1、圆圆锥锥曲曲线线椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线定义定义标准方程标准方程几何性质几何性质直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系的位置关系一、一、知知识识点点框框架架双曲线的定义：双曲线的定义：1212|2,(02|)MFMFaaFF椭圆的定义：椭圆的定义：|)|2(,2|2121FFaaMFMF圆锥曲线的统一定义（第二定义）：圆锥曲线的统一定义（第二定义）：，是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点elFM.是离心率做准线，常数定点是焦点，定直线叫el.FdM.l.FdM.l.FdM.10 e1e1e0 12222babyax0 12222babxay椭圆的标准方程：椭圆的标准方程
2、：0,0 12222babyax0,0 12222babxay双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：0 22ppxy抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：0 22ppyxl.FdM.l.FdM.l.FdM.椭椭 圆圆抛抛物物线线双双曲曲线线范围对称性顶点离心率焦点、准线焦半径双曲线）渐进线(通径长焦点弦l.FdM.l.FdM.l.FdM.范围：范围：对称性：对称性：顶点：顶点：离心率：离心率：焦点：焦点：,xa ya,xa yR0,xyRx轴轴,y轴轴,原点原点对称，长轴长对称，长轴长为为2a,短轴长为短轴长为2b关于焦点所在轴对称关于焦点所在轴对称(0,1)cea(1,)cea1e(,0)2pF
3、(,0),(0,)ab(,0),(,0)aa(0,0)22(,0),ccab22(,0),ccabx轴轴,y轴轴,原点对原点对称，长轴长为称，长轴长为2a,短轴长为短轴长为2bl.FdM.l.FdM.l.FdM.焦半径：焦半径：2111MFaexMFaex2111MFaexMFaex12pMFx通径长：通径长：渐近线渐近线22ba22ba2pbyxa 无无无无准线准线2px 2axc 2axc 直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点计算计算 注意特殊情况注意特殊情况直线与圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线的弦长弦长公式弦长公式直线与圆锥曲线的弦中点直线与圆锥曲线的弦中点韦达定理韦达定理或点差法或点
4、差法)(过焦点()相交、相切和相离(1)弦长公式弦长公式),(11yx),(22yxAB 4)(1(212212xxxxkAB),(11yx),(22yxAB 注意：注意：一直线上的任意两点一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式都有距离公式或弦长公式mkxy 4)(11(212212yyyykAB(2)面积公式面积公式12ABCSABd1212ABCSOCyy12222byaxmkxy消元消元一元二次方程一元二次方程0)(xf0)(yg消消y消消xOABcxy(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题直线与圆锥曲线有关弦的中点问题解解题题思思路：路：直线与圆锥曲线联立消元得到一元二次方程点差法点的
5、对称性MF1F2AxyOxMF1yOF2焦点在焦点在x轴上的轴上的椭圆椭圆焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线(1)范围1 22(22)MF FSb tg面积:12(0,FAF1 M思考:在什么位置时，最大？0122120MFMFe思考:若存在点使，求 的范围MF1F2AxyO焦点在焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆焦点在焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线xMF1yOF2(1)范围(0,)1 22t2:an2()MF FbS面积 【技法点拨【技法点拨】圆锥曲线定义的应用技巧圆锥曲线定义的应用技巧（1 1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的
6、定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.（2）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的的点与两焦点连接而成的“焦点三角形焦点三角形”，处理时常结合，处理时常结合圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义及及解三角形的知识解三角形的知识解决解决.（3）在抛物线中，常利用定义，以达到）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离到焦点的距离”和和“到准线的距离到准线的距离”的相互转化的相互转化.例例1：(1)一动圆与两圆：一动圆与两圆：x2+y2=1和和x2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨都
