1、方程的意义（提高）知识讲解【学习目标】1正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】要点一、方程的有关概念1定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数2方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（或它们）是方程中未知数的值；将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，
2、否则不是3解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：首先是一个方程;其次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是1;分母中不含有未知数 要点三、等式的性质1等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 等式的性质
3、2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x0中，两边加上得x，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零【典型例题】类型一、方程的概念1（2015秋盘锦校级月考）下列各式不是方程的是（）A.3 B.m+2n=0 C. x=-3 D.4y3【思路点拨】根据方程的定义进行判断.【答案】D【解析】解：A、含有未知数且是等式，故本选项
4、是方程；B、含有未知数且是等式，故本选项是方程；C、含有未知数且是等式，故本选项是方程；D、含有未知数但不是等式，故本选项错误故答案为D.【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，方程一定是等式，但等式不一定是方程2下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( ) A2x-13 (2，-1) B (3，-3) C. (x-1)(x-2)0 (1,2) D2(y-2)-15 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边右边的是方程的解，若左边右边的，则不是方程的解【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：
5、若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解举一反三：【变式】若是关于的方程的解，则的值为_.【答案】-1类型二、一元一次方程的相关概念3已知下列方程：；x0；x+y0；0.2x4其中一元一次方程的个数是( ) A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】方程中未知数x的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程中的分母含有未知数x，所以它也不是；方程中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程.方程满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次
6、数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：只含有一个未知数；未知数的最高次数是1；含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）举一反三：【变式】(1)已知关于x的一元一次方程，求得m_ (2)已知方程(m-4)x+22009是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是_ (3)若是关于x的一元一次方程，则m的值为( ) A2 B-2 C2 D4【答案】(1) (2)m4 (3)B类型三、等式的性质4（2016春建湖县校级月考）下列各式中，变形正确的是（）A若a=b，则a+c=b+c B若2x=a，则x=a2C若6a=2b，则a=3b D若a=b+2，则3a=3b+2【思路点拨】根据等式
7、的性质对各选项进行进行逐一判断即可【答案】A.【解析】解：A、正确，符合等式的基本性质（1）；B、错误，若2x=a，则x=；C、错误，若6a=2b，则a=b；D、错误，若a=b+2，则3a=3b+6故选A【总结升华】本题主要考查了等式的基本性质（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立举一反三：【变式】（2015河北模拟）已知x=y，且xy0，下列各式：x3=y3； =；=；2x+2y=0，其中一定正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B解：正正确；类型四、等式或方程的应用5观察下面的点阵图形(
8、如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式 (2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n个图形每条线上应该是n个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为41+1，第3个图形又增加4个点，表示为42+1，第n个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为41-3，第2个图形增加4个点，表示为42-3，第3个图形又增加4个点，
