1、第五章三角比第五章三角比5.4.5 两角和与差的余弦、正弦和正切两角和与差的余弦、正弦和正切5.5.1 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切,SCTsin2cos2一、二倍角公式一、二倍角公式在公式在公式 中，令中，令 ，则可得：，则可得：tan22C在公式在公式 中，如果只含有正弦中，如果只含有正弦(余弦余弦)，则可得：，则可得：cos22sincos22cossin22tan1tan2()S2()C2()T22cos12()Ccos221 2sin2()C,2,2kkZ例例1.已知已知 5sin,(,)132sin2,cos2,tan2求求 的值的值.解：解：2(,
2、),cos1 sin2 1213 sin22sincos5122()1313 120169 22cos2cossin22125()()1313 119169sin2tan2cos2120119169169 120119 解毕解毕tan2?还可以如何求Ex1.已知已知 ，求，求 .sin4,cos44sin2,(,)54 2 解：解：232(,),cos21 sin 225 4324sin42sin2 cos22()5525 2222347cos4cos 2sin 2()()5525 注意注意“二倍角二倍角”是一个相对概念是一个相对概念Ex2.利用二倍角公式求下列各式的值：利用二倍角公式求下列各
3、式的值：(1)sin15 cos15(2)22cossin88(3)2tan22.51tan 22.5(4)22cos112解：解：(1)sin15 cos15(2)22cossin88(3)2tan22.51tan 22.5(4)22cos11211sin30242cos4211tan2423cos62熟练熟练公式逆用公式逆用1sin()sin(),(,)4462Ex3.已知已知解得：解得：求求 的值的值.sin4解：解：sin()sin()sin()cos()444411sin(2)cos22221cos232(,2)2sin21 cos 2 2 23 sin42sin2cos22 214
4、 22()339 观察到观察到()()442tan2例例2.已知已知 ，求，求 的值的值.sin2,cos2解：根据同角三角比的关系求解：根据同角三角比的关系求222sinsin2cos51sincos1cos522cos2cossin143555 sin,cos或或2sin51cos5 sin22sincos1242555解毕解毕tan2例例2.已知已知 ，求，求 的值的值.sin2,cos2解法二：解法二：sin22sincos222sincossincos22tan1tan22 2412522cos2cossin2222cossinsincos221tan1tan221 23125 解毕
5、解毕tan2例例2.已知已知 ，求，求 的值的值.sin2,cos2解法三：先求解法三：先求 再根据同角三角比求值再根据同角三角比求值.224sin2cos23sin 2cos 21 tan2222tan2 24tan21tan1 23 tan04sin253cos25 或或4sin253cos25 sin2043sin2,cos255 解毕解毕例例3.求证求证:(1)1 sin2cos2tan1 sin2cos2(1)证：左边证：左边=222212sincos(cossin)12sincos(cossin)2sin(sincos)2cos(sincos)tan证毕证毕注意公式注意公式 的又一
6、种变形的又一种变形：21 cos22sin21 cos22cos2C(2)3cos34cos3cos例例3.求证求证:(2)证：证：cos3cos(2)cos2 cossin2 sin22(2cos1)cos2sincos(2)3cos34cos3cos322coscos2(1 cos)cos34cos3cos证毕证毕上面公式被称为上面公式被称为三倍角的余弦公式三倍角的余弦公式多倍多倍角的三角比可通过多次应用两角的三角比可通过多次应用两角和公式或二倍角公式求得角和公式或二倍角公式求得Ex4.试用试用 表示表示sinsin3sin3sin2 coscos2 sin解：解：222sincos(1
7、2sin)sin222sin(1 sin)(1 2sin)sin3sin4sin3解法二：解法二：23cos34cos3cos替换替换解毕解毕 证证:(1)21 cos22sin2sinsinsin(2)2221 cos22sintan1cos22cosAAAAA(3)2sin22sincostan1 cos22cos(4)21tan(1tan)2tantan2(1tan)(1tan)1tan证毕证毕1 cos22sinsin(2)21 cos2tan1 cos2AAA(3)sin2tan1 cos2(4)Ex5.求证求证:(1)11tan21tan1tanEx6.求值求值:已知已知 ，求，求
