1、初三数学 圆的综合的专项 培优练习题及答案一、圆的综合1如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E. （1）求证：BD平分ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明BCEACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD= ，DH=, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）D是
2、的中点AD=DCCBD=ABDBD平分ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F, 证明BCEACF, BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD= ，DH=, =2四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AEEC，BEED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O（1）如图，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD6，求弧AE 的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出ACBD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DEAC
3、，ADE=CDE，进而得出CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解析：证明：（1）四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，四边形ABCD是平行四边形以AD为直径的半圆过点E，AED=90，即有ACBD，四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，ADC为等腰三角形，AD=DC且DEAC，ADE=CDE如图2，过点C作CGAD，垂足为G，连接FOBF切圆O于点F，OFAD，且，易知，四边形CGOF为矩形，CG=OF=3在RtCDG中，CD=AD=6，sinADC=，CDA=30，ADE=15连接OE，则AOE=2ADE=30，点睛：本题主要考查菱形的
4、判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键3如图的直径是弦BC上一动点与点不重合，过点P作交于点D如图2，当时，求PD的长；如图3，当时，延长AB至点E，使，连接DE求证：DE是的切线；求PC的长 【答案】（1）；（2）【解析】分析：根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出的长；首先得出是等边三角形，进而得出，求出答案即可；首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案详解：如图2，连接OD，的直径，在中，在中，；证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，是等边三角形，是的切线；由知，在中，直角三角形斜边上的
5、中线，等于斜边的一半，点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出是等边三角形是解题关键4如图，已知AB为O直径，D是的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线交AD的延长线于F（1）求证：直线DE与O相切；（2）已知DGAB且DE=4，O的半径为5，求tanF的值【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：ODBC；由OB为O的直径，可得：BCAC，根据DEAC，可证ODDE，从而可证DE是O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tanF的值试题解析：解：（1）证明：连接
6、OD，BC，D是弧BC的中点，OD垂直平分BC，AB为O的直径，ACBC，ODAEDEAC，ODDE，OD为O的半径，DE是O的切线；（2）解：D是弧BC的中点，EAD=BAD，DEAC，DGAB且DE=4，DE=DG=4，DO=5，GO=3，AG=8，tanADG=2，BF是O的切线，ABF=90，DGBF，tanF=tanADG=2点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键5如图，ABC内接于O，AB是直径，O的切线PC交BA的延长线于点P，OFBC交AC于点E，交PC于点F，连结AF(1)判断AF与O的位置关系并说明理由；(2)若AC24，A
7、F15，求sinB【答案】(1) AF与O相切 理由见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OC，先证OCF=90，再证明OAFOCF，得出OAF=OCF=90即可；（2）先求出AE、EF，再证明OAEAFE，得出比例式，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论试题解析：解：（1）AF与O相切理由如下：连接OC如图所示PC是O的切线，OCPC，OCF=90OFBC，B=AOF，OCB=COFOB=OC，B=OCB，AOF=COF在OAF和OCF中，OA=OC，AOF=COF，OF=OF，OAFOCF（SAS），OAF=OCF=90，AF与O相切；（2）OAFOCF，OAE=CO
8、E，OEAC，AE=AC=12，EF=OAF=90，OAEAFE，即，OA=20，AB=40，sinB=点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键6(8分)已知AB为O的直径，OCAB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有EDEF.(1)如图，求证：ED为O的切线；(2)如图，直线ED与切线AG相交于G，且OF2，O的半径为6，求AG的长【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出EDF=EFD，由对顶角相等可得出EDF=CFO；由OD=OC可得出O
9、DF=OCF，结合OCAB即可得知EDF+ODF=90，即EDO=90，由此证出ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GAEA，从而得出DMGA，根据相似三角形的判定定理即可得出EDMEGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，ED=EF，EDF=EFD，EFD=CFO，EDF=CFOOD=OC，ODF=OCFOCAB，CFO+OCF=EDF+ODF=EDO=90，ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，由（1）