9、表示为43-3，第n个图形看作n个4个点少3个点，表示为4n-3，所以有4(n-1)+14n-3 (1) 43+144-3 44+145-3 (2)4(n-1)+14n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系举一反三：【变式】某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A. B. C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289【答案】A.方程的意义（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1下列各式是方程的是( ) A B2m-31 C25+718+14 D2. 若x1是方程2x-a0的解，则a
10、为( ) A1 B-1 C2 D-23（2016春卧龙区期中）已知（32a）x+2=0是关于x的一元一次方程，则|a|一定（）A大于0 B小于0 C等于0 D不确定4（2015秦淮区一模）如果用“a=b”表示一个等式，c表示一个整式，d表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“ac=bc”，以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是（）A. ac=bd，ac=bd B. ad=bd，ad=bd C. ad=bd，ad=bd D. ad=bd，ad=bd （d0）5有一养殖专业户，饲养的鸡的只数与猪的头数之和是70，而鸡与猪的腿数之和是196，问该专业户饲养多少只鸡和多少头猪？设鸡的只数为
11、x，则列出的方程应是( ) A2x+(70-x)196 B2x+4(70-x)196 C4x+2(70-x)196D2x+4(70-x)6.已知关于的方程与的解相同，则的值是 （ ）A9 B-9 C7 D-87. 一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） Ax40%=240 Bx（1+40%）=240C24040%=x Dx40%=2408. 将的分母化为整数，得( )ABCD二、填空题9.（2016春浦东新区期中）若关于（k2）x|k1|+5=0是一元一次方程，那么k= 10(2015春.山西期中
12、)已知方程2xm-3+3=5是一元一次方程，则m=_.11.若，则 .12.将方程的两边同乘以 _得到3(x+2) =2(2x3)这种变形的根据是_ _.13.一个个位数是4的三位数，如果把4换到左边，所得数比原数的3倍还多98，若这个三位数去掉尾数4，剩下的两位数是，求原数，则可列方程为_.14. 观察等式：9-18， 16-412，25-916，36-1620，这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为_三、解答题15.（1）若关于的方程是一元一次方程，求的值.（2）若关于的方程是一元一次方程，求的值.16. （2014秋忠县校级月考）下列方程的变
13、形是否正确？为什么？（1）由3+x=5，得x=5+3（2）由7x=4，得x=（3）由，得y=2（4）由3=x2，得x=2317.某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元/吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.80元/吨收费，超过20吨部分按1.5元/吨收费，现已知老李家六月份缴水费14元，问老李家六月份用水多少吨？ 请你为解决此题建立方程模型18.观察下面的图形(如图所示)(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：(1)写出第五个等式，并在下图给出的五个正方形上画出与之对应的图示； (2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式【答
14、案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】判断一个式子是不是方程，首先看它是不是等式，若是等式，再看它是否含有未知数，两条都满足了就是方程A、B不是等式；C中没有未知数2.【答案】C. 【解析】把x1代入方程得21-a0，解得a23.【答案】A. 【解析】解：由题意得，32a0，解得，a，则|a|0，故选：A4.【答案】D . 5.【答案】B 【解析】本题的相等关系为：鸡的腿数+猪的腿数1966.【答案】A【解析】由得，将其代入可得：7.【答案】B【解析】标价成本(进价)(1利润率)；实际售价标价打折率8.【答案】D【解析】将分母变为整数用的是分数的基本性质而非等式的性质二、填空题9. 【答
15、案】0【解析】解：由关于（k2）x|k1|+5=0是一元一次方程，得|k1|=1且k20解得k=0故答案为：010.【答案】4 . 11.【答案】【解析】考查平方和绝对值的非负性，由题意得：，即可求出12.【答案】12, 等式的性质2；13.【答案】 【解析】 原数应表示为：，再根据题意即可得出答案 14.【答案】 (n+2)2-n24(n+1) 【解析】通过观察可以看出：题中各等式左边的数字都是完全平方数，右边的数字都是4的倍数即：32-1242，42-2243，52-3244，62-4245，设n(n1)表示自然数，把第一个等式中的l换成n，3换成(n+2)，2换成(n+1)，得(n+2)
16、2-n24(n+1)，就是第n个等式三、解答题15.【解析】（1） 是一元一次方程 ，且，可得： 的值为（2） 是一元一次方程 可得： 的值为16.【解析】 解：（1）由3+x=5，得x=5+3，变形不正确，方程左边减3，方程的右边加3，变形不正确；（2）由7x=4，得x=，变形不正确，左边除以7，右边乘，变形不正确；（3）由，得y=2，变形不正确，左边乘2，右边加2，变形不正确；（4）由3=x2，得x=23，变形不正确，左边加x减3，右边减x减3，变形不正确17.【解析】 0.4510+0.80(20-10)12.5，12.514， 老李家六月份用水超过了20吨 设老李家六月份用水x吨，根据题意得 0.4510+0.80(20-10)+1.5(x-20)1418.【解析】 (1) 通过观察可以看出：第n个等式，首起数字是n，第2个数的分子是n，分母比分子大1，等式的右边与左边不同的是，左边两数之间是乘号，右边两数之间是减号，同时，有几个小正方形，就把每个小正方形平分为几加1份，其中空白1份如图所示： (2)