7、外切，则动圆圆心的轨迹为迹为()（A）抛物线）抛物线 （B）双曲线）双曲线 （C）双曲线的一支）双曲线的一支 （D）椭圆）椭圆(2)（2011辽宁高考）已知辽宁高考）已知F是抛物线是抛物线y2x的焦点，的焦点，A，B是该抛物线上的是该抛物线上的两点，两点，|AF|BF|3，则线段，则线段AB的中点到的中点到y轴的距离为轴的距离为()（A）（B）1 （C）（D）5474C CC求圆锥曲线的方程求圆锥曲线的方程【技法点拨【技法点拨】1.求圆锥曲线方程的一般步骤求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，先定形，后定式，再
8、定量再定量”的步骤的步骤.(1)定形定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式定式根据根据“形形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).(3)定量定量由题设中的条件找到由题设中的条件找到“式式”中待定系数的等量关系，中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小通过解方程得到量的大小.2.求椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程最常用方法为最常用方法为定义法、待定系数法定义法、
9、待定系数法，求解时注意有两个定形条，求解时注意有两个定形条件件(如已知如已知a，b，c，e中的任意两个中的任意两个)和一个定位条件和一个定位条件(对称轴、对称轴、焦点或准线等焦点或准线等)对于双曲线要注意双曲线对于双曲线要注意双曲线 与渐近线与渐近线 的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为 ，一般地，与双曲线，一般地，与双曲线 有共同渐近线的双曲有共同渐近线的双曲线方程是线方程是2222(0)xyab 22221(0,0)xyabab0 xyab22220 xyab22221xyab 圆锥曲线的性质及应用圆锥曲线的性质及应用【技法点拨【技法点拨】圆锥曲线性
10、质的求解方法圆锥曲线性质的求解方法椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等之间的关系等1离心率离心率求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与a，b，c有有关的关系式关的关系式.对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：（1）代入法就是代入公式）代入法就是代入公式 求离心率；（求离
11、心率；（2）列方程法就）列方程法就是根据已知条件列出关于是根据已知条件列出关于a,b,c的关系式的关系式，然后把这个关系式，然后把这个关系式整体转化为关于整体转化为关于e的方程，解方程即可求出的方程，解方程即可求出e值值.cea例例1：（：（2011福建高考）设圆锥曲线福建高考）设圆锥曲线C的两个焦点分别为的两个焦点分别为F1，F2，若曲线，若曲线C上存在点上存在点P满足满足|PF1|F1F2|PF2|4 3 2，则曲线，则曲线C的离心率等于的离心率等于()（A）（B）（C）（D）1322或122或223或2332或【解析【解析】选选A.设设|F1F2|2c(c0)，由已知由已知|PF1|F1
12、F2|PF2|4 3 2，得得 且且|PF1|PF2|，若圆锥曲线若圆锥曲线C为椭圆，则为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c，离心率离心率若圆锥曲线若圆锥曲线C为双曲线，为双曲线，则则 离心率离心率1284PFc PFc33，c1ea2 ；1242aPFPFc3，c3e.a2【归纳【归纳】解答本题的注意点解答本题的注意点.提示：提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解椭圆及双曲线定义的理解.直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线【技法点拨【技法点拨】1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线
13、与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组的讨论，即联立方程组 通过消去通过消去y(也可以消去也可以消去x)得到得到x的方程的方程 的形式的形式 0(,)0AxByCf x y20ax bx c 并对方程进行讨论。这时要注意考虑并对方程进行讨论。这时要注意考虑a0和和a0两种情况，对双曲两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有
14、一个交点有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).基础知识自主学习2.“点差法”的常见题型 例例1：过点过点(0,2)与抛物线与抛物线 只有一个公共点的直线有只有一个公共点的直线有()（A）1条条 (B)2条条 (C)3条条 (D)无数多条无数多条 xy82C.P题型一：直线与圆锥曲线的位置关系题型一：直线与圆锥曲线的位置关系课堂互动讲练课堂互动讲练例例1：(2008年高考北京卷年高考北京卷)已知已知ABC的顶点的顶点A，B在椭圆在椭圆x23y24上，上，C在直线在直线l：yx2上，且上，且ABl.(1)当当AB边通过坐标原点边通过坐标原点O时，求时，