10、可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10sinEOD=，cosEOD=，DM=ODsinEOD=6=，MO=ODcosEOD=6=，EM=EOMO=10=，EA=EO+OA=10+6=16GA切O于点A，GAEA，DMGA，EDMEGA，即 ，解得GA=12点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出EDO=90；（2）通过相似三角形的性质找出相似比7如
11、图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若，点O到AC的距离为4cm（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，APC是等腰三角形【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或s时，APC是等腰三角形；【解析】【分析】（1）过O作ODAC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】（1）如图1，过O作ODAC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，AC=2AD=6；（2）设经过t秒APC是等腰三角形，则AP=10t如图2，若AC=PC，过点C作CHAB于H
12、，A=A，AHC=ODA=90，AHCADO，AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，解得t=s，经过s后APC是等腰三角形；如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10x，又AC=6，则10t=6，解得t=4s，经过4s后APC是等腰三角形；如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，经过5s后APC是等腰三角形综上可知当t=4或5或s时，APC是等腰三角形【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况8如图,在RtABC中,ACB=60,O是ABC的外接圆,BC是O的直径,过点B作O的
13、切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是O的切线;(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）过O作OMEF于M,根据SAS证明OAFOBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分BEF，从而得到结论;（2）存在，先证明OAC为等边三角形，从而得出OAC=AOC=60,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.【详解】(1)证明:如图,过O作OMEF于M,OA=OB,OAF=O
14、BE=90,BOE=AOF,OAFOBE,OE=OF, EOF=AOB=120,OEM=OFM=30,OEB=OEM=30,即EO平分BEF, 又OBE=OME=90,OM=OB,EF为O的切线. (2)存在.BC为O的直径,BAC=90,ACB=60,ABC=30, 又ACB=60,OA=OC,OAC为等边三角形,即OAC=AOC=60,AF为O的切线,OAF=90,CAF=AFC=30,ABC=AFC,AB=AF. 当点P在(1)中的点M位置时,此时OPF=90,OAF=OPF=90,又OA=OP,OF为公共边,OAFOPF,AF=PF,BFE=AFC=30. 又FOP=OBP=OPB=3
15、0,BP=FP,AB=AF=FP=BP,四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可9如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AC为直径，DEBC，垂足为E（1）判断直线ED与O的位置关系，并说明理由；（2）若CE=1，AC=4，求阴影部分的面积【答案】（1）与相切.理由见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由得到BAD=ACD，再根据圆内接四边形的性质得DCE=BAD，所以ACD=DCE；利用内错角相等证明ODBC，而
16、DEBC，则ODDE，于是根据切线的判定定理可得DE为O的切线；（2）作OHBC于H，易得四边形ODEH为矩形，所以OD=EH=2，则CH=HECE=1，于是有HOC=30，得到COD=60，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形OCDSOCD进行计算即可【详解】（1）直线ED与O相切理由如下：连结OD，如图，BAD=ACDDCE=BAD，ACD=DCEOC=OD，OCD=ODC，而OCD=DCE，DCE=ODC，ODBCDEBC，ODDE，DE为O的切线；（2）作OHBC于H，则四边形ODEH为矩形，OD=EHCE=1，AC=4，OC=OD=2，CH=HECE=2
17、1=1在RtOHC中，OC=2，CH=1，OHC=90，HOC=30，COD=60，阴影部分的面积=S扇形OCDSOCD22【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了扇形面积的计算10如图, RtABC中，B=90，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r (a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH/BC, 求CPD;(3)若r=3, PD18, PC=27. 求ABC各
18、边长. 【答案】（1）证明见解析（2）45（3）【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式（2）CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角DOH=90，所以CPD=45（3）由PD=18和r=3联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到MOD的正切值延长DO得直径DG，易证PGOM，得到同位角G=MOD又利用圆周角定理可证ADB=G，即得到ADB的正切值，进而求得AB再设CE=CD=x，用x表示BC
19、、AC，利用勾股定理列方程即求出x【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、FODBC，OEAC，OFAB，AE=AF，BD=BF，CD=CEB=ODB=OFB=90四边形BDOF是矩形OD=OF=r矩形BDOF是正方形BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-rAE+CE=ACc-r+a-r=b整理得：r= （a+b-c）（2）取FH中点O，连接ODFHBCAFH=B=90AB与圆相切于点F，FH为圆的直径，即O为圆心FHBCDOH=ODB=90CPD=DOH=45（3）设圆心为O，连接DO并延长交O于点
20、G，连接PG，过O作OMPD于MOMD=90PD=18DM=PD=9BF=BD=OD=r=3，OM=3tanMOD=3DG为直径DPG=90OMPG，G+ODM=90G=MODODB=ADB+ODM=90ADB=GADB=MODtanADB=tanMOD=3AB=3BD=3r=9AE=AF=AB-BF=936设CE=CD=x，则BC=3+x，AC=6+xAB2+BC2=AC2(9)2+(3+x)2(6+x)2解得：x=9BC=12，AC=15ABC各边长AB=9，AC=15，BC=12【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理切线长定理的运用是解决本题