8、 的值。的值。tan()24 cot21 sin1 sin,(0,)xx x化简：24coscoscos999求的值。1coscos2cos4cos(2)n求的值。小结小结1、二倍角公式、二倍角公式2、倍角形式、倍角形式42+2332+422 两倍两倍两倍两倍3、熟练掌握二倍角公、熟练掌握二倍角公式的正用，逆用，和式的正用，逆用，和变形用变形用第五章三角比第五章三角比5.5.1 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.5.2 二倍角二倍角与半角的正弦、余弦和正切与半角的正弦、余弦和正切22,SC例例1.利用利用 化简：化简：1 sin80(1)22cos260(2)2
9、1 sin822cos8(3)1 2sin40 cos40|sin40cos40|cos40sin402(1cos260)24cos 1302cos130 2|sin4cos4|2|sin4|2(sin4cos4)2sin4 2cos4 例例2.求证求证:tan()tan()2tan2441tan1tan1tan1tan左证：证：24tan1tan2tan2右还有其他方法吗？还有其他方法吗？tantantan()(1tantan)()244()442例例3.证明：证明：(1)11tan2tancot2cot422(3)(sincos1)(sincos1)tansin22xxxxxx(2)22c
10、os()sin()cos2 cos2ABABAB例例3.证明：证明：(1)(sincos1)(sincos1)tansin22xxxxxx证：左边证：左边=22sin(cos1)sin2xxx22sincos2cos1sin2xxxx22cos2cos2sin cosxxxx1 cossinxx22sin22sincos22xxxtan2x证毕证毕例例3.证明：证明：(2)证：左边证：左边=111 cos(22)1 cos(22)22ABAB1cos(22)cos(22)2ABAB22cos()sin()cos2 cos2ABABABcos2cos2AB证毕证毕例例3.证明：证明：(3)证：左
11、边证：左边=1 sincostan2()2 cossin22sincostan22sincos2cos4sin4 证毕证毕11tan2tancot2cot422 sin2cos2cos2sin222sin 2cos 2cos2 sin22cot4 例例4.已知已知 ，且，且(,2)1cossin3求求 的值的值.cos2解：解：21(cossin)911 sin29 8sin2910cossin1353425232故故217cos21 sin 29 解毕解毕第五章三角比第五章三角比5.5.2 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.5.3 二倍角与半角的正弦、余弦和正切
12、二倍角与半角的正弦、余弦和正切复习回顾复习回顾:倍角的正弦、余弦、正切公式倍角的正弦、余弦、正切公式,2()2RkkZ 降幂扩角公式：降幂扩角公式：22121222coscoscossin升冪缩角公式：升冪缩角公式：21cos2=2sin 问题问题1：倍角公式的作用？：倍角公式的作用？问题问题2：倍角公式如何变形为半角公式？：倍角公式如何变形为半角公式？2sin22cos22tan2sin2cos2tan2思考问题思考问题3：你会：你会的三角函数表示下列的三角函数表示下列各式吗？各式吗？1cos21 cos21 cos21 cos21cos1cos1 cos1 cos思考：根号前的符号怎么确定
13、？式子成立条件是？思考：根号前的符号怎么确定？式子成立条件是？22cos22cos11 2sin 一、半角公式一、半角公式由二倍角公式由二倍角公式 可得：可得：2C1 cossin22 2()S2()C2()T1coscos22 1 costan21cos 4、根号前的正负号由角、根号前的正负号由角 所在象限确定所在象限确定.22,kkZ12、左右2、左到右降次、左到右降次32、公式本质用 角的余弦表示角 的三角函数试一试：试一试：根据半角公式化简：根据半角公式化简：(3)(1)1 cos52(2)1 cos801 cos80sin10tan401 cossin22 1 coscos22 1
14、costan21 cos 1 sin2021 cos702cos35例例1.已知已知 ，求，求33cos,(,)52 sin,cos,22的值的值.解：解：3(,)21 cossin222 551coscos22 55 tan23(,)224sin2tan2cos22 解毕解毕思考思考 条件改为条件改为 是第三象限角？是第三象限角？sin1costan21cossin求证：22sinsin1 cos22tansin22sincoscos22222sincossinsin222tan1cos22coscos22例例2：证明证明1：点评：点评：1、右到左证明、右到左证明 2、变角、变式、变角、变式