15、求AB的长及的长及ABC的面积；的面积；(2)当当ABC90，且斜边，且斜边AC的长最大时，求的长最大时，求AB所在直线的所在直线的方方程程解：解：(1)因为因为ABl，且，且AB边通过点边通过点(0,0)，所以，所以AB所在直线所在直线的方程为的方程为yx.设设A，B两点坐标分别为两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)221234,122 212,22ABCxyxyxABxxABhlhSAB h 由得所以又因为边上的高 等于原点到直线的距离，所以课堂互动讲练课堂互动讲练2222(2)3446340AByxmxyxmxmyxm设所在直线的方程为由21122,12640,(,),(,)A
16、BmA Bx yxy 因为在椭圆上，所以设两点坐标分别为例例1：(2008年高考北京卷年高考北京卷)已知已知ABC的顶点的顶点A，B在椭圆在椭圆x23y24上，上，C在直线在直线l：yx2上，且上，且ABl.(1)当当AB边通过坐标原点边通过坐标原点O时，求时，求AB的长及的长及ABC的面积；的面积；(2)当当ABC90，且斜边，且斜边AC的长最大时，求的长最大时，求AB所在直线的所在直线的方方程程课堂互动讲练课堂互动讲练21212212334,2432622(0,)22mxxm x xmABxxBCmlmBC 则所以又因为的长等于点到直线 的距离即所以所以|AC|2|AB|2|BC|2m22
17、m10(m1)211.所以当所以当m1时，时，AC边最长边最长(这时这时12640)此时此时AB所在直线的方程为所在直线的方程为yx1.分类讨论思想分类讨论思想【技法点拨【技法点拨】分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想，实际上是分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整化整为零，各个击破，再积零为整”的策略的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论.【思考【思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的？
18、分类讨论解题的一般步骤是怎样的？提示：提示：分类讨论解题的一般步骤为：分类讨论解题的一般步骤为：确定分类标准及对象；确定分类标准及对象；进行合理地分类；进行合理地分类；逐类进行讨论；逐类进行讨论；归结各类结果归结各类结果.2.椭圆椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦点，则有相同的焦点，则a的值的值是是()（A）2 （B）1 （C）（D）3【解析【解析】选选B.因椭圆因椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦有相同的焦点，所以有点，所以有0a2且且4-a2=a+2得得a2+a-2=0，得，得a=1.222xy14a22xy1a22222xy14a22xy1a24.4.（20122012新课标全国高考）等
19、轴双曲线新课标全国高考）等轴双曲线C C的中心在原点，焦的中心在原点，焦点在点在x x轴上，轴上，C C与抛物线与抛物线y y2 2=16x=16x的准线交于的准线交于A A，B B两点，两点，|AB|=|AB|=则则C C的实轴长为的实轴长为()()（A A）（B B）（C C）4 4 （D D）8 8【解析【解析】选选C.C.设双曲线的方程为设双曲线的方程为 抛物线的准抛物线的准线为线为x=-4x=-4，且，且 故可得故可得 将点将点A A坐坐标代入双曲线方程得标代入双曲线方程得a a2 2=4=4，故，故a=2a=2，故实轴长为，故实轴长为4.4.4 3，22 22222xy1 a0aa
20、（），AB4 3，A4,2 3 B4,2 3,(),()5.5.已知椭圆中心在原点，一个焦点为已知椭圆中心在原点，一个焦点为 且长轴长是短且长轴长是短轴长的轴长的2 2倍，则该椭圆的标准方程是倍，则该椭圆的标准方程是_【解析【解析】依题意，得依题意，得 2a2a2 22b2b，即，即a a2b2b，又，又a a2 2b b2 2c c2 2，解之得，解之得a a4 4，b b2.2.椭圆标准方程为椭圆标准方程为答案：答案：F(2 3 0)，c2 3，22xy1.16422xy11646.6.设双曲线：设双曲线：的焦点为的焦点为F F1 1，F F2 2，离心率为，离心率为2 2，则，则双曲线的
21、渐近线方程是双曲线的渐近线方程是_._.【解析【解析】由已知双曲线的离心率为由已知双曲线的离心率为2 2得得,解得解得a a2 2=1=1，代入双曲线方程代入双曲线方程 中得，中得，所以渐近线方程为所以渐近线方程为 答案：答案：222xy1 a0)a3（2a32,a222xy1a322yx13，3xy03xy0.和3xy03xy0和7.7.直线直线l：y=kx+1y=kx+1与曲线与曲线C:C:交于交于M M，N N两点，当两点，当MNMN 时，求直线时，求直线l的方程的方程.【解析【解析】由由 消去消去y y得（得（1+2k1+2k2 2）x x2 2+4kx=0+4kx=0，解得，解得x x1 1=（x x1 1，x x2 2分别为分别为M M、N N的横坐标）的横坐标）,由由MNMN=解得解得k=k=1 1，代入，代入y=kx+1y=kx+1得得x+y-1=0 x+y-1=0或或x-y+1=0 x-y+1=0，综上所述，所求直线方程是综上所述，所求直线方程是x+y-1=0 x+y-1=0或或x-y+1=0.x-y+1=0.22xy124 2322ykx1xy12224k0,x12k221224k4 21kxx1k|12k3，
