1、独立性检验高二年级 数学我们已经知道，事件A与事件B独立的充要条件是()()()P ABP A P B()()()P ABP A P B利用这一点，我们可以通过概率的计算来判断两个事件是否独立.然而，如果要判断现实生活中两个随机事件是否独立，并不是一件容易的事.情境与问题 任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)这三者的准确值吗？问题中的P(A)，P(B)，P(AB)准确值的确定，是比较难的，甚至是不可能的.然而，利用频率估计概率，通过抽样调查获得样本数据后，就可以得到上述三个值的近似值.情境与问题 任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑
2、，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)这三者的准确值吗？（2）如果要判断A与B是否独立，该怎么办？从概率学的角度，受随机性的影响，我们很难直接利用概率公式P(AB)=P(A)P(B)进行估计.情境与问题 任意抽取某市的一名学生，记A：喜欢长跑，B：是女生.（1）你能得出P(A)，P(B)，P(AB)这三者的准确值吗？（2）如果要判断A与B是否独立，该怎么办？如何判断生活中两个分类变量之间是否独立，或如何对两个分类变量进行独立性检验，是我们生活中经常遇到的一大类问题。假设：通过调查，我们获取了下述数据：抽查了110人，其中女生有50人；且这110人中，喜欢长跑的有60人，其中
3、女生有20人.为了方便起见，请同学们把数据整理成表格形式.喜欢长跑不喜欢长跑总计女203050男402060总计6050110喜欢长跑不喜欢长跑总计女203050男402060总计6050110因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为22列联表.喜欢长跑不喜欢长跑总计女203050男402060总计6050110由22列联表可知：505;11011喜欢长跑的概率P(A)可以估计为是女生的概率P(B)可以估计为喜欢长跑且是女生的概率P(AB)可以估计为尝试与发现 同学们，此时可以利用 是否成立来判断A与B是否独立吗？答案是否定的.追问：为什么？因为P(A)，P(B)，P
4、(AB)都是根据样本数据得到的估计值，而估计值是有误差的，因此直接用 是否成立来判断A与B是否独立是不合理的.但是，如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的近似值.这是从统计意义上做出的合理推断.即尽管随机性会对数据的准确性带来影响，但理论上，如果A与B是独立的，则这种影响也一定不会太大.这是独立性检验的基本思想.需要说明的是：如果 ，则 ，.()()()P ABP A P B()()()P ABP A P B()()()P ABP A P B因此，如果 不会太大，2110()110()()110()()P ABP A P BP A P B则 ，也都不会太大.2110()1
5、10()()110()()P ABP A P BP A P B2110()110()()110()()P ABP A P BP A P B2110()110()()110()()P ABP A P BP A P B因此，从理论上可知，喜欢长跑的女生数可以怎样估计？答：从理论上可知，喜欢长跑的女生数可以估计为：110P(A)P(B).而实际上，喜欢长跑的女生数可以怎样表示？答：实际上，喜欢长跑的女生数可以估计为：110P(AB).因此，应该不会太大.2110()110()()110()()P ABP A P BP A P B类似地，考虑 与B，A与 ，与 ，可知：AB AB2110()110()
6、(),110()()P ABP A P BP A P B2110()110()(),110()()P ABP A P BP A P B2110()110()()110()()P ABP A P BP A P B都应该不会太大.若记上述四项的和为（读作“卡方”），则代入有关数据可以算得 .227.8概率学上可以证明，如果A与B独立，则 的概率只有1%，即 .26.6352(6.635)1%P因为算出的 值7.8大于6.635，所以若A与B独立，那么我们就观察到了概率不超过1%的事件.问题：现在算出的 值7.8大于6.635，所以若A与B独立，则该事件发生的概率是多少？若A与B独立（即“喜欢长跑”
7、与“是女生”独立），则我们观察到了一件概率不超过1%的事件.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立（也称为是否喜欢长跑与性别有关）；或有99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关.问题：现在算出的 值7.8大于6.635，所以若A与B独立，则该事件发生的概率是多少？若A与B独立（即“喜欢长跑”与“是女生”独立），则我们观察到了一件概率不超过1%的事件.上述1%通常称为显著性水平，而6.635称为显著性水平1%所对应的分位数.一般情况下，可以用完全类似的方法来检验两个随机事件是否独立.如果随机事件A与B的样本数据的22列联表如下.总计aba+bcdc+d总计a+cb