15、思考：还可以怎么证明？思考：还可以怎么证明？sin1 costan21 cossin求证：sinsin2cossin222tan21 coscoscos2cos222证法2：sinsin2sin1 cos222tan2sincoscos2sin222同理例例2 2思考：还可以怎么证明？思考：还可以怎么证明？221 cos(1 cos)(1 cos)sintan()21 cos(1 cos)(1 cos)1 cos证法3：sin|sin|tan|21 cos1 cos2sin2sincos2tancos2222sin1cos02又由知与tan同号，且 sintan21 cos1 costan2s
16、in同理 思考：式子成立条件是什么？思考：式子成立条件是什么？2,kkZ,kkZ一、半角公式一、半角公式(全全)1 cossin22 2()S2()C2()T1coscos22 1 costan21cos 2,kkZsintan21 cos1 costan2sin2,kkZ,kkZ这两个式子可避免讨论符号这两个式子可避免讨论符号例例3.已知已知 ，且，且 是第二象限是第二象限225sinsin240角，求角，求 .sin,tan22解解:解方程得解方程得24sin25sin1 或或是第二象限角是第二象限角247sin,cos2525 2是第一或三象限角是第一或三象限角1 cossin22 45
17、 1 costan2sin43解毕解毕4(cottan)(1tantan)222例：化简：)sincoscossin)(sincossincos(1111cossincos12sin2csc2Ex：1.已知已知 是第三象限角，求是第三象限角，求 .3cos,5 tan2解：解：是第三象限角是第三象限角2是第二或四象限角是第二或四象限角1 costan21 cos 31()531()5 2 也可以利用也可以利用 计算计算1 costan2sinC Ex2：C D 解析 4 sin2cos22cos22，2cos22sin2cos20，cos20 或 2sin2cos20，cot20 或 2.3.
18、1 cos30sin15223442 382(31)8312 2624311 cos302tan15231sin3021cos3062cos15243122Ex：3sin15,cos15,tan15.用半角公式求sin2,cos2,tan()4ab已知求的值。Ex：思考思考 能否只用能否只用 来表示来表示？tan2sin2sincos2222coscossin22sin,cos22tan21tan2222sincos22sincos22221tan21tan22222cossin22cossin22万能置换公式万能置换公式万能置换公式万能置换公式当当 有意义，即有意义，即 时，时，tan22,
19、kkZ22tan2sin,1tan2221tan2cos,1tan222tan2tan1tan2上面这组公式叫做上面这组公式叫做万能置换公式万能置换公式作用：角作用：角 的全部三角比都用的全部三角比都用 表示表示.tan2万能公式万能公式,tantansin21222,tantancos21212221222tantantan则则若令若令,tan2t.tan,cos,sin2222121112tttttt这样这样“三角三角”与与“代数代数”沟通起来，沟通起来，弦化切的两种方法：弦化切的两种方法：“齐次式齐次式”弦化切及万能公式弦化切及万能公式.例例1:已知已知1sincos,(0,)5求求ta
20、n2解法一：解法一：221sincos5sincos14sin53cos5 sintan21 cos2解法二：解法二：2222tan1tan12251tan1tan22(0,)22tan22代入万能置换公式代入万能置换公式使用半角公式：使用半角公式：23tan5tan2022234:cos(),45177sin 22sin,1241tanxxxxx例已知求的值。241220,53)4cos(xx 7tan34)4tan(54)4sin(xxx22524tan1tan12cos2577172tan1tan22sin2222xxxxxx7528tan1sin22sin2xxx例例3.已知已知51c
21、osxsinx0,x2 （1）求）求sinxcosx的值。的值。（2）求）求cotxtanx2xcos2xcos2x2sin2x3sin22 1241sincos 2sin cos525xxxx 解（）25492548251cossin4)cos(sin)cos(sin22xxxxxx57cossinxxxxxsincos,02复习练习复习练习cotxtanx2xcos2xcos2x2sin2x3sin22 （2）求）求51cosxsinx0,x2 xxxxxxsincoscossin1sin2sin22125108)512(2512)sincos2(cossinxxxx例例4.（1）化简）化