21、的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法11如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点（1）如图1，连接FA，FC，若AFC2BAC，求证：FAAB；（2）如图2，过点C作CDAB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AFFG试猜想AFG和B的数量关系，并证明；连接OG，若OEBD，GOE90，O的半径为2，求EP的长【答案】（1）见解析；（2）结论：GFA2ABC理由见解析；PE【解析】【分析】（1）证明OFABAC，由EAO+EOA90，推出
22、OFA+AOE90，推出FAO90即可解决问题（2）结论：GFA2ABC连接FC由FCFGFA，以F为圆心FC为半径作F因为，推出GFA2ACG，再证明ACGABC图21中，连接AG，作FHAG于H想办法证明GFA120，求出EF，OF，OG即可解决问题【详解】（1）证明：连接OCOAOC，ECEA，OFAC，FCFA，OFAOFC，CFA2BAC，OFABAC，OEA90，EAO+EOA90，OFA+AOE90，FAO90，AFAB（2）解：结论：GFA2ABC理由：连接FCOF垂直平分线段AC，FGFA，FGFA，FCFGFA，以F为圆心FC为半径作F，GFA2ACG，AB是O的直径，AC
23、B90，CDAB，ABC+BCA90，BCD+ACD90，ABCACG，GFA2ABC如图21中，连接AG，作FHAG于HBDOE，CDBAEO90，BAOE，CDBAEO（AAS），CDAE，ECEA，AC2CDBAC30，ABC60，GFA120，OAOB2，OE1，AE，BA4，BDOD1，GOEAEO90，OGAC，,，FGFA，FHAG，AHHG，AFH60，AF，在RtAEF中，EF，OFOE+EF ，PEOG，PE 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
24、题.12如图，是的直径，切于点D，于，过点作交的延长线于点. （1）求证：；（2）设的延长线交于交于，若的度数等于，试简要说明点和点关于直线对称的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作辅助线，连接OD，由DF为O的切线，可得ODDF，又BFDF，ACBF，所以ODAC，ODB=C，由OB=OD得ABD=ODB，从而可证ABC=C；（2）连接OG，OD，AD，由BFOD，=60，可求证=60，由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出OHD=90，由垂径定理便可得出结论【详解】（1）连接OD，DF为O的切线，ODDFBFDF，ACBF，ODACBFODB=COB=OD，
25、ABD=ODBABC=C（2）连接OG，OD，AD，DE，DE交AB于H，BFOD，OBG=AOD，OGB=DOG，=60，=60，ABC=C=E=30，OD/CEODE=E=30在ODH中，ODE=30，AOD=60，OHD=90，ABDE点D和点E关于直线AB对称【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答13设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的B与AB相交于F点，延长EB交B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD求证：（1）AD是B的切线；（2）ADAQ；（3）BC2CFEG【答案】
26、(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】连接BD，由，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得，再根据正方形的性质，可得；由与，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得，继而求得，由等角对等边，可证得；易求得，即可证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论【详解】证明：连接BD，四边形BCDE是正方形，即，为AB的中点，是线段AB的垂直平分线，即，为半径，是的切线；，；连接DF，在中，又，在与中，又，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法1
27、4已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DFBC，垂足为F（1）求证：DF为O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求图中阴影部分的面积 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为O的切线只要证明FDP=90即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOES扇形OED求得阴影部分的面积试题解析：（1）证明：连接DOABC是等边三角形，A=C=60OA=OD，OAD是等边三角形ADO=60，DFBC，CDF=90C=30，
28、FDO=180ADOCDF=90，DF为O的切线；（2）OAD是等边三角形，AD=AO=AB=2CD=ACAD=2RtCDF中，CDF=30，CF=CD=1DF=，连接OE，则CE=2CF=1，EF=1S直角梯形FDOE=（EF+OD）DF=，S扇形OED=，S阴影=S直角梯形FDOES扇形OED=【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积15如图，已知四边形ABCD内接于O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，ACB=BAE=
29、45（1）求证：AE是O的切线；（2）若AB=AD，AC=，tanADC=3，求BE的长【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出AOB=2ACB=90，由等腰直角三角形的性质得出OAB=OBA=45，求出OAE=OAB+BAE=90,即可得出结论；（2）过点A作AFCD于点F,由AB=AD，得到ACD=ACB=45，在RtAFC中可求得AF3，在RtAFD中求得DF1，所以AB ，CD= CF+DF=4，再证明ABECDA，得出，即可求出BE的长度；试题解析：（1）证明：连结OA，OB，ACB=45，AOB=2ACB= 90，OA=OB，OAB=OBA=45，BAE=45，OAE=OAB+BAE=90，OAAE点A在O上，AE是O的切线 （2）解：过点A作AFCD于点F，则AFC=AFD=90AB=AD， = ACD=ACB=45，在RtAFC中，AC=，ACF=45，AF=CF=ACsinACF =3， 在RtAFD中， tanADC=，DF=1， 且CD= CF+DF=4， 四边形ABCD内接于O，ABE=CDA，BAE=DCA，ABECDA， ， ，
