1、第第4节定积分与微积分基本定理节定积分与微积分基本定理1定积分的概念与性质定积分的概念与性质(1)定积分的定义：定积分的定义：如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上连续，用分点上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间将区间a，b等分成等分成n个小区间，个小区间，在每个小区间在每个小区间xi1，xi上任取一点上任取一点i(i1，2，n)，作，作和式和式 _xa，xb(ab)，y0 A1A3A2A4 F(b)F(a)【答案答案】D【思路点拨思路点拨】(1)寻求使寻求使F(x)sin xacos x的的F(x)，运用微积分基本定理求值；运用微积分基本定理求值；(2)利用定积分的几何意义
2、求解；利用定积分的几何意义求解；(3)f(x)是分段函数，故根据定积分的性质把所求定积分是分段函数，故根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解转化为两个定积分和的形式求解【思路点拨思路点拨】(1)先求二次函数先求二次函数f(x)的解析式，再的解析式，再利用定积分的几何意义求面积；利用定积分的几何意义求面积；(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积分的几何意义求面积【答案答案】(1)B(2)2 1求曲边图形面积的方法与步骤求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；画图，并将图形分割为若干个曲边梯
3、形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；上、下限；(3)确定被积函数；确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和2利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论讨论(2013郑州模拟郑州模拟)物体物体A以以v3t21(m/s)的速度的速度在一直线在一直线l上运动，物体上运动，物体B在直线在直线l上，且在物体上，且在
4、物体A的的正前方正前方5 m处，同时以处，同时以v10t(m/s)的速度与的速度与A同向运同向运动，出发后，物体动，出发后，物体A追上物体追上物体B所用的时间所用的时间t(s)为为()A3B4C5D6【思路点拨思路点拨】利用定积分分别计算出物体利用定积分分别计算出物体A、B行驶的路程，然后利用它们之间的关系求解行驶的路程，然后利用它们之间的关系求解【答案答案】C利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区数和变力与位移之间的函数关
5、系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求即得所求设变力设变力F(x)作用在质点作用在质点M上，使上，使M沿沿x轴正向从轴正向从x1运动到运动到x10，已知，已知F(x)x21且方向和且方向和x轴正轴正向 相 同，则 变 力向 相 同，则 变 力 F(x)对 质 点对 质 点 M 所 做 的 功 为所 做 的 功 为_J(x的单位：的单位：m，力的单位：，力的单位：N)【答案答案】342 定积分基本思想的核心是定积分基本思想的核心是“以直代曲以直代曲”，用，用“有限有限”步骤解决步骤解决“无限无限”问题，其方法是问题，其方法
6、是“分割分割求近似，求和取极限求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等表面积和体积公式等1.常数可提到积分号外常数可提到积分号外2和差的积分等于积分的和差和差的积分等于积分的和差3积分可分段进行积分可分段进行从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与概率知识相结合是近几年高考的是考查的重点，与概率知识相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下，预亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下，预计
7、计2014年与面积相关的简单应用是定积分命题的主年与面积相关的简单应用是定积分命题的主要方向要方向 易错辨析之六易错辨析之六 对定积分的几何意义理解不到位致误对定积分的几何意义理解不到位致误错因分析：错因分析：(1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示闭图形的面积正确地用定积分表示(2)求错原函数，导致计算错误求错原函数，导致计算错误防范措施：防范措施：(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提前提(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数【答案答案】C【答案答案】A 课后作业（十六）课后作业（十六）