8、+da+b+c+dAABB如果随机事件A与B的样本数据的22列联表如下.总计aba+bcdc+d总计a+cb+da+b+c+dAABB记 ，则由表可知：nabcd（1）事件A发生的概率可估计为：（2）事件B发生的概率可估计为：（3）事件AB发生的概率可估计为：();acP An().aP ABn();abP Bn问题：如果A与B独立，则P(A)P(B)与P(AB)的估计值相差如何？如果A与B独立，则P(A)P(B)与P(AB)的估计值相差不大.追问：理论上既是A又是B的数据有多少个？追问：实际上既是A又是B的数据有多少个？实际上既是A又是B的数据有 (即 )个.a()nP AB理论上既是A又是
9、B的数据有 个.()()nP A P B问题：基于上页结论，类比尝试与发现中，的值不会太大，可以得到什么结论？2110()110()()110()()P ABP A P BP A P B 不会太大.22()()()()()()()()()nP ABnP A P Bnaac abnP A P Bn ac ab类似地，考虑 与B，A与 ，与 ，可知：AB AB22()()()()(),()()()()nP ABnP A P Bncac cdnP A P Bn ac cd22()()()()()()()()()nP ABnP A P Bndbd cdnP A P Bn bd cd22()()()()
10、(),()()()()nP ABnP A P Bnbbd abnP A P Bn bd ab都不会太大.因此，这四个数的和 也不会太大.22()()()()()n adbcab cd ac bd此外，任意给定一个 (称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等)，可以找到满足条件2()Pk的数 (称为显著性水平对应的分位数).k 是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的.因此，如果根据样本数据算出 的值后，发现 成立，就称在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为A与B不独立（也称A与B有关）；或说有 的把握认为A与B有关.若 成立，就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验
11、.2k12kA与B独立，也称A与B无关.当 成立时，一般不直接说A与B无关.也就是说，独立性检验通常得到的结果，或者说有 的把握认为A与B有关，或者没有 的把握认为A与B有关.1统计学中，常用的显著性水平 以及对应的分位数 如下表所示.k2()Pkk0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8281例 为了了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构得到了如下调查数据.根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关吗？典型例题幸福感强幸福感弱总计阅读量多541872阅读量少364278总计9060150
12、分析：（1）由 的计算公式 可得，我们需要知道 的数值；（2）与显著性水平对应的分位数比较.典型例题22()()()()()n adbcab cd ac bd,a b c d n解：由题意可知 典型例题22150(544218 36)7278 90606755212.981又因为查表可得 2(6.635)0.01P由于 ，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关.12.9816.635例 某报刊对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示.根据调查数据回答：有95%的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？典型例题喜欢书法不喜欢书法男学生2432女学
13、生1624解：由题意可知 典型例题22(24321624)(242416 32)=(2432)(1624)(2416)(3224)9612250.078又因为 ，而且查表可得 195%5%2(3.841)0.05,P由于 ，所以没有95%的把握认为性别与是否喜欢书法有关.0.0783.841小结：回忆例题的解题过程，你能总结出独立性检验实际问题的基本方法和步骤吗？（1）绘制 列联表；2 2（2）计算卡方数值；（3）与显著性水平对应的分位数比较；（4）若 ，就称在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为A与B不独立，或者说有 的把握认为A与B有关；若 ，则说没有 的把握认为A与B有关.2k12k11.独立性检验2.独立性检验解决实际问题的基本方法和步骤课堂小结教材第116页A组第2题1.为了探究成年人晕车与性别是否有关，调查了320名成年人，其中男士与女士中，晕车的分别有28人与32人.用列联表表示这些数据.课后作业2 2教材第117页B组第2题2.某企业有甲、乙两个分厂生产同一种零件，在检查产品的优质品率时，从甲、乙两厂分别抽取了500件产品，其中甲厂有优质品360件，乙厂有优质品320件.（1）分别估计甲、乙两厂的优质品率；（2）是否有99%的把握认为两个分厂生产的零件优质品有差异？课后作业谢谢