22、简（180o360o）cos22)2cos2)(sincossin1(22cossincossincos222222 2cos2（）（）解：原式|2cos|2)2cos2(sin2cos2222cos2cos2cos2cos例例5.求证：求证：22sinsin2tan2sinsin22证明：左式证明：左式=2sin2sincos2sin2sincos1 cos1cos2tan2=右式右式4.求证：求证：1 sintan()cos42xxx证：证：1 cos()2tan()42sin()2xxx1 sincosxx证毕证毕证法二：证法二：222(cossin)1 sin22coscossin22
23、xxxxxx1tan2tan()421tan2xxx证毕证毕cossin22cossin22xxxxEx：5.求证：求证：22cos()1 sin42 6.求证：求证：1 cos4cos2tansin41 cos2220222312322求证：求证：为锐角，为锐角，、例：已知例：已知,sinsinsinsin22232213sin1)22sinsincossin(由条件得：由条件得：法法解：解：222sinsincoscos)cos(22332sinsinsincos03322cossinsincos),(230222220222312322求证：求证：为锐角，为锐角，、例：已知例：已知,si
24、nsinsinsin22232213sin2)22sinsincossin(由条件得：由条件得：法法解：解：2cottan:两式相除得两式相除得)tan(tan22)(Zkk2222k),(230222Ex22cossin132sin202522sin()4已知且，求的值。2sin()1 cossin14tan()42sin()2sin()44解法一：原式1 cos(2)1 sin212cos22sin(2)21 cossin1cossin1 tan1cossin1 tan22sin()4解法二：原式Ex第五章三角比第五章三角比5.5.3 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦
25、和正切5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切二倍角与半角的正弦、余弦和正切万能置换公式万能置换公式、积化和差与和差化积积化和差与和差化积(选讲选讲)例例1.已知已知 ，求，求 的值的值.tan2 sin2,cos2,tan2解：解：22tansin21tan22(2)1(2)45 221tancos21tan221(2)1(2)35 sin2tan2cos243解毕解毕例例2.求证：求证：2cottan22sin证：证：21tan122tan2sintantan22cossin1222sinsincossincos2222证法二：证法二：1 cos1 cos2sinsinsin证法三：证法
26、三：(万能公式万能公式)证毕证毕思考思考 如何证明下列两个等式？如何证明下列两个等式？(1)(2)1sincossin()sin()2sinsin2sincos22ABABAB思考思考 有没有类似的恒等式有没有类似的恒等式?证证:(1)右边使用右边使用 展开即得左边展开即得左边.S(2)令令(1)中中 ,AB则则 ，,22ABAB代入代入(1)式即得证式即得证.二、积化和差二、积化和差1sin()sin()21sin()sin()2sincoscossin1cos()cos()2coscos1cos()cos()2sinsin利用利用 作加减运算可得：作加减运算可得：,SC例：例：sincos
27、(60)1sin60sin(260)2三、和差化积三、和差化积sinsinABsinsinABcoscosABcoscosAB2sincos22ABAB2cossin22ABAB2coscos22ABAB2sinsin22ABAB令令 中令中令 得：得：,SC,AB例：例：sinsin(60)2sin(230)cos(30)例例3.求证：求证：(1)22cos()cos()cossin(2)sinsincotcoscos2xyyxxy(1)证证:左边左边1(cos()()cos()()21(cos2cos2)2221(2cos1 1 2sin)2 =右边右边证毕证毕例例3.求证：求证：(1)22cos()cos()cossin(2)sinsincotcoscos2xyyxxy(2)证证:左边左边=2sincos222sin22xyxyxyxysin=右边右边cot2xy 证毕证毕(选用选用)例例4.在在 中，求证：中，求证：coscoscos14sinsinsin222ABCABC ABC证：左边证：左边=(coscos)cos()ABAB22coscos(2cos1)222ABABAB12cos(coscos)222ABABAB 12sin(2sinsin)222CAB=右边右边证毕证毕
