1、文数课标版第三节二元一次不等式第三节二元一次不等式(组组)及简单的线性规划问题及简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.教材研读教材研读对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+B
2、y0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.()(3)线性目标函数的最优解可以有无数个.()(4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.()(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为()A.(-24,7)B.(-7,24)C.(-,-7)(24,+)D.(-,-24)(7,+)答案答案B根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)0,即(a+7)(a-24)0,解得-7a24.2.不等式组表示的平面区域是()答案答案Bx-3y
3、+60表示直线x-3y+6=0及其右下方,x-y+20表示直线x-y+2=0的左上方,故不等式组表示的平面区域如选项B所示.360,20 xyxy3.不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C.D.答案答案C平面区域如图中阴影部分所示.解可得A(1,1),0,34,34xxyxy3223433434,34xyxy易得B(0,4),C,则|BC|=4-=.SABC=1=.40,343831283434.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.8答案答案C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),
4、B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为24-1=7.5.若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10答案答案B作出不等式组所表示的平面区域,如图.z=2x+3y可化为y=-x+,当直线y=-x+经过点A(4,-1)时,z最大,最大值为24+3(-1)=5.选B.22,0,4,xyxyx233z233z考点一二元一次不等式考点一二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域典例典例1(1)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.aB.0a1C.1aD.0a1或
5、a(2)(2015重庆,10,5分)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()0,22,0,xyxyyxya43434320,220,20 xyxyxym43考点突破考点突破A.-3B.1C.D.343答案答案(1)D(2)B解析解析(1)作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分).由图知,要使原不等式组表示的平面区域是一个三角形,只需动直线l:x+y=a在l1、l2之间(包含l2,不包含l1)或l3上方(包含l3).故选D.0,22,0 xyxyy点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为(1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m,所以SABC=(2+2m)(1+m)-(
6、2+2m)(1+m)=(1+m)2=,解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.231212231343(2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m-1,所围成的区域为ABC,SABC=SADC-SBDC.方法技巧方法技巧确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式.若满足不等式,则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)当不等式中不等号为或时,边界应画为实线,不等号为或时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.1
7、-1若满足条件的整点(x,y)恰有9个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数a的值为()A.-3B.-2C.-1D.0答案答案C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,当a=0时,平面区域内只有4个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当a=-1时,正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共5个整点,故选C.0,20,xyxyya1-2若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k=.答案答案解析解析由图可知,平面区域为ABC及其内部,直线y=kx+恰过A,直线y=kx+将三角形ABC分成面积相等的两部分,故直
8、线y=kx+过BC的中点,所以=k+,解得k=.0,34,34xxyxy43734340,343431 5,2 252124373考点二目标函数的最值与范围问题考点二目标函数的最值与范围问题命题角度一转化为截距命题角度一转化为截距典例典例2(1)(2016课标全国,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.(2)(2016课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案答案(1)-10(2)-5解析解析(1)可行域如图所示(包括边界),z=2x+3y-5可化为y=-x+,直210,210,1,xyxyx 10,30,30,xyxyx 23533z线
9、2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,在y轴上的截距最小,z取最小值,zmin=-10.(2)由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).z=x-2y可化为y=-,当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,在y轴上的截距最大,则z取得最小值,zmin=3-24=-5.2x2z典例3(1)(2015课标,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.(2)已知x,y满足则的取值范围是.答案答案(1)3(2)解析解析(1)由约束条件画出可行域,如图.10,0,40,xxyxy yx20,30,10,yxxy 64xyx131,7命题角度
10、二转化为斜率命题角度二转化为斜率的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由得点A的坐标为(1,3),则=kOA=3.(2)不等式组表示的平面区域如图所示,yxyx10,40 xxy maxyx20,30,10yxxy 因为=1+,而表示平面区域内的点与点A(4,2)连线的斜率,由图知斜率的最小值为0,最大值为kAB=,所以1+的取值范围是,即的取值范围是.64xyx424xyx24yx24yx4234 6724yx131,764xyx131,7典例典例4(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.1
11、2答案答案C解析解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),2,239,0,xyxyx命题角度三转化为距离命题角度三转化为距离x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.典例典例5(1)(2015福建,10,5分)变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()A.-2B.-1C.1D.2(2)(2014课标,11,5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案答案(1)C(2)B解析解析(1)当m0
12、时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z=2x-y无最大值.当m=2时,目标函数z=2x-y的最大值为0.于是,选C.0,220,0.xyxymxy,1,xyaxy 命题角度四含参问题命题角度四含参问题(2)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A.平移直线x+ay=0,可知在点A处,z取得最值,因此+a=7,化简得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,故舍去,故选B.11,22aa11,22aa12a 12a 方法技巧方法技巧1.线性规划问题的解题步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线;(2)
13、平移将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置;(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值.2.常见代数式的几何意义(1)表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;(2)表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;(3)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.22xy22()()xaybyxybxa2-1若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()A.2B.-2C.D.-答案答案D作出可行域,如图中阴影部分所示,直线kx-y+2=0与x轴交于点A.当目标函数线经过点A时z取最小值.20,20,0,xykxy
14、y12122,0kz=y-x的最小值为-4,=-4,解得k=-,故选D.2k122-2动点P(a,b)在区域内运动,则w=的取值范围是.答案答案(-,-13,+)解析解析画出可行域如图,w=1+,设k=,则k(-,-22,+),所以w=的取值范围是(-,-13,+).20,0,0 xyxyy31aba31aba21ba21ba31aba考点三线性规划的实际应用考点三线性规划的实际应用典例典例6(2016课标全国,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用
15、3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案答案216000解析解析设生产产品Ax件,生产产品By件,利润之和为z元,则z=2100 x+900y.根据题意得即作出可行域(如图).由得1.50.5150,0.390,53600,N,xyxyxyx y3300,103900,53600,N,xyxyxyx y103900,53600 xyxy60,100.xy当直线2100 x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=
16、210060+900100=216000.故所求的最大值为216000元.方法技巧方法技巧解线性规划应用问题的一般步骤:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.3-1某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案答案D设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得,x,y满足:不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.3212,28,0,0,xyxyxy
