB， BECB 11 ，又 1 ECBE ， 1111 CCBEC， BE平面 11C EB. （2）设底面边长为1，高为x2，1 22 xBE，1 22 1 xEB， BE平面 11C EB，90 1 BEB即 2 1 2 1 2 BBEBBE， 22 422xx解得1x. BC平面 11ABB A，EBBC 1 ，又BEEB 1 ，EB1平面BCE，故EB1为平面 BCE的一个法向量. 平面CEC1与平面 11ACC A为同一平面，故 11D B为平面CEC1
13、的一个法向量， 在EDB 11 中，2 1111 EBEDDB故EB1与 11D B成60角， 二面角 1 CECB的正弦值为 2 3 60sin. 18. 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率 为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发 球，两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求(2)P X ； （2）求事件“4X 且甲获胜”的概率. 答案： （1）0.5； （2）0.06 解析： （1）2X 时，有两
14、种可能： 甲连赢两局结束比赛，此时 1 0.5 0.40.2P ； 乙连赢两局结束比赛，此时 2 0.5 0.60.3P ， 12 (2)0.5P XPP； （2）4X 且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜， 此时0.5 0.6 0.5 0.40.06P. 19. 已知数列 n a和 n b满足1 1 a，0 1 b，434 1 nnn baa，434 1 nnn abb. （1）证明： nn ba 是等比数列， nn ba 是等差数列； （2）求 n a和 n b的通项公式. 答案： （1）见解析 （2） 2 1 ) 2 1 (na n n ， 2 1 ) 2 1 (nb n n .
15、 解析： (1)将434 1 nnn baa，434 1 nnn abb相加可得 nnnnnn bababa 3344 11 ， 整理可得)( 2 1 11nnnn baba ，又1 11 ba，故 nn ba 是首项为1，公比为 2 1 的等比 数列. 将434 1 nnn baa，434 1 nnn abb作差可得83344 11 nnnnnn bababa， 整理可得2 11 nnnn baba，又1 11 ba，故 nn ba 是首项为1，公差为2的等差数 列. （2）由 nn ba 是首项为1，公比为 2 1 的等比数列可得 1 ) 2 1 ( n nn ba； 由 nn ba 是首
16、项为1，公差为2的等差数列可得12 nba nn ； 相加化简得 2 1 ) 2 1 (na n n ，相减化简得 2 1 ) 2 1 (nb n n 。 20. 已知函数 1 ( )ln 1 x f xx x (1) 讨论函数 ( )f x 的单调性，并证明函数 ( )f x 有且只有两个零点； (2) 设 0 x是 ( )f x 的一个零点， 证明曲线 lnyx 在点 00 (,ln)A xx处的切线也是曲线 x ye 的 切线。 答案： 略 解答： （1）函数的定义域为(0,1)(1,)，又 22 11 (1)12 ( )0 (1)(1) xx fx xxxx ，所以 函数在(0,1),
17、(1,)上单调递增， 又 2 21 2 32 ()0,()0 11 e f ef e ee ， 所以在区间(0,1) 存在一个零点，且 2 2 2 3 (2)ln230,()0 1 e ff e e ，所以在区间(1,)上也存在一个 零点，所以函数有且只有 2 个零点； （2）因为 0 x是函数的一个零点，所以有 0 0 00 12 ln1 11 x x xx 。曲线lnyx在 00 (,ln)A xx处的切线方程为 0 000 112 ln1 1 yxxx xxx ，曲线曲线 x ye当切线斜率 为 0 1 x 时 ， 切 点 坐 标 为 0 0 1 ( ln,)x x ， 切 线 方 程
18、为 0 00 11 (ln)yxx xx ， 化 简 为 00 000000 2 11 ln111112 1 xx yxxx xxxxxx ，所以曲线lnyx在 00 (,ln)A xx 处的切线也是曲线 x ye的切线。 21. 已知点( 2,0), (2,0)AB， 动点( , )M x y满足直线AM和BM的斜率之积为 1 2 ， 记M的 轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C什么曲线； （2） 过坐标原点的直线交C于,P Q两点， 点P在第一象限，PEx轴， 垂足为E， 连结QE 并延长交C于点G. 证明：PQG是直角三角形； 求PQG的面积的最大值. 答案： 见解析 解答： (1
19、)由题意得： 1 222 yy xx ，化简得： 22 1(2) 42 xy x ，表示焦点在x轴上的椭 圆（不含与x轴的交点）. (2) 依题意设 111100 ( ,), (,),(,)P x yQxyG x y，直线PQ的斜率为k(0)k ，则 101010 101010 , PGGQ yyyyyy kk xxxxxx ， 22 10 22 10 1 2 PGGQ yy kk xx ， 又 11 111 22 GQEQ yyk kk xxx ， 1 PG k k ， PGPQ，即PQG是直角三角形. 直线PQ的方程为(0)ykx x，联立 22 1 42 ykx xy ，得 1 2 1
20、2 2 21 2 21 x k k y k ， 则直线 2 11111 11111 :() k PG yxxyxxkxxx kkkkk ， 联立直线PG和椭圆C，可得 2222 2 11 222 24 (1)2(1) (1)40 x kx k xx kkk ， 则 2 1 10 2 4 (1) 2 x k xx k ， 2 1 1101 2 114(1) () 222 PQG x k Sy xxkx k 22 2242 2 2 1 8() 8(1)8 (1) 1 (2)(21)252 2()5 k kkk k k kkkk k k ， 令 1 tk k ，则2t ， 22 888 1 2(2)
21、521 2 PQG tt S tt t t ， min 19 (2) 2 t t ， max 16 () 9 PQG S. 四、选做题（2 选 1） 22.选修 4-4（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，O为极点， 点 00 (,)M 0 (0)在曲线:=4sinC上， 直线l过点(4,0)A 且与OM垂直，垂足为P. （1）当 0 3 时，求 0 及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 答案： （1） 0 2 3，l的极坐标方程：sin()2 6 ； （2）P点轨迹的极坐标方程为=4cos(,) 4 2 . 解答： （1）当 0 3 时， 00
22、=4sin4sin2 3 3 ， 以O为原点， 极轴为x轴建立直角坐标系， 在直角坐标系中有( 3,3)M，(4,0)A，3 OM k， 则直线l的斜率 3 3 k ，由点斜式可得直线l： 3 (4) 3 yx ，化成极坐标方程为 sin()2 6 ； （2）lOM 2 OPA ，则P点的轨迹为以OA为直径的圆，此时圆的直角坐标方程 为 22 (2)4xy，化成极坐标方程为=4cos，又P在线段OM上，由 4sin 4cos 可 得 4 ，P点轨迹的极坐标方程为=4cos(,) 4 2 . 23.选修 4-5（不等式选讲） 已知( )2 ()f xxa xxxa。 （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围。 答案： 略 解答： （1）当1a 时， 2 2 242(2), ( )12 (1)22(12), 242(1). xxx f xxxxxxx xxx 所以不等式( )0f x 等价于 2 2420 2 xx x 或 220 12 x x 或 2 2420 1 xx x 解得不等 式的解集为2x x 。 （2）当1a 时，由(,1)x ，可知( )2()(1)0f xax x恒成立，当1a 时根据条 件可知( )0f x 不恒成立。所以a的取值范围是1a 。
